浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專題訓(xùn)練：第1部分 專題二 第4講 高考中的三角函數(shù)解答題型

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1、 考 點(diǎn) 考 情 三角恒等變換 　1.三角恒等變換是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，在解答題中多作為一種化簡工具考查，其中升冪公式、降冪公式、輔助角公式是考查的重點(diǎn)，如2013年湖南T17等． 2.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)是高考考查的另一個(gè)熱點(diǎn)，側(cè)重于對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的周期性、單調(diào)性、對稱性以及最值等的考查，常與其他知識交匯以解答題的形式考查，難度中等，如2013年安徽T16等． 3.正弦定理、余弦定理以及解三角形的問題是高考的必考內(nèi)容．在解答題中主要考查：(1)邊和角的計(jì)算；(2)面積的計(jì)算；(3)有關(guān)范圍的問題．由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強(qiáng)，解三角形的實(shí)際應(yīng)用問

2、題也常出現(xiàn)在高考解答題中，如2013年重慶T20等. 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 解三角形 向量與三角函數(shù)的綜合問題 解三角形的實(shí)際應(yīng)用 1．(2013·湖南高考)已知函數(shù)f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2. (1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值； (2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合． 解：f(x)＝sin＋cos ＝sin x－cos x＋cos x＋sin x＝sin x， g(x)＝2sin2＝1－cos x. (1)由f(α)＝得sin α＝. 又α是第一象限角，所以cos α>0. 從而g(α)＝1－

3、cos α＝1－＝1－＝. (2)f(x)≥g(x)等價(jià)于sin x≥1－cos x， 即sin x＋cos x≥1. 于是sin≥. 從而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， 即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z. 故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合為. 2．(2013·重慶高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a2＋b2 ＋ab＝c2. (1)求C； (2)設(shè)cos Acos B＝，＝，求tan α的值． 解：(1)因?yàn)閍2＋b2＋ab＝c2， 由余弦定理有cos C＝＝＝－， 故C＝. (2)由題意得 ＝. 因此(tan αsi

4、n A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝， tan2αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝， tan2αsin Asin B－tan αsin(A＋B)＋cos Acos B＝.?、? 因?yàn)镃＝，A＋B＝，所以sin(A＋B)＝， 因?yàn)閏os(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B， 即－sin Asin B＝， 解得sin Asin B＝－＝. 由①得tan2α－5tan α＋4＝0， 解得tan α＝1或tan α＝4. 3．(2013·江蘇高考)已知向量a＝(cos

5、 α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a－b|＝，求證：a⊥b； (2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值． 解：(1)證明：由題意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2. 又因?yàn)閍2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b. (2)因?yàn)閍＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以 由此，得cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π.又0<α

6、<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝，而α>β，所以α＝，β＝. 1．輔助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝. 可利用輔助角公式求最值、單調(diào)區(qū)間和周期． 2．三角形的面積公式 (1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分別是邊a，b，c上的高)； (2)S＝absin C＝bcsin A＝acsin B； (3)S△ABC＝(海倫公式)． 3．解三角形常見問題 (1)已知一邊和兩角解三角形； (2)已知兩邊及其中一邊的對角解三角形； (3)已知兩邊及其夾角解三角形；

7、(4)已知三邊解三角形； (5)三角形形狀的判定； (6)三角形的面積問題； (7)正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用． 熱點(diǎn)一 三角變換與求值 [例1]　(2013·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值； (2)若α∈，且f(α)＝，求α的值． [自主解答]　(1)因?yàn)閒(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x ＝cos 2xsin 2x＋cos 4x ＝(sin 4x＋cos 4x) ＝sin， 所以f(x)的最小正周期為，最大值為. (2)因?yàn)閒(α)＝，所以s

8、in＝1. 因?yàn)棣痢剩? 所以4α＋∈， 即4α＋＝.故α＝. 在本例中，若F(x)＝f(x)·f(－x)＋f2(x)，求F(x)的最大值和單調(diào)遞增區(qū)間． 解：∵f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x ＝， ∴F(x)＝f(x)·f(－x)＋f2(x)　 ＝(cos 4x＋sin 4x)(cos 4x－sin 4x)＋(sin 4x＋cos 4x)2 ＝cos 8x＋(1＋2sin 4xcos 4x) ＝cos 8x＋sin 8x＋ ＝＋ ＝sin＋， ∴F(x)max＝＋＝. 由－＋2kπ≤8x＋≤＋2kπ，k∈Z，得 －

9、＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 故函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z. 1．條件求值的一般思路 (1)先化簡所求式子或所給條件； (2)觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手)； (3)將已知條件代入所求式子，化簡求值． 2．三角恒等變換的“五遇六想” (1)遇正切，想化弦；(2)遇多元，想消元；(3)遇差異，想聯(lián)系；(4)遇高次，想降次；(5)遇特角，想求值；(6)想消元，引輔角． 1．已知向量a＝，b＝，函數(shù)f(x)＝2a·b－為偶函數(shù)，且θ∈[0，π]． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)設(shè)x∈(0，π)，f(x)＝1，求x的

10、值． 解：(1)f(x)＝2sincos＋2cos2－＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin. 由f(x)為偶函數(shù)得θ＋＝kπ＋，k∈Z， ∴θ＝kπ＋，k∈Z.又θ∈[0，π]，∴θ＝， 故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝2sin＝2cos 2x. (2)由f(x)＝1得cos 2x＝. 又x∈(0，π)，所以2x∈(0,2π)， 所以2x＝或2x＝， 即x＝或. 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝2sin xcos2＋cos xsin φ－sin x(0<φ<π)在x＝π處取最小值． (1)求φ的值； (2)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，

