《人教版高中數(shù)學(xué)選修11：2.1 橢 圓 課時(shí)提升作業(yè)十一 2.1.2.2 Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《人教版高中數(shù)學(xué)選修11：2.1 橢 圓 課時(shí)提升作業(yè)十一 2.1.2.2 Word版含解析（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料
課時(shí)提升作業(yè)(十一)
橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用
(25分鐘 60分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.橢圓x216+y29=1中,以點(diǎn)M(-1,2)為中點(diǎn)的弦所在的直線斜率為 ( )
A.916 B.932 C.964 D.-932
【解析】選B.設(shè)直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1+x2=-2,
設(shè)直線為y=k(x+1)+2,
聯(lián)立y=kx+k+2,x216+y29=1,
得(9+16k2)x2+32k(k+2)x+16(k+2)2-144=0.
所以x1+x2=-32k(k+2)9+1
2、6k2,
所以-32k(k+2)9+16k2=-2.
解得k=932.
2.已知以F1(-2,0),F2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線x+3y+4=0有且僅有一個(gè)交點(diǎn),則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 ( )
A.32 B.26 C.27 D.42
【解析】選C.設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),
聯(lián)立x2a2+y2b2=1,x+3y+4=0得
(a2+3b2)y2+83b2y+16b2-a2b2=0,
由Δ=0得a2+3b2-16=0,
而b2=a2-4
代入得a2+3(a2-4)-16=0
解得a2=7,所以a=7.
所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為27,選C.
【
3、補(bǔ)償訓(xùn)練】直線l:y=x+a與橢圓x24+y2=1相切,則a的值為 ( )
A.5 B.5 C.5 D.5
【解析】選C.用判別式等于零求解.
3.若點(diǎn)(x,y)在橢圓4x2+y2=4上,則yx-2的最小值為 ( )
A.1 B.-1
C.-233 D.以上都不對(duì)
【解析】選C.yx-2表示橢圓上的點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)(2,0)連線的斜率.
不妨設(shè)yx-2=k,則過(guò)定點(diǎn)(2,0)的直線方程為y=k(x-2).
由y=k(x-2),4x2+y2=4得(k2+4)x2-4k2x+4k2-4=0.
令Δ=(-4k2)2-4(k2+4)(4k2-4)=
4、0,得k=233,
所以kmin=-233,即yx-2的最小值為-233.
4.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(3,0),過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn),若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為 ( )
A.x245+y236=1 B.x236+y227=1
C.x227+y218=1 D.x218+y29=1
【解析】選D.由橢圓x2a2+y2b2=1得,b2x2+a2y2=a2b2,
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A,B兩點(diǎn),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x22=1,y1+y22
5、=-1,
則b2x12+ a2y12= a2b2 ①,
b2x22+ a2y22= a2b2?、?
由①-②得b2(x12-x22)+ a2(y12-y22)=0,
化簡(jiǎn)得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.
2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,y1-y2x1-x2=b2a2,
又直線的斜率為k=0-(-1)3-1=12,即b2a2=12.
因?yàn)閎2=a2-c2=a2-9,所以a2-9a2=12,解得a2=18,b2=9.
故橢圓方程為x218+y29=1.
5.若直線ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒有公共點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)(a,
6、b)的直線與橢圓x29+y24=1的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( )
A.0 B.1
C.2 D.需根據(jù)a,b的取值來(lái)確定
【解題指南】根據(jù)直線ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒有公共點(diǎn),可推斷點(diǎn)(a,b)是以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn),根據(jù)圓的方程和橢圓方程可知圓x2+y2=4內(nèi)切于橢圓,進(jìn)而可知點(diǎn)P是橢圓內(nèi)的點(diǎn),進(jìn)而判斷可得答案.
