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1、
跟蹤強化訓練(十四)
一、選擇題
1.(20xx安徽十校聯(lián)考)已知α為銳角,且7sinα=2cos2α,則sin=( )
A. B.
C. D.
[解析] 由7sinα=2cos2α得7sinα=2(1-2sin2α),即4sin2α+7sinα-2=0,
解得sinα=-2(舍去)或sinα=,
又由α為銳角,可得cosα=,
∴sin=sinα+cosα=,故選A.
[答案] A
2.(20xx湖北武漢模擬)在△ABC中,a=,b=,B=,則A等于( )
A. B. C. D.或
[解析] 由正弦定理得=,所以sinA===,所以A=或.
2、又a
3、 B.(1,) C.(,2) D.(,2)
[解析] 因為acosC=csinA,由正弦定理得sinAcosC=sinCsinA,易知sinA≠0,故tanC=1,所以C=.過點B作AC邊上的高BD,垂足為D,則BD=BC,要使?jié)M足條件的△ABC有兩個,則BC>>BC,解得
4、得cosA=,所以A=.故選A.
[答案] A
6.(20xx福建漳州二模)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且2ccosB=2a+b,若△ABC的面積為c,則ab的最小值為( )
A. B. C. D.3
[解析] 由正弦定理及2ccosB=2a+b,得2sinCcosB=2sinA+sinB,因為A+B+C=π,所以sinA=sin(B+C),則2sinCcosB=2sin(B+C)+sinB,整理可得2sinBcosC+sinB=0,又00,則cosC=-,因為0
5、ab=c,即c=3ab,結(jié)合c2=a2+b2-2abcosC,可得a2+b2+ab=9a2b2,∵a2+b2≥2ab,∴2ab+ab≤9a2b2,即ab≥,當且僅當a=b=時等號成立,故ab的最小值是.故選B.
[答案] B
二、填空題
7.(20xx長春二模)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且2asinA=(2sinB+sinC)b+(2c+b)sinC,則A=________.
[解析] 由已知,根據(jù)正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,故cosA=-,又A為三角形的內(nèi)角,故A=
6、120.
[答案] 120
8.計算:4cos50-tan40=________.
[解析] 4cos50-tan40=4sin40-
=
=
=
=
==.
[答案]
9.(20xx西安二模)
如圖,為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得M點的仰角∠MAN=45,C點的仰角∠CAB=60以及∠MAC=75;從C點測得∠MCA=45.已知山高BC=100 m,則山高MN=________m.
[解析] 在Rt△ABC中,∠CAB=60,BC=100 m,所以AC=m.
在△AMC中,∠MAC=75,∠MCA=45,
從而∠AMC=60
7、,
由正弦定理得=,因此AM=m.
在Rt△MNA中,AM=m,∠MAN=45,得MN=m.
[答案]
三、解答題
10.(20xx天津卷)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=.
(1)求b和sinA的值;
(2)求sin的值.
[解] (1)在△ABC中,因為a>b,故由sinB=,可得cosB=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=.
由正弦定理=,得sinA==.
所以b的值為,sinA的值為.
(2)由(1)及a
8、os2A=1-2sin2A=-.
故sin=sin2Acos+cos2Asin=.
11.(20xx河北保定三模)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且滿足cosB=bcosA.
(1)若sinA=,a+b=10,求a;
(2)若b=3,a=5,求△ABC的面積S.
[解] ∵cosB=bcosA,
∴由正弦定理得cosB=sinBcosA,即有sinCcosB=sinAcosB+cosAsinB,則sinCcosB=sinC.∵sinC>0,∴cosB=.
(1)由cosB=,得sinB=,
∵sinA=,∴==.
又∵a+b=10,∴a=4.
(2)∵b
9、2=a2+c2-2accosB,b=3,a=5,∴45=25+c2-8c,即c2-8c-20=0,解得c=10或c=-2(舍去),
∴S=acsinB=15.
12.(20xx河南鄭州二模)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且滿足cos2C-cos2A=2sinsin.
(1)求角A的大??;
(2)若a=,且b≥a,求2b-c的取值范圍.
[解] (1)由已知可得2sin2A-2sin2C
=2,
化簡得sin2A=,∴sinA=,
又0