高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第1章 復(fù)習(xí)點撥：綜合法與分析法解題全過程

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1、2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 綜合法與分析法解題全過程 分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛. 一. 綜合法 綜合法：從已知條件出發(fā),經(jīng)過逐步推理,最后達(dá)到待證結(jié)論,這種證明方法叫做綜合法。 用綜合法證明命題的邏輯關(guān)系是： 綜合法的思維特點是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，利用

2、已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法. 例1、在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為,且A,B,C成等差數(shù)列, 成等比數(shù)列,求證△ABC為等邊三角形. 分析：將 A , B , C 成等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號語言就是2B =A + C; A , B , C為△ABC的內(nèi)角，這是一個隱含條件，明確表示出來是A + B + C =；a , b，c成等比數(shù)列,轉(zhuǎn)化為符號語言就是.此時如果能把角和邊統(tǒng)一起來,那么就可以進(jìn)一步尋找角和邊之間的關(guān)系,進(jìn)而判斷三角形的形狀,余弦定理正好滿足要求.于是可以用余弦定理為工具進(jìn)行證明. 證明：由 A, B, C成等差數(shù)列，有 2B=A + C

3、 ． ① 因為A,B,C為△ABC的內(nèi)角，所以A + B + C=．② 由①②得B=. 由a, b，c成等比數(shù)列有. 由余弦定理及③，可得. 再由④得., 因此.從而A=C. 由②③⑤得:A=B=C=.所以△ABC為等邊三角形． 說明：解決數(shù)學(xué)問題時，往往要先作語言的轉(zhuǎn)換，如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言，或把符號語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等．還要通過細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來． 例2、已知求證 本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。 證明：1) 差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于對稱，不妨設(shè) ，從而原不等式得證。 2）商值比較法：設(shè) 故原不

4、等式得證。 說明：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號。 2. 分析法 分析法：從待證結(jié)論出發(fā),一步一步地尋求求結(jié)論成立的從分條件,最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實,這種方法叫做分析法 用分析法證明命題的邏輯關(guān)系是： 分析法的思維特點是：執(zhí)果索因. 分析法的書寫格式： 要證明命題B為真， 只需要證明命題為真，從而有…… 這只需要證明命題為真，從而又有…… …… 這只需要證明命題A為真. 而已知A為真，故命題B必為真. 例3、求證 證明：因為都是正數(shù)，所以為

5、了證明 只需證明 展開得 即 因為成立，所以成立 即證明了. 說明：①分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法. ②分析法論證“若A則B”這個命題的模式是：為了證明命題B為真， 這只需要證明命題B1為真，從而有…… 這只需要證明命題B2為真，從而又有…… 這只需要證明命題A為真 而已知A為真，故B必真 在本例中，如果我們從“21<25 ”出發(fā)，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結(jié)論。但由于我們很難想到從“21<25”入手，所以用綜合法比較困難。 事實上，在解決問題時，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特

6、點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q‘；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論 P‘．若由P‘可以推出Q‘成立，就可以證明結(jié)論成立．下面來看一個例子． 例4 已知，且 ① ② 求證：。 分析：比較已知條件和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論中沒有出現(xiàn)角，因此第一步工作可以從已知條件中消去.觀察已知條件的結(jié)構(gòu)特點，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含數(shù)量關(guān)系: ，于是，由 ①2一2② 得．把與結(jié)論相比較，發(fā)現(xiàn)角相同，但函數(shù)名稱不同，于是嘗試轉(zhuǎn)化結(jié)論：統(tǒng)一函數(shù)名稱，即把正切函數(shù)化為正（余）弦函數(shù)．把結(jié)論轉(zhuǎn)化為: ,再與比較，發(fā)現(xiàn)只要把 中的角的余弦轉(zhuǎn)化為正弦，就能達(dá)到目的． 證明：因為，所以將 ①

7、② 代入，可得 . ③ 另一方面，要證 即證 ， 即證，即證， 即證。由于上式與③相同，于是問題得證。 例5 .證明：通過水管放水，當(dāng)流速相同時，如果水管截面的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大. 分析：當(dāng)水的流速相同時，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設(shè)截面的周長為L，則周長為L的圓的半徑為，截面積為；周長為L的正方形邊長為，截面積為所以本題只需證明. 證明：設(shè)截面的周長為L，依題意，截面是圓的水管的截面面積為，截面是正方形的水管的截面面積為，所以本題只需證明 為了證明上式成立，只需證明 ,兩邊同乘以正數(shù)，得. 因此只需證明,而該式是成立的，所以. 這就證明了，通過水管放水，當(dāng)流速相同時，如果水管截面的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大. 說明：對于較復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法往往不易入手，因此通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的.