新版高中數(shù)學北師大版選修22教案：第2章 拓展資料：計算導數(shù)例析

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1、新版數(shù)學北師大版精品資料 計算導數(shù)例析 　　導數(shù)的方法涉及導數(shù)定義、常用求導公式、四則運算法則和復合函數(shù)求導法則等求導方法，因此重點應為導數(shù)的概念與計算，學習時應熟練掌握以下求導法：直接利用法則與公式求導、復合函數(shù)求導．在求導過程中應熟記導數(shù)公式與運算法則，重點掌握復合函數(shù)的求導方法. 　　學習了函數(shù)的和、差、積、商的求導法則后，由常函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經加、減、乘、除運算得到的簡單的函數(shù)，均可利用求導法則與導數(shù)公式求導，而不需要回到導數(shù)的定義去求。舉例說明如下. 　　例1　求下列函數(shù)的導數(shù) 　?。?）；?。?）； 　?。?）；?。?）y=tanx。 　　解　（1）；

2、 　?。?） 　　∴ 　　或利用函數(shù)的積的求導法則： 　　 　?。?）， 　　∴ 　?。?）， 　　∴. 　　例2　求下列函數(shù)的導數(shù)： 　　. 　　分析：從這兩個函數(shù)的形式結構來看，都是商的形式，如果直接套用商的求導法則，運算量較大，但從形式上看，可以轉化為和的形式. 　　解：（1） 　　 　?。?） 　　點評：（1）不加分析，盲目套用公式，會給運算帶來不便，甚至錯誤，如（2）的求導形式較為復雜，用商的求導法則之后，還需通分化簡. 　　（2）先化簡，再求導實施求導運算的基本方法，是化難為易、化繁為簡的基本原則和策略． 　　例3　求下列函數(shù)的導數(shù) 　?。?）；

3、?。?）； 　?。?）；　（4）。 　　解?。?）， 　　∴ 　?。?） 　　 　， 　　∴ 　　（3）， 　　∴ 　?。?） 　　 　　∴. 　　點撥　對于較復雜的函數(shù)求導，一般要遵循先化簡，再求導的基本原則。 　　例4　利用導數(shù)求和： 　?。?）； 　?。?）。 　　分析　這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決。轉換思維角度，由求導公式，可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導數(shù)，利用導數(shù)運算可使問題的解決更加簡捷。 　　解　（1）當x=1時， 　?。? 　　當x≠1時， 　　∵， 　　兩邊都是關于x的函數(shù)，求導得 　　 　　即 　?。?

4、）∵， 　　兩邊都是關于x的函數(shù)，求導得。 　　令x=1得 　　， 　　即。 　　例5　如果函數(shù)f(x)=ax5－bx3＋c（a≠0）在x=1時有極值，極大值為4，極小值為0，試求a，b，c的值. 　　分析　可通過求導確定可疑點，注意利用已知極值點x=1所確定的相關等式，在判斷y′的符號時，必須對a進行分類計論. 　　解答　y′=5ax4－3bx2，令y′=0，即5ax4－3bx2=0,x2(5ax2－3b)=0， 　　∵x=1是極值點，∴ 5a(1)2－3b=0. 　　又x2=0，∴ 可疑點為x=0，x=1. 　　若a>0，y′=5ax2(x2－1). 　　當x變化時，y′，y的變化情況如下表： x (－∞,－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,＋∞) y′ ＋ 0 － 0 － 0 ＋ y ↗ 極大 ↘ 無極值 ↘ 極小 ↗ 　　由上表可知，當x=－1時，f(x)有極大值，當x=1時，f(x)有極小值. 　　 　　若a<0時，同理可知a=－3，b=－5，c=2. 　　點評　運用待定系數(shù)法，從逆向思維出發(fā)，實現(xiàn)了問題由已知向未知的轉化．在轉化過程中，利用了列表，解決了待定系數(shù)的問題．