【解析】選C.因?yàn)橹本€ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒有公共點(diǎn),所以原點(diǎn)到直線ax+by+4=0的距離d=4a2+b2>2,所以a2+b2<4,所以點(diǎn)P(a,b)是在以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn),因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)半軸為3,短半
7、軸為2,所以圓x2+y2=4內(nèi)切于橢圓,所以點(diǎn)P是橢圓內(nèi)的點(diǎn),所以過(guò)點(diǎn)P(a,b)的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選C.
二、填空題(每小題5分,共15分)
6.(2015清遠(yuǎn)高二檢測(cè))若過(guò)橢圓x216+y24=1內(nèi)一點(diǎn)(2,1)的弦被該點(diǎn)平分,則該弦所在直線的方程是 .
【解析】設(shè)弦兩端點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1216+y124=1,
x2216+y224=1,
兩式相減并把x1+x2=4,y1+y2=2代入得,y1-y2x1-x2
=-12,
所以所求直線方程為y-1=-12(x-2),
即x+2y-4=0.
答案:x+2y-4=0
7
8、.(2015安陽(yáng)高二檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,離心率為22.過(guò)F1的直線l交C于A,B兩點(diǎn),且△ABF2的周長(zhǎng)為16,那么C的方程為 .
【解析】據(jù)橢圓焦點(diǎn)在x軸上,可設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).因?yàn)閑=22,所以ca=22.
由△ABF2的周長(zhǎng)為16得4a=16,
因此a=4,b=22,
所以橢圓方程為x216+y28=1.
答案:x216+y28=1
8.(2014江西高考)過(guò)點(diǎn)M(1,1)作斜率為-12的直線與橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B,若M是線段AB的中點(diǎn),則橢圓C
9、的離心率為 .
【解題指南】中點(diǎn)弦問(wèn)題運(yùn)用點(diǎn)差法求解.
【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
則x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,
即(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,
因?yàn)閤1+x2=2,y1+y2=2,y2-y1x2-x1=-12,
所以a2=2b2,故c2=12a2,即e=22.
答案:22
三、解答題(每小題10分,共20分)
9.已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.
(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(2)求直線被橢圓截得的弦最長(zhǎng)時(shí)直線的方程.
【解題指南】
10、求m的取值范圍,從方程角度看,需將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程解的判斷,而求弦最長(zhǎng)時(shí)的直線方程,就是將弦長(zhǎng)表示成關(guān)于m的函數(shù),求出當(dāng)弦長(zhǎng)最大時(shí)的m值,從而確定直線方程.
【解析】(1)由4x2+y2=1,y=x+m.消去y得,
5x2+2mx+m2-1=0,
因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn),
所以Δ=4m2-20(m2-1)≥0,解得-52≤m≤52.
(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2).
由(1)知5x2+2mx+m2-1=0.
由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-25m,x1x2=m2-15.
所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=(x1-x2)
11、2+(x1+m-x2-m)2
=2(x1-x2)2=2[(x1+x2)2-4x1x2]
=24m225-45(m2-1)
=2510-8m2.
因?yàn)棣?4m2-20(m2-1)>0,
所以-52
12、=1,
所以橢圓方程為x29+y21=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由(1)可知橢圓方程為x29+y21=1 ①,
因?yàn)橹本€AB的方程為y=x+2?、?
把②代入①,化簡(jiǎn)并整理得10x2+36x+27=0,
所以x1+x2=-185,x1x2=2710.
所以|AB|=(1+12)18252-42710=635.
10.(2015陜西高考)已知橢圓Ε:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距為c,原點(diǎn)Ο到經(jīng)過(guò)
兩點(diǎn)c,0,0,b的直線的距離為12c.
(1)求橢圓Ε的離心率.
(2)如圖,ΑΒ是圓Μ:x+22+y-12=52的一條直徑,若橢圓Ε經(jīng)
13、過(guò)Α,Β兩點(diǎn),求橢圓Ε的方程.
【解析】(1)過(guò)點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,則原點(diǎn)O到直線的距離d=bcb2+c2=bca,
由d=12c,得a=2b=2a2-c2,解得離心率ca=32.