11、已知a＝1，b＝，f(B)＝－，求的值． 解：(1)f(x)＝2sin xcos2＋cos xsin φ－sin x ＝sin x＋cos xsin φ ＝sin xcos φ＋cos xsin φ＝sin(x＋φ)， 依題意，sin(π＋φ)＝－1，∵0<φ<π，∴φ＝. (2)由(1)知f(x)＝sin(x＋φ)＝sin＝cos x， ∵f(B)＝－，∴cos B＝－. ∵0<B<π，∴B＝. ∵a＝1，b＝，由正弦定理＝＝， 故sin A＝.∵a<b，∴A<B，∴0<A<，∴A＝. ∴C＝π－A－B＝. ∴＝ ＝

12、＝＝. 熱點(diǎn)二 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) [例2]　(2013·山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)圖像的一個(gè)對稱中心到最近的對稱軸的距離為. (1)求ω的值； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． [自主解答]　(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx ＝－·－sin 2ωx ＝cos 2ωx－sin 2ωx ＝－sin. 因?yàn)閳D像的一個(gè)對稱中心到最近的對稱軸的距離為， 又ω>0，所以＝4×， 因此ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝－sin. 當(dāng)

13、π≤x≤時(shí)，≤2x－≤， 所以－≤sin≤1. 因此－1≤f(x)≤. 故f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，－1. 研究三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的常用方法 (1)求三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、最值及判斷三角函數(shù)的奇偶性，往往是在定義域內(nèi)，先化簡三角函數(shù)式，盡量化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后再求解． (2)對于形如y＝asin ωx＋bcos ωx型的三角函數(shù)，要通過引入輔助角化為y＝sin(ωx＋φ)的形式來求． 3．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的一段圖像如圖所示． (1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖像向右平移個(gè)單位，得到

14、y＝g(x)的圖像．求直線y＝與函數(shù)y＝f(x)＋g(x)的圖像在(0，π)內(nèi)所有交點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：(1)由題意知A＝2，T＝π，于是ω＝＝2， 將y＝2sin 2x的圖像向左平移個(gè)單位長度， 得f(x)＝2sin 2＝2sin. (2)依題意得g(x)＝2sin＝－2cos. 故y＝f(x)＋g(x)＝2sin－2cos＝ 2sin. 由2sin＝，得sin＝. ∵0<x<π，∴－<2x－<. ∴2x－＝或2x－＝， ∴x＝或x＝， ∴所有交點(diǎn)的坐標(biāo)為或. 4．已知函數(shù)f(x)＝(sin ωx＋cos ωx)·sinx，且函數(shù)y＝f(

15、x)的圖像的一個(gè)對稱中心為. (1)求a的值和函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間； (2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足＝，求函數(shù)f(A)的取值范圍． 解：(1)f(x)＝(sin ωx＋cos ωx)cos ωx ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋ ＝sin＋. 據(jù)題意，2ω·＋＝kπ，k∈Z， ω＝，k∈Z， ∵0<ω<，∴當(dāng)k＝1時(shí)，ω＝. 從而f(x)＝sin＋， 故a＝. 2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， 單調(diào)遞減區(qū)間是，k∈Z. (2)2sin Acos B－cos Bsin C＝sin Bcos C,2sin Ac

16、os B＝sin(B＋C)，cos B＝，∴B＝. f(A)＝sin＋，0<A<， 故<A＋<，1<f(A)<，即f(A)∈. 熱點(diǎn)三 正弦、余弦定理及解三角形 [例3]　在△ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1. (1)求角A的大??； (2)若△ABC的面積S＝5，b＝5，求sin Bsin C的值． [自主解答]　(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1， 得2cos2A＋3cos A－2＝0， 即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0， 解得cos A＝或cos A＝

17、－2(舍去)． 因?yàn)?<A<π，所以A＝. (2)由S＝bcsin A＝bc·＝bc＝5，得bc＝20.又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21，故a＝. 又由正弦定理得sin Bsin C＝sin A·sin A＝sin2A＝×＝. 保持本例條件不變，若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面積． 解：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＋c2－bc＝36. 又b＋c＝8，所以bc＝. 由三角形面積公式S＝bcsin A，得△ABC的面積為. 三角形的基本量的求

18、法 (1)先將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，若要把“邊”化為“角”，常利用a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，若要把“角”化為“邊”，常利用sin A＝，sin B＝，sin C＝，cos C＝等； (2)然后利用三角形的內(nèi)角和定理、大邊對大角等知識求出三角形的基本量． 5．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝ac. (1)求B； (2)若sin Asin C＝，求C. 解：(1)因?yàn)?a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac， 所以a2＋c2－b2＝－ac. 由余弦定理得cos B＝＝－， 因此B＝1

19、20°. (2)由(1)知A＋C＝60°， 所以cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C ＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C ＝cos(A＋C)＋2sin Asin C ＝＋2×＝，故A－C＝30°或A－C＝－30°， 因此C＝15°或C＝45°. 6．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝. (1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值． 解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)， 又b＝2，a＋c＝6，cos B＝，所以ac＝9. 解得a＝3，c＝3. (2)在△ABC中，sin B＝ ＝， 由正弦定理得sin A＝＝. 因?yàn)閍＝c，所以A為銳角，所以cos A＝ ＝. 因此sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝.