新教材高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第三章 167;2　第2課時 兩角和與差的正切函數(shù) Word版含答案

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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 第 2 課時 兩角和與差的正切函數(shù) 核心必知 兩角和與差的正切公式 名稱 公式 成立條件 兩角和 的正切 (T) tan()tan tan 1tan tan ，k2(kZ Z) 兩角差 的正切 (T) tan()tan tan 1tan tan ，k2(kZ Z) 問題思考 對于兩角和與差的正切公式，你能寫出它的幾種變形嗎？ 提示：常見的變形公式有： tan tan tan()(1tan tan )； tan tan tan()(1tan tan )； tan tan tan tan tan()tan()； tan()tan tan tan tan tan()；

2、 1tan tan tan tan tan（）； 1tan tan tan tan tan（）. 講一講 1計算： (1)1tan 751tan 75_； (2)tan 10tan 50 3tan 10tan 50_ 嘗試解答 (1)法一：tan 75tan(4530) tan 45tan 301tan 45tan 301331333 33 32 3 1tan 751tan 751（2 3）12 3313 333. 法二：原式tan 45tan 751tan 45tan 75 tan(4575)tan 3033. (2)tan 10tan 501tan 10tan 50tan 60， 原式ta

3、n 60(1tan 10tan 50) 3tan 10tan 50 3 3tan 10tan 50 3tan 10tan 50 3. 利用兩角和與差的正切公式解決給角求值問題，關(guān)鍵是對公式的靈活運(yùn)用，既要會“正用”還要會“逆用”和“變形”用，如進(jìn)行“1”的代換，常見 1tan 45，及變形公式 tan tan tan()(1tan tan )等 練一練 1計算： (1)sin 15cos 15sin 15cos 15_； (2)(1tan 22)(1tan 23)_ 解析：(1)原式tan 151tan 151tan 15tan 45tan 45tan 151 tan(1545) tan 60

4、 3. (2)原式1tan 23tan 22tan 22tan 23 1tan(2223)(1tan 22tan 23)tan 22tan 23 11(1tan 22tan 23)tan 22tan 232. 答案：(1) 3 (2)2 講一講 2已知 tan()25，tan(4)14，求 tan(4) 嘗試解答 tan()25，tan(4)14， tan(4)tan()(4) tan（）tan（4）1tan（）tan（4）251412514322. “給值求值”即給出某些角的三角函數(shù)的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于先用公式分析待求問題需要什么，然后利用化歸的思想，把未知向已知轉(zhuǎn)

5、化解題過程中需多加注意角的范圍，必要時實(shí)行拆分角 2已知 sin()35，tan 12，并且是第二象限的角，求 tan()的值 解：sin()sin 35， sin 35. 又是第二象限角， cos 1sin245， tan sin cos 34，又 tan 12， tan()tan tan 1tan tan 34121（34）122. 講一講 3已知 tan()12，tan 17，且，(0，)，求 2的值 嘗試解答 tan()tan tan 1tan tan 12， tan （17）1tan （17）12. tan 13. tan 41tan 130. 又(0，)， (0，4) 2(0，2)

6、 (0，)，tan 17， (2，) 20. tan(2)tan() tan（）tan 1tan（）tan 12131121310， 2 34. 在求角問題中，常常因出現(xiàn)忽視角的范圍出現(xiàn)增根而不能排除的錯誤，因此在解答該類問題時，應(yīng)盡量縮小角的范圍，使得該范圍內(nèi)的角和所求得的函數(shù)值一一對應(yīng) 練一練 3若 tan ，tan 是方程x23 3x40 的兩根，且，(2，2)，則_ 解析：由題意得 tan tan 3 30，tan 0，tan 0，(2，0)， (，0)而 tan()tan tan 1tan tan 3 314 3，23. 答案：23 已知 tan 1，sin(2)3sin ，試求 t

7、an()的值 錯解 由 tan 1，可設(shè)4， 代入 sin(2)3sin ， 得 cos 3sin ， 即 tan 13. tan()tan(4)tan 4tan 1tan 4tan 1131132. 錯因 上述解法犯了以特殊代替一般的錯誤，是不完整的錯誤解法本題應(yīng)注意從 tan 1 解得k4(kZ Z)，從而可把代入 sin(2)3sin 得解另外，若注意到角的變化：2()，()，仍可得解 正解 法一：由 tan 1，得k4(kZ Z)， 故 sin(2)sin(2)cos . sin(2)3sin ， tan 13. tan()tan(4)tan 4tan 1tan 4tan 113113

