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1、
數(shù)學高考10招（2） 就地取材 無中生有
●計名釋義
這一招是專門對付開放題的.
開放題有兩種類型：一是開放條件；二是開放結論.
條件開放的試題，結論明確、解題方向清楚，但條件不足，也就是條件不充分，屬于“必要不充分”的題型，我們的任務是補充能使結論成立的充分條件.
反之，結論開放的試題，條件充分，但結論不明確.我們的任務則是補充必要條件.
●典例示計
【例1】以下是武漢市某次高中調(diào)考中的一道數(shù)列題：
等差數(shù)列的前n項和為Sn，若（a1+a3）2=9，an＜0（），則S10等于（ ）
這道題從正面解，你會發(fā)現(xiàn)無論走哪條路，都“差條件
2、”，陷入欲進不得，欲罷不忍的困境.可是，你是否想到，也可以把選項作條件來用呢？
【解析】由于時恒有an＜0，必S10＜0，排除A、C；設若S10= -13，即有
10a1+109d=-13，那么a1+d=. （1）
但由（a1+a3）2=9，an＜0可得a1+a3= -3，也就是a1+ d= （2）
（1）-（2）：d=，于是d＞0，這與時恒有an＜0矛盾，故排除D，選B.
本解使用的，正是“就地取材”的計策.如果你感到題干中的“條件不夠”，陷入“山窮水復疑無路”的困境，不妨在選項中就地發(fā)現(xiàn)“柳暗花明又一村”.
那么，什么又是“無中生有”呢？請看
【例2】06年湖南卷
3、的文科10題：
如圖，OM∥AB，點P在由射線OM，線段OB幾AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且OP=x0A+yOB，則實數(shù)對（x，y）可以是 （ ）
【解析】如圖，設向量OP符合要求.過P作
PA1∥AB，交OA于A1，OB于B1，令
，顯然0＜k＜1.
再令，∵點P在A1B1的延長線上，
必λ＞1.于是
.于是
.
由（1）知x＜0，排除A；由（1）+（2）得：x+y=k∈（0，1），排除B，D，∴選C.
為了解題的需要，我們不僅添加了輔助線，還引入了k，λ這些參變量，這都是“無中生有”；又
4、為了免除繁雜的計算，我們又在選項中“就地取材”. 再請看
【例3】06年湖南卷的理科15題：
如圖，OM∥AB，點P在由射線OM，線段OB幾AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且OP=x0A+yOB，則x的取值范圍是
當時，y的取值范圍是
【解析】同上題解法，得：
由于k∈（0，1）且λ＞1，∴x＜0.即
當時，∵x+y=k，∴y=k-x=k+∈（）.
【評注】咋一看湖南這兩道題，的確有“樹高蔭深，叫樵夫難以下手”之感。因為僅憑現(xiàn)有圖形，是無論如何也難以找到正確答案的。唯一可行之路，就是“無中生有”了，于是筆者按要求隨意畫一條向量（即解圖中的OP）試試看，又想到關于向量
5、的問題多能用平移解決，在作出平行線PA1后，已是豁然開朗，成竹在胸了.這難道不是“無中生有”的神奇麼？
例4題圖
【例4】如圖所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，
E、F、G、H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點，N是BC
中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M只要滿足條件
時，就有MN∥平面B1BDD1（請?zhí)钌夏阏J為正確的一
個條件即可，不必考慮全部可能情況）.
【思考】顯然HN∥BD，即得HN∥平面B1BDD1，
為使點M在平面EFGH內(nèi)運動時總有B1BDD1∥MN,只需過HN
作平面，使之平行于平面在平面B1BDD1,將線面平
6、行的問題轉化
為面面平行的問題.
