高中數(shù)學(xué)蘇教版選修21學(xué)案：第1章 章末分層突破 Word版含解析

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1、 精品資料 章末分層突破 [自我校對(duì)] ①逆否命題 ②必要條件 ③p?q ④且q ⑤或 ⑥全稱命題 ⑦存在量詞 　　 四種命題及其相互關(guān)系 四種命題是指原命題、逆命題、否命題和逆否命題．一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用非p和非q分別表示p和q的否定，于是四種命題的形式就是：原命題：若p，則q；逆命題：若q，則p；否命題：若非p，則非q；逆否命題：若非q，則非p. 原命題與它的逆命題、否命題之間的真假是不確定的，而原命題與它的逆否命題(或它的逆命題與它的否命題)之間在真假上是始終保持一致

2、的，即同真同假．正是因?yàn)樵}與逆否命題的真假一致，所以對(duì)某些命題的證明可轉(zhuǎn)化為證明其逆否命題． 　已知a，b，c∈R，寫(xiě)出命題“若ac＜0，則方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷這三個(gè)命題的真假． 【精彩點(diǎn)撥】　按照四種命題的定義寫(xiě)出命題，只需判定原命題及逆命題的真假，利用互為逆否命題的命題是等價(jià)命題，可知否命題與逆否命題的真假． 【規(guī)范解答】　逆命題：“若方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac＜0”，是假命題． 如當(dāng)a＝1，b＝－3，c＝2時(shí)，方程x2－3x＋2＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1＝1，x2＝2，但ac＝

3、2＞0. 否命題：“若ac≥0，則方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)沒(méi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”，是假命題． 這是因?yàn)樗湍婷}互為逆否命題，而逆命題是假命題． 逆否命題：“若方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)沒(méi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac≥0”，是真命題． 因?yàn)樵}是真命題，而逆否命題與原命題等價(jià)． [再練一題] 1．給出下列命題： ①已知a＝(3,4)，b＝(0，－1)，則a在b方向上的投影為－4. ②函數(shù)y＝tan的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱． ③命題“如果ab＝0，則a⊥b”的否命題和逆命題都是真命題． ④若a≠0，則ab＝ac是b＝c成立的必要不充分條件．

4、 其中正確命題的序號(hào)是________．(將所有正確的命題序號(hào)都填上) 【解析】?、佟遼a|＝5，|b|＝1，ab＝－4，∴cos〈a，b〉＝－， ∴a在b方向上的投影為|a|cos〈a，b〉＝－4，①正確． ②當(dāng)x＝時(shí)，tan無(wú)意義， 由正切函數(shù)y＝tan x的圖象的性質(zhì)知，②正確． ③∵原命題的逆命題為“若a⊥b，則ab＝0”為真， ∴其否命題也為真．∴③正確． ④當(dāng)a≠0，b＝c時(shí)，ab＝ac成立． (當(dāng)a≠0，ab＝ac時(shí)不一定有b＝c) ∴④正確． 【答案】　①②③④ 充分條件與必要條件的判斷 關(guān)于充分條件、必要條件與充要條件的判定，實(shí)際上是對(duì)命題真假的

5、判定； 若“p?q”，且“pDq”，則p是q的“充分不必要條件”，同時(shí)q是p的“必要不充分條件”； 若“p?q”，則p是q的“充要條件”，同時(shí)q是p的“充要條件”； 若“pDq”，則p是q的“既不充分也不必要條件”，同時(shí)q是p的“既不充分也不必要條件”． 　設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2<0，a<0. q：實(shí)數(shù)x滿足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0. 且非p是非q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【精彩點(diǎn)撥】　非p是非q的必要不充分條件也就是p是q的充分不必要條件(q是p的必要不充分條件)．利用集合之間關(guān)系列不等式組求解． 【規(guī)范解答】　設(shè)A＝{x|p}＝{x|

6、x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3a0} ＝{x|x<－4或x≥－2}． ∵非p是非q的必要不充分條件， ∴q是p的必要不充分條件． ∴AB， ∴或 解得－≤a<0或a≤－4. [再練一題] 2.是的什么條件？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解】　當(dāng)x>2且y>2時(shí)，有x＋y>4，xy>4， 即? 反之，當(dāng)x＝1<2，y＝5時(shí)，有x＋y＝6>4，xy＝5>4， 即D ∴是的必要不充分條件. 含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題 1.“且”“或”“非”這些詞叫邏輯聯(lián)結(jié)詞，不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫簡(jiǎn)單命題，由

