【導與練】新課標高三數(shù)學一輪復習 第2篇 函數(shù)的奇偶性學案 理

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1、第十三課時 函數(shù)的奇偶性 課前預習案 考綱要求 1．掌握奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義及其判斷方法； 2．掌握奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象與性質； 3．會應用奇函數(shù)、偶函數(shù)解決問題． 基礎知識梳理 1.如果對于函數(shù)f(x)定義域內任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做-------------------------------; 如果對于函數(shù)f(x)定義域內任意一個x,都有f(-x)= －f(x),那么函數(shù)f(x)叫做--------------------------- ; 2.如果奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義,則f(0)=--------------------

2、-----. 如果函數(shù)f(x)的定義域不關于原點對稱,那么f(x)一定是----------------; 如果f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),那么f(x)的表達式是---------------- 3.奇偶函數(shù)的性質: (1)具有奇偶性的函數(shù)定義域關于--------------------------對稱. (2)奇函數(shù)的圖象關于------------------------------對稱, 偶函數(shù)的圖象關于------------------------------對稱. (3)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性--------------------------------,偶函

3、數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性--------------------------------. (4)y=f(a+x)是偶函數(shù) f(a+x)= f(a-x) f(x)= f(2a-x) f(x)關于x=a對稱; (5)y=f(b+x)是奇函數(shù)f(b-x)=－f(b+x) f(x)關于(b,0)成中心對稱圖形. 預習自測 1.【2012高考真題陜西理2】下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（ ） A. B. C. D. 2.（2013山東理3）已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且當x>0時, f(x) =x2+ ,則f(-1)= (

4、 )  　?。ˋ）-2 （B）0 （C）1 （D）2  3.已知是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則）在R上的表達式是（　　） A．　 B． C． D．　　 4.【2012高考真題上海理9】已知是奇函數(shù)，且，若，則 。 5.（2012年高考（重慶文））函數(shù) 為偶函數(shù),則實數(shù)________ 課堂探究案 考點1. 判斷函數(shù)的奇偶性 【典例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性： （1）； (2)； （3）； （4）． 【變式1】判斷下列函數(shù)的奇偶性： （1）；（2）. 考點2.

5、 利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)范圍. 【典例2】若奇函數(shù)是定義在（，1）上的增函數(shù)， 試解關于的不等式：． 【變式2】若奇函數(shù)f(x)是定義在(－1，1)上的減函數(shù)，且f(a－3)+f(9－a2)<0,則a的取值范圍是( ) A (2，3) B (3，) C (2，4) D (－2，3) 考點3. 抽象函數(shù)奇偶性的判斷 【典例3】已知函數(shù)f(x)對一切x,yR,都有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求證:f(x)是奇函數(shù); (2)若f(-3)=a,用a表示f(12). 【變式3】已知函數(shù)對任意實數(shù)，均有，且存在非零常數(shù) （1）求的值；

6、 （2）判斷的奇偶性并證明. 考點4. 函數(shù)性質的綜合應用 【典例4】已知定義在R上的函數(shù)對任意實數(shù)、，恒有，且當時，，又． （1）求證：為奇函數(shù)； （2）求證：在R上是減函數(shù)； （3）求在[，6]上的最大值與最小值． 【變式4】已知函數(shù)是偶函數(shù)，在［0，2］上是單調減函數(shù)，則（ ） A. B. C. D. 考點5. 函數(shù)的周期性 【典例5】設奇函數(shù)f(x)的定義域為R，最小正周期T＝3，若f(1)≥1，f(2)＝，則a的取值范圍是(　　) A．a<－1或a≥ B．a<－1 C．－1<

7、a≤ D．a≤ 【變式5】設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x＋3)·f(x)＝－1，f(－1)＝2，則f(2011)＝________. 當堂檢測 1．已知函數(shù)是偶函數(shù)，且其定義域為［］，則（　?。? A．，b＝0 B．，b＝0 C．，b＝0 D．，b＝0 2．已知是定義在R上的偶函數(shù)，它在上遞減，那么一定有 （ ） A． B． C． D． 3．設函數(shù)為奇函數(shù)，，則=（ ） A．0 B．1 C． D．5 4．設是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則 ． 5．已知定義在上

8、的函數(shù)，滿足，且對任意的都有，則 ． 課后拓展案 A組全員必做題 1.【2012高考真題重慶理7】已知是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“為上的增函數(shù)”是“為上的減函數(shù)”的（ ） （A）既不充分也不必要的條件 （B）充分而不必要的條件 （C）必要而不充分的條件 （D）充要條件 2．下列命題中，真命題是（ ） A．函數(shù)是奇函數(shù)，且在定義域內為減函數(shù) B．函數(shù)是奇函數(shù)，且在定義域內為增函數(shù) C．函數(shù)是偶函數(shù)，且在（3，0）上為減函數(shù) D．函數(shù)是偶函數(shù)，

