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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料
定積分的基本性質(zhì)盤點(diǎn)
一、定積分基本性質(zhì)
假設(shè)下面所涉及的定積分都是存在的，則有
性質(zhì)1 函數(shù)代數(shù)和（差）的定積分等于它們的定積分的代數(shù)和（差）．即
．
這個(gè)性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情形．
性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號前，即（為常數(shù)）．
性質(zhì)3 不論三點(diǎn)的相互位置如何，恒有．
這性質(zhì)表明定積分對于積分區(qū)間具有可加性．
性質(zhì)4 若在區(qū)間上，，則．
推論1 若在區(qū)間上，，則．
推論2 ．
性質(zhì)5?。ü乐刀ɡ恚┰O(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最小值與最大值分別為與，則．
證明：因?yàn)椋赏普?得．
即．
故．
利用這個(gè)性質(zhì)，由被
2、積函數(shù)在積分區(qū)間上的最小值及最大值，可以估計(jì)出積分值的大致范圍．
二、定積分性質(zhì)的應(yīng)用
例1.比較定積分和的大?。?
分析：由都在區(qū)間[0，1]，無需求出積分值，只需比較被積函數(shù)大小即可．
解：由在區(qū)間[0，1]上，有x2≥x3．根據(jù)性質(zhì)4的推論1，知≥．
評注：利用性質(zhì)，可減少計(jì)算量．
例2.計(jì)算：．
分析：首先去絕對值，分0＜x＜和＜x＜兩個(gè)區(qū)間，分開運(yùn)算．
解：＝＋
＝(sinx＋cosx)＋(－cosx－sinx)＝(＋1)＋(－1)＝2．
評注：這里用到了定積分對于積分區(qū)間具有可加性．
例3.求函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[0，3]上的積分．
分析：先分段，再運(yùn)用性質(zhì)．
解：由積分性質(zhì)，知
＝＋＋＝＋＋
＝＋＋＝．
評注：⑴分段函數(shù)在區(qū)間[a，b]上積分可分成幾段積分的和的形式；
⑵分段的標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式確定，按照原函數(shù)分段即可，無需分得過細(xì)．
例4.估計(jì)定積分的值．
分析：不用求出積分的值，可用估值定理解決．
解：∵當(dāng)時(shí)，，
∴，由此有，，
于是由估值定理得．
評注：運(yùn)用的估值定理為大學(xué)涉及內(nèi)容，不作要求，可以了解．
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