7、簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題有“p或q”、“p且q”、“非p”三種形式． 2．含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷：“p或q”中有真為真，“p且q”有假為假，非p與p真假相反． 　給出兩個(gè)命題：p：函數(shù)y＝x2－x－1有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，q：若<1，則x>1，那么在下列四個(gè)命題中，真命題是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：09390016】 ①(非p)或q；②且q；③(非p)且 (非q)； ④(非p)或(非q)． 【精彩點(diǎn)撥】　→→ 【規(guī)范解答】　∵Δ＝1＋4＝5>0，∴p真． ∵x<0時(shí)，<0<1但x>1不成立，∴q假， ∴非q真，∴①②③均為假命題，④為真命題． 【答案】　④ [再

8、練一題] 3．(2016山東濰坊高三模擬)已知命題p：若a>1，則ax>logax恒成立；命題q：在等差數(shù)列{an}中，m＋n＝s＋r是am＋an＝as＋ar的充分不必要條件(m，n，s，r∈N*)．則下面選擇項(xiàng)中的真命題是________． ①(非p)且(非q)；②(非p)或(非q)； ③p或(非q)；④且q. 【解析】　當(dāng)a＝1.1，x＝2時(shí)，ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log1.11.12＝2，此時(shí)，ax

9、n＝s＋r，故q是真命題．所以非p是真命題，非q是假命題． 【答案】?、? 全稱命題和存在性命題 1.全稱命題“?x∈M，p(x)”強(qiáng)調(diào)命題的一般性，因此， (1)要證明它是真命題，需對(duì)集合M中每一個(gè)元素x，證明p(x)成立； (2)要判斷它是假命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x，使p(x)不成立即可． 2．存在性命題“?x∈M，p(x)”強(qiáng)調(diào)結(jié)論的存在性，因此， (1)要證明它是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x，使p(x)成立即可； (2)要判斷它是假命題，需對(duì)集合M中每一個(gè)元素x，證明p(x)不成立． 　判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題，并判斷其真假． (1)

10、對(duì)角互補(bǔ)的四邊形都內(nèi)接于一個(gè)圓； (2)對(duì)于定義在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)，若f(a)f(b)＜0，則函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)上至少有一個(gè)零點(diǎn)； (3)?x∈，tan x＞sin x； (4)?x∈R，log2(3x＋1)≤0； 【精彩點(diǎn)撥】　→→→ 【規(guī)范解答】　(1)全稱命題，是真命題． (2)存在性命題，是真命題． (3)全稱命題，∵tan x＝，x∈， ∴0＜cos x＜1，sin x＞0， ∴＞1，＞sin x，即tan x＞sin x， ∴是真命題． (4)存在性命題，∵3x＞0，∴3x＋1＞1，則log2(3x＋1)＞0，∴是假命題． [再

11、練一題] 4．(2016河南洛陽(yáng)高三模擬)下列命題中假命題是________． ①?x∈R,2x－1>0；②?x∈N*，(x－1)2>0； ③?x0∈R，lg x0<1；④?x0∈R，tan x0＝2. 【解析】　對(duì)于①，∵x∈R，∴x－1∈R，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得2x－1>0，故①正確； 對(duì)于②，∵x∈N*，∴當(dāng)x＝1時(shí)，(x－1)2＝0與(x－1)2>0矛盾，故②錯(cuò)誤； 對(duì)于③，當(dāng)x＝時(shí)，lg ＝－1<1，故③正確； 對(duì)于④，當(dāng)x∈R，tan x∈R，∴?x0∈R，tan x0＝2，故④正確． 【答案】?、? 含一個(gè)量詞的命題的否定 1.全稱命題的否定一定是存在性命題．