8、2. 法二：由 sin(2)3sin ， 可得 sin()3sin() 由兩角和、差的正弦公式得 2cos()sin sin()cos . 2tan tan() tan()2. 1tan 195的值為( ) A2 3 B2 3 C. 31 D. 32 解析：選 B tan 195tan 15tan(4530) 1tan 301tan 301331332 3. 2已知(2，)，sin 35，則 tan(4)等于( ) A.17 B7 C17 D7 解析：選 A sin 35，(2，)， cos 1sin245. tan sin cos 34， tan(4)tan tan 41tan tan 41

9、7. 3已知 tan tan 2，tan()4，則 tan tan ( ) A2 B1 C.12 D4 解析：選 C 由 tan()tan tan 1tan tan ，得 tan tan 1tan tan tan（）12412. 4已知 tan(4)2，則 tan 等于_ 解析：tan(4)2， tan 11tan 2， 解得 tan 3. 答案：3 5 (新課標(biāo)全國)設(shè)為第二象限角， 若 tan412， 則 sin cos _ 解析：本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系式以及兩角和三角函數(shù)公式的基本運(yùn)用，意在考查考生靈活運(yùn)用知識解決問題的能力以及合理選取解法的能力 法一：由在第二象限，且 tan412，

10、因而 sin455，因而 sin cos 2 sin4105. 法二：如果將 tan412利用兩角和的正切公式展開，則tan 11tan 12，求得 tan 13.又因為在第二象限，則 sin 110，cos 310，從而 sin cos 210105. 答案：105 6已知 tan 13，cos 55. 若 090180，求的值 解：cos 55，90180， sin 1cos2255. tan sin cos 2，又 tan 13. tan()tan tan 1tan tan 1. 090180， 90270. 135. 一、選擇題 1.tan 51tan 91tan 51tan 9等于(

11、 ) Atan 42 B.33 C. 3 D 3 解析：選 C 原式tan(519)tan 60 3. 2在ABC中，tan Atan B 3 3tan Atan B，則C等于( ) A.3 B.23 C.6 D.4 解析：選 A 已知條件可化為 tan(AB)(1tan Atan B) 3(tan Atan B1) tan(AB)tan C 3. tan C 3，即C3. 3已知 tan()5，tan()3，則 tan 2( ) A47 B.47 C.18 D18 解析：選 A tan 2tan()() tan（）tan（）1tan（）tan（） 5315347. 4已知 tan()25，t

12、an414，則 tan4( ) A.1318 B.1322 C.322 D.16 解析：選 C 4()4， tan4tan（）4 tan（）tan（4）1tan（）tan（4）322. 二、填空題 5.tan 20tan（50）1tan 20tan 50_ 解析：原式tan 20tan 501tan 20tan 50 1tan 50tan 201tan 20tan 501tan（5020） 1tan 30 3. 答案： 3 6.1 3tan 753tan 75_ 解析：法一：原式33tan 75133tan 75tan 30tan 751tan 30tan 75 tan(3075)tan(45

13、)1. 法二：原式1tan 60tan 75tan 60tan 75 1tan（6075）1tan 1351. 答案：1 7若A18，B27，則(1tan A)(1tan B)的值是_ 解析：原式tan Atan Btan Atan B1tan(1827)(1tan 18tan 27)tan 18tan 2712. 答案：2 8 已知tan 和tan(4)是方程x2pxq0的兩個根， 則p，q滿足關(guān)系式為_ 解析：由題意知， tan tan(4)p， tan tan(4)q. 又44， tan(4) tan tan（4）1tan tan（4）p1q1. pq10. 答案：pq10 三、解答題

14、9. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)已知A，B的橫坐標(biāo)分別為210，2 55. (1)求 tan()的值； (2)求2的值 解：(1)由已知條件及三角函數(shù)的定義，可知 cos 210，cos 2 55， 因為銳角，故 sin 0. 從而 sin 1cos27 210. 同理可得 sin 55. 因此 tan 7，tan 12. 所以 tan()tan tan 1tan tan 71217123. (2)tan(2)tan()3121（3）121. 又 02，02，故 0232. 從而由 tan(2)1，得234. 10是否存在銳角和，使得下列兩式： (1)223； (2)tan 2tan 2 3同時成立 解：假設(shè)存在符合題意的銳角和， 由(1)知23， tan(2)tan 2tan 1tan 2tan 3. 由(2)知 tan 2tan 2 3， tan 2tan 3 3. tan 2，tan 是方程x2(3 3)x2 30 的兩個根， 得x11，x22 3. 02，則 0tan 21， tan 21，即 tan 22 3，tan 1. 又02，則4，代入(1)，得6， 存在銳角6，4使(1)(2)同時成立