【解析】連FH，當點M在HF上運動時，恒有
MN∥平面B1BDD1證明如下：連 NH ，HF，BD，B1D1，
且平面NHF交B1C1于P.則NH ∥BD，HF∥BB1，故
平面PNHF∥平面BB1D1D.MN平面PNHF，
∴MN∥平面B1BDD1
【例5】 知F(x)是二次項系數(shù)為負數(shù)的二次函數(shù)，
且對于任何x∈R,f(2－x)=f(2+x)總成立，問f(1－2x2)與
f(1+2x－x2)滿足什么條件時，才能使－2
7、類討論.
【解答】 由題設知：函數(shù)f(x)的圖象是開口向下且對稱軸為直線x=2的拋物線.
故函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù).
∵1－2x2≤1<2,1+2x－x2=－(x－1)2+2≤2,∴1－2x2∈,1+2x－x2∈.
當f(1－2x2)0,解得x<－2或x>0,不能使－2f(1+2x－x2)時，1－2x2>1+2x－x2,
即x2+2x<0,解得－2
8、∴當f(1－2x2)>f(1+2x－x2)時，才能使－2
9、Δ=112+168=249不是完全平方數(shù).∴符合條件的m不存在.
綜上所述，能構造出滿足條件①，②，③的等比數(shù)列，該自然數(shù)m=3,數(shù)列的通項公式為：
.
【例6】 將二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c對應于一次函數(shù)g(x)=2ax+b.
（1）求f(x)=x2+2x+1對應的一次函數(shù)g(x).
（2）觀察后請寫出這個對應法則.
（3）可以用g(x)的某些性質來研究f(x)的性質：當g(x)>0時，對應的f(x)的性質有哪些？
（4）你還能研究另外的某些性質嗎？
（5）設g(x)=x，寫出與g(x)對應的f(x)的三個不同的解析式.
【思考】 本例是結論開放型試題，解
10、題時要求根據(jù)已知條件將結論（必要條件）補充完整.f(x)與g(x)是什么關系？我們?nèi)菀子蒮′(x)=2ax+b,知f′(x)=g(x),可見，只有當g(x)=f′(x)時，才有可能用g(x)的性質來研究f(x)的某些性質.
【解答】 (1)∵a=1,b=2，∴g(x)=2x+2.
（2）①g(x)的一次項系數(shù)是f(x)的二次項系數(shù)與其次數(shù)的積；
②g(x)的常數(shù)項等于f(x)的一次項系數(shù).
(3)g(x)>0，即2ax+b>0,當a>0時，x>－,而x=－是f(x)的對稱軸，故這時f(x)是單調(diào)增函數(shù)；a<0時,x<－,f(x)仍為單調(diào)增函數(shù)(前者單調(diào)區(qū)間為.后者單調(diào)區(qū)間為).
11、(4)當g(x)<0時，f(x)是單調(diào)減函數(shù)(請仿照（3）證明之).
(5)g(x)=x時，2ax+b=x,知a=,b=0.只須在f(x)=ax2+bx+c中，命a=,b=0,c取任意值即可，如f(x)= x2+1,f(x)=x2+,f(x)= x2+5.
【小結】 指導開放題解法的理論依據(jù)是充分必要條件，即若AB,則稱A為B的充分條件，B為A的必要條件.
●考前預演
第1題圖
1.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，O為CD上的動點，
四邊形ABCD滿足條件 時，VP—AOB恒為定
值（寫出你認為正確的一個條件即可）.
2.對于x∈R,試確定y=的所有可能的值.
3.已知|a|=3,|b|=2,a與b的夾角為120,當k為何值時，
（1）ka－b與a－kb垂直？
（2）|ka－2b|取得最小值?
4.已知圓O′過定點A（0,P）(P>0),圓心O′在拋物線x2=2Py上運動，MN為圓O′在x軸上截得的弦，令|AM|=d1,|AN|=d2,∠MAN=θ.
（1）當O′運動時，|MN|是否有變化，并證明你的結論；
（2）求的最大值,并求取得最大值的θ的值.
高考數(shù)學 兵法10招2就地取材無中生有