12、 p：?x∈M，p(x)成立； 非p：?x∈M，非p(x)成立． 2．存在性命題的否定一定是全稱命題． p：?x∈M，p(x)成立； 非p：?x∈M，非p(x)成立． 3．含有一個(gè)量詞的命題的否定首先要改變量詞，把全稱量詞改為存在量詞；把存在量詞改為全稱量詞，然后再把判斷詞加以否定． 　寫(xiě)出下列命題的否定，并判斷它們的真假． (1)p：?x∈R，x2＋x＋≥0； (2)q：?x是質(zhì)數(shù)，x不是奇數(shù)； (3)r：至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x> ； (4)s：所有的周期函數(shù)都有最小正周期． 【精彩點(diǎn)撥】　→→→ 【規(guī)范解答】　(1)非p：?x∈R，使x2＋x＋<0.由于對(duì)任意的實(shí)

13、數(shù)x，x2＋x＋＝2≥0，故p是真命題，非p是假命題． (2)非q：?x是質(zhì)數(shù)，x是奇數(shù)． 由于2是質(zhì)數(shù)，且2不是奇數(shù)，故q是真命題，非q是假命題． (3)非r：?x∈R，x≤. 由于對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，x≤|x|＝<，故r是假命題，非r是真命題． (4)非s：有的周期函數(shù)沒(méi)有最小正周期． 由于f(x)＝0(x∈R)是周期函數(shù)但沒(méi)有最小正周期， 故s是假命題，非s是真命題． [再練一題] 5．(2016哈爾濱高二檢測(cè))命題“?x∈R，x2＋2x＋3≥0”的否定為_(kāi)_______． 【解析】　由于全稱命題的否定是存在性命題，所以命題“?x∈R，x2＋2x＋3≥0”的否定為：?x∈

14、R，x2＋2x＋3＜0. 【答案】　?x∈R，x2＋2x＋3＜0 1．(2015山東高考改編)設(shè)m∈R，命題“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實(shí)根”的逆否命題是________． 【解析】　“若p則q”的逆否命題是“若非q則非p”． 【答案】　若方程x2＋x－m＝0沒(méi)有實(shí)根，則m≤0 2．(2015湖北高考改編)命題“?x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是________． 【解析】　存在性命題“?x0∈M，p(x0)”的否定是全稱命題“?x∈M，非p(x)”． 【答案】　?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 3．(2015北京高考改編)設(shè)a，b是非零向量，

15、“ab＝|a||b|”是“a∥b”的________條件． 【解析】　因?yàn)閍，b是非零向量，當(dāng)ab＝|a||b|時(shí)，a與b共線且同向，但當(dāng)a∥b時(shí)，ab＝|a||b|或ab＝－|a||b|. 則“ab＝|a||b|”是“a∥b”的充分不必要條件． 【答案】　充分不必要 4．(2016四川高考)在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P(x，y)不是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為P′；當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為它自身．現(xiàn)有下列命題： ①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′，則點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A； ②單位圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”仍在單位圓上； ③若兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則它們的“伴隨點(diǎn)”關(guān)于y軸對(duì)稱； ④

16、若三點(diǎn)在同一條直線上，則它們的“伴隨點(diǎn)”一定共線． 其中的真命題是________(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))． 【解析】?、僭O(shè)A(2,1)，則其伴隨點(diǎn)為A′，而A′的伴隨點(diǎn)為(－2，－1)，故①錯(cuò)． ②設(shè)P(x，y)，其中x2＋y2＝1，則其伴隨點(diǎn)為(y，－x)，該點(diǎn)也在圓x2＋y2＝1上，故②正確． ③設(shè)A(x，y)，B(x，－y)，則它們的伴隨點(diǎn)分別為A′，B′，A′與B′關(guān)于y軸對(duì)稱，故③正確． ④設(shè)共線的三點(diǎn)A(－1,0)，B(0,1)，C(1,2)，則它們的伴隨點(diǎn)分別為A′(0,1)，B′(1,0)，C′，此三點(diǎn)不共線，故④錯(cuò)． 【答案】?、冖? 5．(2014重慶高考改編)已知命題p：對(duì)任意x∈R，總有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．則下列命題為真命題的是________． ①p且(非q) ；②(非p)且q；③(非p)且(非q)； ④p且q. 【解析】　由題意知命題p是真命題，命題q是假命題，故非p是假命題，非q是真命題，由含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真值表可知且(非q)是真命題． 【答案】?、?