9、且在（0，2）上為增函數(shù) 3． 若，都是奇函數(shù)，在（0，＋∞）上有最大值5，則在（－∞，0）上有（　） A．最小值－5　　B．最大值－5 C．最小值－1　　　D．最大值－3 4．定義在R上的奇函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，又，則不等式的解集為（ ）A．（－3，0）∪（0，3） B．（－∞，－3）∪（3，+∞） C．（－3，0）∪（3，+∞） D．（－∞，－3）∪（0，3） 5.（2013廣東理2）定義域為的四個函數(shù),,,中,奇函數(shù)的個數(shù)是( ) A . B． C． D． 6.已知函數(shù)是偶函數(shù)，在［0，3］上是單

10、調增函數(shù)，則（ ） A. B. C. D. 7.（2013山東高考理8）函數(shù)y=xcosx + sinx 的圖象大致為 （ ） A B C D 8．已知為奇函數(shù)，當∈（0，1）時，lg，那么當∈（－1，0）時，的表達式是-----------------------． 9.(2013江蘇11)已知是定義在上的奇函數(shù).當時，，則不等式的解集用區(qū)間表示為

11、 _______ . 10．已知是奇函數(shù)，則＋= ----------------------. B組提高選做題 1．若是偶函數(shù)，當∈［0，+∞)時，，則的解集是---------------------. 2.已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，若，則的解析式為------------------------------------------. 3．已知函數(shù)是奇函數(shù)，又，，求、、的值. 參考答案 預習自測 1.D 2.A 3.D 4. 5.4 典型例題 【典例1】解：（1），解得，即定義域為． ∴該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)． （2），解得，即定義域

12、為． 又，∴該函數(shù)為偶函數(shù)． （3）∴∴或． 又， ∴該函數(shù)為偶函數(shù)． （4）時，，； 時，，． ∴該函數(shù)為奇函數(shù)． 【變式1】【解析】（1）函數(shù)的定義域，關于坐標原點對稱. ∵， ∴是奇函數(shù). （2）由得 故的定義域為［－1，0）∪（0，1］，關于原點對稱，且有x+2＞0. 從而有f（x）= =， ∴===，故為奇函數(shù). 【典例2】【解析】由已知得 因f(x)是奇函數(shù)，故 ，于是． 又是定義在（1，1）上的增函數(shù)，從而 即不等式的解集是． 【變式2】【答案】A 【解析】∵f(x)是定義在(－1，1）上的奇函數(shù)又是減函數(shù)， 且f(a－3)+f

13、(9－a2)＜0 ∴f(a－3)＜f(a2－9) ∴ ∴a∈(2,3) 【典例3】（1）證明：令，則， 令，得， ∴， ∴． ∴該函數(shù)為奇函數(shù)． （2）解：∵為奇函數(shù)，∴， ∴，． 【變式3】【解析】（1）均有 （2）令，，為偶函數(shù) 【典例4】（1）證明：令，則，∴. 令，則， ∴， ∴函數(shù)為奇函數(shù)． （2）證明：取，則， ， ∴在上是減函數(shù)． （3）∵在上是減函數(shù)， ∴，． 【變式4】【答案】A 【解析】由f（x－2）在［0，2］上單調遞減， ∴在［－2，0］上單調遞減. ∵是偶函數(shù)， ∴在［0，2］上單

14、調遞增. 又，故應選A. 【典例5】C 【變式5】 當堂檢測 1．【答案】A 【解析】由為偶函數(shù)，得b＝0．由定義域［a-1，2a］關于原點對稱得a=,故選A. 2．【答案】B 【解析】∵， 又∵在上遞減，∴. ∵是定義在R上的偶函數(shù)，∴，故選B. 3．【答案】C 【解析】由題意得，而，故， ∴. 4．【答案】 【解析】∵是定義在上的奇函數(shù)，∴. 5．【答案】 【解析】由題意可得. ∴函數(shù)的周期為6. ， 而. A組全員必做題 1.D 2.C 3.C 4.A 5.C 6.D 7.D 8. 9. 10. B組提高選做題 1. 2. 3.解：，，∴． 又，∴,∴b=, ∴==<3, 即∴-1<a<2,又∵az, ∴a=0或1，當a=0時，b=.舍去， 當a=1時，b=.滿足條件， ∴a=1,b=1,c=0.