高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第1章 聚焦反證法

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1、2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 聚焦反證法 反證法是間接證明的一種基本方法，常常是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具．對(duì)于一些用直接證明的方法難以證明的結(jié)論，常采用反證法．熟練掌握并運(yùn)用反證法，對(duì)提高同學(xué)們的解題能力大有裨益．下面就反證法的要點(diǎn)進(jìn)行歸納整理． 　　1．定義：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法． 　　2．反證法的基本思想是：否定結(jié)論就會(huì)導(dǎo)致矛盾．它可以用下面的程序來(lái)表示：“否定———推理———矛盾———肯定．” 　　“否定”———假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，而結(jié)論的反面成立． 　　“推

2、理”———從已知條件和假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用一系列的論據(jù)進(jìn)行推理． 　　“矛盾”———通過(guò)推導(dǎo)，推出與實(shí)際“需要”不符、與“公理”矛盾、與“已知定理”矛盾、與“定義”矛盾、與“題設(shè)”矛盾、自相矛盾等． 　　“肯定”———由于推理過(guò)程正確．故矛盾是由假設(shè)所引起的，因此，假設(shè)是錯(cuò)誤的，從而肯定結(jié)論是正確的． 　　3．應(yīng)用反證法的原則：正難則反，即如果一個(gè)命題的結(jié)論難以用直接法證明時(shí)可考慮用反證法． 　　4．宜用反證法證明的題型：①易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；②一些基本定理；③“否定性”命題；④“惟一性”命題；⑤“必然性”命題；⑥“至少”、“至多”命題等． 　　5．注意事項(xiàng)：（１）應(yīng)用反證法證明命題時(shí)

3、，反設(shè)必須恰當(dāng)．如“都是”的否定是“不都是”、“至少一個(gè)”的否定是“不存在”等． 　?。?）用反證法證明時(shí)最好在開(kāi)篇注明“下面用反證法證明”，以告知讀者按反證法的思路閱讀或評(píng)卷． 　　下面舉例說(shuō)明“反證法”在證題中的應(yīng)用． 　　例1　設(shè)的公比分別為． 　　假設(shè)是等比數(shù)列，則有只需證． 　　由于， 　　而． 　　從而有，而， 　　故有，即，這與已知相矛盾．因此假設(shè)不成立，故不是等比數(shù)列． 　　點(diǎn)評(píng)：當(dāng)遇到結(jié)論為否定形式的命題時(shí)，常常采用反證法． 　　例2　求證：兩條平行線中一條與一個(gè)平面相交，那么另一條也與這個(gè)平面相交． 　　已知：平面，如圖1所示． 　　求證：直線和平面

4、相交． 證明：假設(shè)和平面不相交，即或． 　　（1）若，因?yàn)椋? 　　所以，這與相矛盾． 　?。?）如果，因?yàn)?，所以和確定一個(gè)平面，顯然平面與平面相交． 　　設(shè)，因?yàn)?，所以? 　　又，從而且． 　　故，這與矛盾． 由（1），（2）可知，假設(shè)不成立．故直線與平面相交． 　　例3　求證：正弦函數(shù)沒(méi)有比小的正周期． 　　證明：假設(shè)是正弦函數(shù)的周期，且，則對(duì)任意實(shí)數(shù)都有成立． 　　令，得，即，從而對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，這與矛盾． 所以正弦函數(shù)沒(méi)有比小的正周期． 　　例4　今有50位同學(xué)，男女各一半，圍坐一圈，是否存在一種座位的安排方法，使得每一位同學(xué)左右兩側(cè)的兩位同學(xué)為一男一女？證明結(jié)論． 　　解：不存在這樣的座位安排． 　　證明：假設(shè)存在這樣的安排，則每一位同學(xué)必與一同性別的同學(xué)相鄰，若以Ｍ表示男同學(xué)，Ｗ表示女同學(xué)，則每一對(duì)相鄰而坐的男性（女性）同學(xué)的左右兩側(cè)必為兩對(duì)相鄰而坐的女性（或男性）同學(xué)，如圖2所示，因此男性或女性同學(xué)數(shù)應(yīng)是偶數(shù)，這和男性或女性同學(xué)數(shù)各占25矛盾，所以這種安排方法不存在．