(2)由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.?、?
依題意,圓心M(-2,1)是線段AB的中點(diǎn),且|AB|=10.易知,AB不與x軸垂直,設(shè)其直線方程為y=k(x+2)+1,代入①得
(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-8k(2k+1)1+4k2,x1x2=4(2k
14、+1)2-4b21+4k2.
由x1+x2=-4,得-8k(2k+1)1+4k2=-4,解得k=12.
從而x1x2=8-2b2.
于是|AB|=1+122|x1-x2|
=52(x1+x2)2-4x1x2=10(b2-2).
由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3.
故橢圓E的方程為x212+y23=1.
(20分鐘 40分)
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1.設(shè)F1,F2是橢圓C:x28+y24=1的焦點(diǎn),在曲線C上滿足PF1→PF2→=0的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為 ( )
A.0個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
【解析】選B.因?yàn)镻F1→P
15、F2→=0,
所以PF1⊥PF2.
所以點(diǎn)P即為以線段F1F2為直徑的圓與橢圓的交點(diǎn),且半徑為c=8-4=2.
又b=2,所以點(diǎn)P為短軸的端點(diǎn),有2個(gè).
2.(2014福建高考)設(shè)P,Q分別為圓x2+y-62=2和橢圓x210+y2=1上的點(diǎn),則P,Q兩點(diǎn)間的最大距離是 ( )
A.52 B.46+2
C.7+2 D.62
【解題指南】?jī)蓜?dòng)點(diǎn)問(wèn)題,可以化為一動(dòng)一靜,因此考慮與圓心聯(lián)系.
【解析】選D.圓心M(0,6),設(shè)橢圓上的點(diǎn)為Q(x,y),
則MQ=x2+(y-6)2=10-10y2+(y-6)2=-9y2-12y+46,
當(dāng)y=-23∈[-1,1
16、]時(shí),MQmax=52.所以PQmax=52+2=62.
二、填空題(每小題5分,共10分)
3.如圖,把橢圓x225+y216=1的長(zhǎng)軸AB分成8等份,過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1,P2,…,P7七個(gè)點(diǎn),F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),則|P1F|+|P2F|+…+|P7F|= .
【解題指南】結(jié)合橢圓的對(duì)稱性解題,注意定義的靈活應(yīng)用.
【解析】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F′,由橢圓的對(duì)稱性知,
|P1F|=|P7F′|,|P2F|=|P6F′|,|P3F|=|P5F′|,
所以原式=(|P7F|+|P7F′|)+(|P6F|+|P6F′|)+(|P5F|+|P5F′|)+1
17、2(|P4F|+
|P4F′|)=7a=35.
答案:35
4.(2014遼寧高考)已知橢圓C:x29+y24=1,點(diǎn)M與點(diǎn)C的焦點(diǎn)不重合,若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A,B,線段MN的中點(diǎn)在C上,則AN+BN= .
【解析】根據(jù)題意,橢圓的左右焦點(diǎn)為F1(-5,0),F2(5,0),由于點(diǎn)M的不確定性,不妨令其為橢圓的左頂點(diǎn)M(-3,0),線段MN的中點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)H(0,2),則M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A(-25+3,0),B(25+3,0),而點(diǎn)N(3,4),據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得AN+BN=(-25+3-3)2+(0-4)2+
(25+3-3)2+(0-4)2=1
18、2.
答案:12
【誤區(qū)警示】在無(wú)法明確相關(guān)點(diǎn)的具體情況的時(shí)候,可以取特殊情形處理問(wèn)題.避免對(duì)一般情況處理的復(fù)雜性.
三、解答題(每小題10分,共20分)
5.(2015全國(guó)卷Ⅱ)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,點(diǎn)(2,2)在C上.
(1)求C的方程.
(2)直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸, l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M.證明:直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.
【解析】(1)由題意有a2-b2a=22,4a2+2b2=1,
解得a2=8,b2=4,所以C的方程為x28+y24=1.
