高考數(shù)學 理一輪復習【3】數(shù)學 歸納法含答案

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1、 一、選擇題 1．如果命題P(n)對 n＝k 成立，則它對 n＝k＋2 也成立，若P(n) 對n＝2 也成立，則下列結論正確的是 ( ) A．P(n)對所有正整數(shù) n 都成立[來源:] B．P(n)對所有正偶數(shù) n 都成立 C．P(n)對所有正奇數(shù) n 都成立 D．P(n)對所有自然數(shù) n 都成立 解析：由題意 n＝k 時成立，則n＝k＋2時也成立， 又n＝2時成立，則 P(n) 對所有正偶數(shù)都成立． 答案：B 2．用數(shù)學歸納法證明“2n＞n2＋1 對于n≥

2、n0 的正整數(shù) n 都成立”時，第一步證明中的起始值 n0 應取 (　　) A．2 B．3 C．5 D．6[來源: 解析：分別令 n0＝2,3,5, 依次驗證即可． 答案：C 3．對于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同學應用數(shù)學歸納法的證明過程如下： (1)當n＝1時，＜1＋1，不等式成立． (2)假設當n＝k(k∈N*)時，不等式成立， 即＜k＋1， 則當n＝k＋1時，＝＜＝＝(k＋1)＋1， ∴當n＝k＋1時，不等式成立． 則上述證法

3、 (　　) A．過程全部正確 B．n＝1驗得不正確[來源:] C．歸納假設不正確 D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確 解析：此同學從n＝k 到n＝k＋1的推理中沒有應用歸納假設． 答案：D 4．用數(shù)學歸納法證明 1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的過程中，第二步假設當n＝k時等式成立，則當n＝k＋1時應得到 (　　) A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1 B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1－1＋2k＋1

4、 C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1 D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k 解析：把 n＝k＋1 代入 1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1, 得1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝ 2k－1＋2k. 答案：D 5．用數(shù)學歸納法證明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝時，由 n＝k 的假設到證明 n＝k＋1 時，等式左邊應添加的式子是 (　　) A．(k＋1)2＋2k2　　　 B．(k＋1)2＋k2 C．(k＋1)2 D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1] 解析：本題

5、易被題干誤導而錯選A, 分析等式變化規(guī)律可知左邊實際增加的是(k＋1)2＋k2. 答案：B 6．用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步歸納假設應寫成 (　　) A．假設n＝2k＋1(k∈N*)正確，再推n＝2k＋3正確 B．假設n＝2k－1(k∈N*)正確，再推n＝2k＋1正確 C．假設n＝k(k∈N*)正確，再推n＝k＋1正確 D．假設n＝k(k≥1)正確，再推n＝k＋2正確[來源:] 解析：首先要注意n為奇數(shù)，

6、其次還要使n能取到1. 答案：B 二、填空題 7．對大于或等于2的自然數(shù) m的n 次方冪有如下分解方式： 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19. 根據(jù)上述分解規(guī)律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19, m3(m∈N*)的分解中最小的數(shù)是21，則m＋n的值為________． 解析：依題意得 n2＝＝100, ∴n＝10. 易知 m3＝21m＋×2, 整理得(m－5)(m＋4)＝0, 又 m∈N*, 所以 m＝5, 所以m＋n＝15. 答案：15 8．用數(shù)學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝， 則

7、 f(k＋1)－f(k)＝________. 解析：當 n＝k時，等式左端＝1＋2＋…＋k2, 當n＝k＋1時，等式左端＝1＋2＋…＋k2＋，增加了2k＋1項． 答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 9．若數(shù)列{an}的通項公式an＝，記cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，試通過計算c1，c2，c3的值，推測cn＝________. 解析：c1＝2(1－a1)＝2×(1－)＝， c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×(1－)×(1－)＝， c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×(1－)×(1－)

8、×(1－)＝， 故由歸納推理得cn＝. 答案： 三、解答題 10．數(shù)列{an} 滿足 Sn＝2n－an(n∈N*)． (1)計算 a1，a2，a3，a4, 并由此猜想通項 an 的表達式； (2)用數(shù)學歸納法證明(1)中的猜想． 解：(1)a1＝1，a2＝， a3＝，a4＝，由此猜想 an＝(n∈N*)． (2)證明：當n＝1時，a1＝1, 結論成立． 假設 n＝k(k∈N*)時，結論成立， 即ak＝， 那么 n＝k＋1(k∈N*)時， ak＋1＝Sk＋1－Sk ＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak ＝2＋ak－ak＋1. ∴ak＋1＝＝＝， 這表明

9、n＝k＋1 時，結論成立． 根據(jù)(1)和(2)，可知猜想對任何n∈N* 都成立． ∴an＝(n∈N*)． 11．用數(shù)學歸納法證明不等式：1＋＋＋…＋＜2(n∈N*)． 證明：①當n＝1時，左邊＝1，右邊＝2. 左邊＜右邊，所以不等式成立， ②假設n＝k(k∈N*)時，不等式成立， 即1＋＋＋…＋＜2. 那么當n＝k＋1時， 1＋＋＋…＋＋ ＜2＋＝ ＜ ＝＝2.[來源:] 這就是說，當n＝k＋1時，不等式成立. 由①②可知，原不等式對任意n∈N*都成立． 12．已知等比數(shù)列{an}的首項 a1＝2, 公比q＝3, Sn是它的前n項和. 求證：≤. 證明：由已知，得

10、Sn＝3n－1， ≤等價于≤， 即3n≥2n＋1.(*) 法一：用數(shù)學歸納法證明上面不等式成立． ①當n＝1時，左邊＝3，右邊＝3，所以(*)式成立． ②假設當n＝k(k≥1)時，(*)式成立，即3k≥2k＋1， 那么當n＝k＋1時，3k＋1＝3×3k≥3(2k＋1)＝6k＋3≥2k＋3＝2(k＋1)＋1， 所以當n＝k＋1時，(*)式成立． 綜合①②，得3n≥2n＋1成立． 所以≤. 法二：當n＝1時，左邊＝3，右邊＝3，所以(*)式成立． 當n≥2時，3n＝(1＋2)n＝C＋C×2＋C×22＋…＋C×2n＝1＋2n＋…>1＋2n，所以(*)成立． 所以≤.