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1、專題升級訓(xùn)練 計數(shù)原理
(時間:60分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分)
1.從0,2中選一個數(shù)字,從1,3,5中選兩個數(shù)字,組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為( )
A.24 B.18 C.12 D.6
2.6位同學(xué)在畢業(yè)聚會活動中進(jìn)行紀(jì)念品的交換,任意兩位同學(xué)之間最多交換一次,進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈一份紀(jì)念品.已知6位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換,則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為( )
A.1或3 B.1或4
C.2或3 D.2或4
3.(2013江西,理5)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為( )
A.80 B.-80 C.40 D.-40
2、
4.某市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編,但規(guī)定從左到右第二個號碼只能從字母B,C,D中選擇,其他四個號碼可以從0~9這十個數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù)),某車主第一個號碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇,其他號碼只想在1,3,6,9中選擇,則他的車牌號碼可選的所有可能情況有( )
A.180種 B.360種
C.720種 D.960種
5.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展開式中,含x3的項(xiàng)的系數(shù)是( )
A.74 B.121[來源:]
C.-74 D.-121
6.形如34021這樣的數(shù)稱為“波浪數(shù)”,即十位上的數(shù)字、千位上的數(shù)字均比與它們各
3、自相鄰的數(shù)字大,則由0,1,2,3,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)是“波浪數(shù)”的所有可能情況有( )
A.66種 B.69種[來源:]
C.61種 D.71種
二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分)
7.某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié),則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為 (用數(shù)字作答).
8.在二項(xiàng)式的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)之和為A,各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為B,且A+B=72,則n= .
9.若將(x-a)(x-b)逐項(xiàng)展開得x2-ax-bx+ab,則x2出現(xiàn)的概率為,x出現(xiàn)的概率為,如果將
4、(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)逐項(xiàng)展開,那么x3出現(xiàn)的概率為 .
三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
10.(本小題滿分15分)用n種不同顏色為下列兩塊廣告牌著色(如圖①②),要求在A,B,C,D四個區(qū)域中相鄰(有公共邊的)區(qū)域不用同一種顏色.
(1)若n=6,為①著色時共有多少種不同的方法?
(2)若為②著色時共有120種不同的方法,求n.
11.(本小題滿分15分)(1)若(1+x)n的展開式中,x3的系數(shù)是x的系數(shù)的7倍,求n.
(2)已知(ax+1)7(a≠0)的展開式中,x3的系數(shù)是x2
5、的系數(shù)與x4的系數(shù)的等差中項(xiàng),求a.[來源:]
12.(本小題滿分16分)6個人坐在一排10個座位上,問(1)空位不相鄰的坐法有多少種?(2)4個空位只有3個相鄰的坐法有多少種?(3)4個空位至多有2個相鄰的坐法有多少種?
##
1.B 解析:先分成兩類:(一)從0,2中選數(shù)字2,從1,3,5中任選兩個所組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)為4=12;
(二)從0,2中選數(shù)字0,從1,3,5中任選兩個所組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)為2=6.
故滿足條件的奇數(shù)的總個數(shù)為12+6=18.
2.D 解析:6人之間互相交換,總共有=15種,而實(shí)際只交換了13次,故有2次未交換.
6、不妨設(shè)為甲與乙、丙與丁之間未交換或甲與乙、甲與丙之間未交換,當(dāng)甲與乙、丙與丁之間未交換時,甲、乙、丙、丁4人都收到4份禮物;當(dāng)甲與乙、甲與丙之間未交換時,只有乙、丙兩人收到4份禮物,故選D.
3.C 解析:展開式的通項(xiàng)為Tr+1=x2(5-r)(-2)rx-3r=(-2)rx10-5r.令10-5r=0,得r=2,所以T2+1=(-2)2=40.故選C.
4.D 解析:由于數(shù)字可以重復(fù),故該車主的車牌號碼共有=960種可選情況.
5.D 解析:(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8[來源:]
=[來源:]
=,
∴展開式中含x3的項(xiàng)的系數(shù)為(1-x)5,(1-x)9
7、的展開式中含x4的項(xiàng)的系數(shù),為=-121.∴選D.
6.D 解析:由題意得波浪數(shù)有5類,分別為十位、千位上為5,4;5,3;5,2;4,3;4,2;所有情況總數(shù)為)++1=71.故選D.
7. 解析:基本事件總數(shù)為=720,事件“相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課”所包含的基本事件可分為三類,第一類:三節(jié)藝術(shù)課各不相鄰有=144;第二類:有兩節(jié)藝術(shù)課相鄰有=216;第三類:三節(jié)藝術(shù)課相鄰有=72.由古典概型概率公式得概率為.
8.3 解析:由題意可知,B=2n,A=4n,由A+B=72,得4n+2n=72,即2n=8,n=3.
9. 解析:基本事件總數(shù)為=32,其中x3有個,所以概率
8、為.
10.解:(1)分兩類:A,D著同色有6541=120種;
A,D著異色有6543=360種.
∴共120+360=480種不同的著色方法.
(2)由n(n-1)(n-2)(n-3)=120,用賦值法得n=5.
11.解:(1)=7=7n,n2-3n-40=0,
由n∈N*,得n=8.
(2)由題意知,a2+a4=2a3,21a2+35a4=70a3,a≠0,
得5a2-10a+3=0?a=1.
12.解:6個人坐在一起有種坐法,6人坐好后包括兩端共有7個“間隔”可以插入空位.
(1)空位不相鄰相當(dāng)于將4個空位安插在上述7個“間隔”中,有=35種插法,故空位不相鄰的坐法有=25 200種.
(2)將相鄰的3個空位當(dāng)作一個元素,另一空位當(dāng)作另一個元素,往7個“間隔”里插有種插法,故4個空位中只有3個相鄰的坐法有=30240種.
(3)4個空位至多有2個相鄰的情況有三類:
①4個空位各不相鄰有種坐法;
②4個空位有2個相鄰,另有2個不相鄰有種坐法;
③4個空位分兩組,每組都有2個相鄰,有種坐法.
綜上所述,應(yīng)有)=115920種坐法.
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