【導(dǎo)與練】新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8篇 第1節(jié) 直線與方程課時訓(xùn)練 理

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1、第八篇　平面解析幾何(必修2、選修21) 第1節(jié) 直線與方程課時訓(xùn)練 理 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【選題明細(xì)表】 知識點(diǎn)、方法 題號 直線的傾斜角與斜率 1、4、7 直線方程 3、5、9、11、12 兩條直線的位置關(guān)系 2、8、10、16 點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線之間的距離 6、14 直線方程的綜合應(yīng)用 9、13、15、16 一、選擇題 1.(2014北京朝陽模擬)直線x+3y+1=0的傾斜角是(　D　) (A)π6 (B)π3 (C)2π3 (D)5π6 解析:由直線的方程得直線的斜率為k=-33,設(shè)傾斜角為α,則tan α=-33

2、,又α∈[0,π),所以α=5π6. 2.直線3ax-y-1=0與直線(a-23)x+y+1=0垂直,則a的值是(　D　) (A)-1或13 (B)1或13 (C)-1或-13 (D)1或-13 解析:由題意得,3a(a-23)-1=0,解得a=1或a=-13. 3.(2014深圳模擬)已知點(diǎn)A(1,2)、B(3,1),則線段AB的垂直平分線的方程是(　B　) (A)4x+2y-5=0 (B)4x-2y-5=0 (C)x+2y-5=0 (D)x-2y-5=0 解析:線段AB的中點(diǎn)為(2,32),又因?yàn)榫€段AB的斜率為2-11-3=-12,所以線段AB的垂直平分線的斜率為

3、k=2,所以線段AB的垂直平分線的方程是y-32=2(x-2),即4x-2y-5=0. 4.(2014山東省泰安模擬)直線x+(a2+1)y+1=0的傾斜角的取值范圍是(　B　) (A)0,π4 (B)[3π4,π) (C)0,π4∪(π2,π) (D)π4,π2∪3π4,π 解析:直線的斜截式方程為y=-1a2+1x-1a2+1,所以斜率為k=-1a2+1,即tan α=-1a2+1,所以-1≤tan α<0,解得3π4≤α<π,即傾斜角的取值范圍是[3π4,π). 5.若直線l1:y=k(x-4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對稱,則直線l2經(jīng)過定點(diǎn)(　B　)

4、 (A)(0,4) (B)(0,2) (C)(-2,4) (D)(4,-2) 解析:直線l1:y=k(x-4)經(jīng)過定點(diǎn)(4,0),其關(guān)于點(diǎn)(2,1)對稱的點(diǎn)為(0,2),又直線l1與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對稱,故直線l2經(jīng)過定點(diǎn)(0,2).故選B. 6.點(diǎn)(1,1)到直線ax+y-3=0的最大距離為(　C　) (A)1 (B)2 (C)5 (D)6 解析:因?yàn)橹本€ax+y-3=0過定點(diǎn)(0,3),點(diǎn)(1,1)到直線ax+y-3=0的最大距離即為點(diǎn)(1,1)與點(diǎn)(0,3)之間得距離d=(1-0)2+(1-3)2=5. 7.已知點(diǎn)A(1,3),B(-2,-1).若直線l:y=k(x-

5、2)+1與線段AB相交,則k的取值范圍是(　D　) (A)[12,+∞) (B)(-a,-2] (C)(-∞,-2]∪[12,+∞) (D)[-2,12] 解析:由已知直線l恒過定點(diǎn)P(2,1),如圖所示. 若l與線段AB相交, 則kPA≤k≤kPB, ∵kPA=-2,kPB=12, ∴-2≤k≤12.故選D. 8.(2014承德聯(lián)考)使三條直線4x+y=4,mx+y=0,2x-3my=4不能圍成三角形的m的值最多有(　D　) (A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個 解析:要使三條直線不能圍成三角形,只需其中兩條直線平行或者三條直線共點(diǎn)即可. 若4x

6、+y=4與mx+y=0平行,則m=4; 若4x+y=4與2x-3my=4平行,則m=-16; 若mx+y=0與2x-3my=4平行,則m的值不存在; 若4x+y=4,mx+y=0,2x-3my=4共點(diǎn),則m=-1或m=23. 綜上可知,m的值最多有4個. 9.經(jīng)過點(diǎn)P(1,4)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正的,且截距之和最小,則直線的方程為(　B　) (A)x+2y-6=0 (B)2x+y-6=0 (C)x-2y+7=0 (D)x-2y-7=0 解析:法一　設(shè)直線方程為xa+yb=1, ∵直線過點(diǎn)P(1,4), ∴1a+4b=1,即a=bb-4. ∵a>0,b>

