第11篇 第4節(jié) 證明方法

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1、第十一篇　第4節(jié) 一、選擇題 1．(2014濰坊模擬)用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)是(　　) A．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù) B．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) C．自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù) D．自然數(shù)a，b，c都是偶數(shù) 解析：“恰有一個(gè)”反面應(yīng)是至少有兩個(gè)或都是奇數(shù)．故選B. 答案：B 2．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若x1＋x2>0，則f(x1)＋f(x2)的值(　　) A．恒為負(fù)值　　　　　　 B．恒等于零 C．恒為正值 D．無(wú)法確定正負(fù) 解析：由f(x)是

2、定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)b>c，且a＋b＋c＝0，求證：0 B．a(chǎn)－c>0 C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0 解析：0 ?(a

3、－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.故選C. 答案：C 4．(2014汕頭一中月考)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：1＋2＋3＋…＋n2＝(n∈N*)，則從n＝k到n＝k＋1時(shí)左邊應(yīng)添加的項(xiàng)為(　　) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C． D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 解析：∵當(dāng)n＝k時(shí)，等式左邊＝1＋2＋3＋…＋k2， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式左邊＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， ∴比較上述兩個(gè)式子，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式左邊是在假設(shè)n＝k時(shí)等式成立的基礎(chǔ)上，等式的左邊加上了(k2＋1)＋(k2＋2)＋…

4、＋(k＋1)2. 故選D. 答案：D 5．(2014遼寧大連模擬)設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合，在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”(即對(duì)任意的a，b∈S，對(duì)于有序元素對(duì)(a，b)，在S中有唯一確定的元素a*b與之對(duì)應(yīng))，若對(duì)任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，則對(duì)任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是(　　) A．(a*b)*a＝a B．[a*(b*a)]*(a*b)＝a C．b*(b*b)＝b D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b 解析：由已知條件可得對(duì)任意a，b∈S，a*(b*a)＝b， 則b*(b*b)＝b，[a*(b*a)]*(a*b)＝b*(a*b)＝a，(a*b)

5、*[b*(a*b)]＝(a*b)*a＝b，即選項(xiàng)B，C，D中的等式均恒成立，僅選項(xiàng)A中的等式不恒成立．故選A. 答案：A 6．對(duì)于不等式

6、 二、填空題 7．設(shè)a>b>0，m＝－，n＝，則m，n的大小關(guān)系是________． 解析：法一　取a＝2，b＝1，得m?a0，顯然成立． 答案：m

7、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)．用反證法證明時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容是________． 解析：“至少有一個(gè)”的否定為“都不是”． 答案：假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù) 10．用數(shù)學(xué)歸納法證明：12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝，第二步證明由“k到k＋1”時(shí)，左邊應(yīng)加________． 解析：當(dāng)n＝k時(shí)，左邊＝12＋22＋…＋k2＋…＋22＋12； 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12. 答案：(k＋1)2＋k2 三、解答題 11．已知a>0，求證：－≥a＋－2. 證明：要證－≥a＋－2. 只要證＋2≥a＋＋. ∵a>0，故只要證2≥2， 即a2＋＋

8、4＋4≥ a2＋2＋＋2＋2， 從而只要證2≥， 只要證4≥2，即a2＋≥2， 而上述不等式顯然成立，故原不等式成立． 12．(2014湖南常德模擬)設(shè)a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*. (1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論． (1)解：∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝； a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝. 猜想an＝(n∈N*)． (2)證明：①易知，n＝1時(shí)，猜想正確． ②假設(shè)n＝k時(shí)猜想正確， 即ak＝， 則ak＋1＝f(ak)＝＝ ＝＝. 這說(shuō)明，n＝k＋1時(shí)猜想正確． 由①②知，對(duì)于任何n∈N*，都有an＝.