(2)設(shè)直線l:y=kx+b(k≠0
19、,b≠0),
A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).
將y=kx+b代入x28+y24=1得
(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
xM=x1+x22=-2kb2k2+1,yM=kxM+b=b2k2+1.
于是直線OM的斜率kOM=yMxM=-12k,
即kOMk=-12.
所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.
6.(2015山東高考)平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,且點(diǎn)3,12在橢圓C上.
(1)求橢圓C的方程.
(2)設(shè)橢圓E:x24a2+y24b2=1,P為橢圓C上任意一點(diǎn),過(guò)
20、點(diǎn)P的直線y=kx+m交橢圓E于A,B兩點(diǎn),射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.
(i)求|OQ||OP|的值;
(ii)求△ABQ面積的最大值.
【解題指南】(1)由離心率e和點(diǎn)3,12可求a,b,c.
(2)將直線y=kx+m與橢圓E和橢圓C聯(lián)立消y,再根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解面積的最大值.
【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)3,12在橢圓C上,所以3a2+14b2=1.
又因?yàn)闄E圓C的離心率為e=ca=32,所以2c=3a,4c2=3a2,結(jié)合c2=a2-b2可解得a2=4,b2=1,即橢圓C的方程為x24+y2=1.
(2)(i)橢圓E:x216+y24=1.
設(shè)P(x0,y0)是橢圓C上
21、任意一點(diǎn),則x02+4y02=4.直線OP:y=y0x0x與橢圓E:x216+y24=1聯(lián)立消y得x21 +4y02x02=16,x2=16x02x02+ 4y02=4x02,
所以Q(-2x0,-2y0).即OQOP=2.
(ii)因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y0)在直線y=kx+m上,所以y0=kx0+m,點(diǎn)Q(-2x0,-2y0)到直線y=kx+m的距離為d=-2kx0+2y0+m1+k2=3m1+k2.
將y=kx+m與x216+y24=1聯(lián)立消y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由Δ>0可得m2<4+16k2. ①
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-8
22、km1+4k2,x1x2=4m2-161+4k2,所以x1-x2=416k2+4-m21+4k2.
直線y=kx+m與y軸交點(diǎn)為(0,m),所以△OAB面積S△OAB=12|m|x1-x2=
2|m|16k2+4-m21+4k2=2(16k2+4-m2)m21+4k2,令m21+4k2=t,
則S△OAB=24-m21+4k2m21+4k2=2(4-t)t.
將y=kx+m與x24+y2=1聯(lián)立消y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ≥0可得m2≤1+4k2. ?、?
由①②可知0
23、值),注意到S△ABQ=3S△OAB,所以S△ABQ=3S△OAB≤63.即△ABQ的面積的最大值為63.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2013天津高考)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為33,過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為433.
(1)求橢圓的方程.
(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn).若AC→DB→+AD→CB→=8,求k的值.
【解析】(1)設(shè)F(-c,0)(c>0),由ca=33,知a=3c,過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為x=-c,代入橢圓方程有(-c)2a2+y2b2=1,解得y=6b3,于是26b3=
24、433,解得b=2,又a2-c2=b2,從而a=3,c=1,所以橢圓的方程為x23+y22=1.
(2)設(shè)點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直線CD的方程為y=k(x+1),
由方程組y=k(x+1),x23+y22=1,消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.
可得x1+x2=-6k22+3k2,x1x2=3k2-62+3k2.
因?yàn)锳(-3,0),B(3,0),所以AC→DB→+AD→CB→=(x1+3,y1)(3-x2,-y2)
+(x2+3,y2)(3-x1,-y1)
=6-2x1x2-2y1y2
=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)
=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2
=6+2k2+122+3k2.
由已知得6+2k2+122+3k2=8,解得k=2.
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人教版高中數(shù)學(xué)選修11：2.1 橢 圓 課時(shí)提升作業(yè)十一 2.1.2.2 Word版含解析