7、;0, ∴bb-4>0, 即b>4. ∴a+b=b+bb-4=b+4b-4+1=(b-4)+4b-4+5≥9. (當(dāng)且僅當(dāng)a=3,b=6時,“=”成立) 故直線方程為2x+y-6=0.故選B. 法二　設(shè)直線方程為xa+yb=1(a>0,b>0), ∵直線過點(diǎn)P(1,4), ∴1a+4b=1. ∴a+b=(a+b)×(1a+4b) =1+4ab+ba+4 =5+(4ab+ba) ≥5+24ab×ba =9. (當(dāng)且僅當(dāng)4ab=ba,即b=2a,也就是a=3,b=6時等號成立) ∴截距之和最小時直線方程為x3+y6=1,即2

8、x+y-6=0.故選B. 二、填空題 10.已知直線l的傾斜角為3π4,直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,2)、B(a,-1),且l1與l垂直,直線l2:2x+by+1=0與直線l1平行,則a+b等于　　　　.  解析:直線l的斜率為-1, 則l1的斜率為1,kAB=2-(-1)3-a=1, ∴a=0.由l1∥l2,得-2b=1,b=-2, ∴a+b=-2. 答案:-2 11.經(jīng)過點(diǎn)(-2,2),且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為1的直線l的方程為　　　　.  解析:顯然直線不平行于x,y軸,設(shè)直線方程為y-2=k(x+2)(k≠0),與x軸交點(diǎn)為(-2k-2,0),與

9、y軸交點(diǎn)為(0,2k+2). ∴12|-2k-2|·|2k+2|=1,解得k=-12或k=-2,所求直線方程為x+2y-2=0或2x+y+2=0. 答案:x+2y-2=0或2x+y+2=0 12.已知直線l過點(diǎn)P(3,4)且與點(diǎn)A(-2,2),B(4,-2)等距離,則直線l的方程為　　　　.  解析:與A、B等距離的點(diǎn)所在直線與直線AB平行或經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)C(1,0) 若l∥AB, 則kl=kAB=-2-24-(-2)=-23, 直線l的方程為y-4=-23(x-3) 即2x+3y-18=0. 若l經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)C,則直線l的方程為 y-0x-1

10、=4-03-1即2x-y-2=0. 答案:2x+3y-18=0或2x-y-2=0 13.(2014合肥模擬)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,點(diǎn)P是邊AB上異于A,B的一點(diǎn).光線從點(diǎn)P出發(fā),經(jīng)BC,CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖).若光線QR經(jīng)過△ABC的重心,則AP等于　　　　.  解析:以AB、AC所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系, 則A(0,0),B(4,0),C(0,4), 得△ABC的重心D(43,43), 設(shè)AP=x,P(x,0),x∈(0,4), 由光的反射定理, 知點(diǎn)P關(guān)于直線BC、AC的對稱點(diǎn)P1(4,4-x)、P2(-x,

11、0), 與△ABC的重心D(43,43)共線, 所以4343+x=43-(4-x)43-4,求得x=43,AP=43. 答案:43 14.定義:曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離.已知曲線C1:y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2:x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離,則實(shí)數(shù)a=　　　　.  解析:曲線C2是圓心為(0,-4),半徑r=2的圓,圓心到直線l:y=x的距離d1=|0+4|2=22,所以曲線C2到直線l的距離為d1-r=2. 設(shè)曲線C1上的點(diǎn)(x0,y0)到直線l:y=x的距離最短為d,則過(x0,y0)的切線平行于直

12、線y=x. 已知函數(shù)y=x2+a,則y′|x=x0=2x0=1, 即x0=12,y0=14+a, 點(diǎn)(x0,y0)到直線l:y=x的距離d=12-14+a2=14-a2, 由題意知14-a2=2, 所以a=-74或a=94. 當(dāng)a=-74時,直線l與曲線C1相交,不合題意,故舍去. 答案:94 三、解答題 15.已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)證明:直線l過定點(diǎn); (2)若直線l不經(jīng)過第四象限,求k的取值范圍. (1)證明:法一　直線l的方程可化為y=k(x+2)+1, 故無論k取何值,直線l總過定點(diǎn)(-2,1). 法二　設(shè)直線過定點(diǎn)(x0,y0

13、),則kx0-y0+1+2k=0對任意k∈R恒成立,即(x0+2)k-y0+1=0恒成立, 所以x0+2=0,-y0+1=0, 解得x0=-2,y0=1, 故直線l總過定點(diǎn)(-2,1). (2)解:直線l的方程為y=kx+2k+1, 則直線l在y軸上的截距為2k+1, 要使直線l不經(jīng)過第四象限, 則k≥0,1+2k≥0, 解得k≥0. 故k的取值范圍為[0,+∞). 16.已知兩直線l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求滿足下列條件的a、b的值. (1)l1⊥l2,且直線l1過點(diǎn)(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等. 解:(1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)-b=0. 又∵直線l1過點(diǎn)(-3,-1),∴-3a+b+4=0. 故a=2,b=2. (2)∵直線l2的斜率存在,l1∥l2, ∴直線l1的斜率存在,k1=k2, 即ab=1-a. 又∵坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等, ∴l(xiāng)1、l2在y軸上的截距互為相反數(shù),即4b=b. 故a=2,b=-2或a=23,b=2.