【導(dǎo)與練】新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第13篇 第2節(jié) 參數(shù)方程課時訓(xùn)練 理

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1、【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第13篇 第2節(jié) 參數(shù)方程課時訓(xùn)練 理 【選題明細(xì)表】 知識點(diǎn)、方法 題號 參數(shù)方程與普通方程互化 1、5、9 參數(shù)方程及其應(yīng)用 2、3、10、12 極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合 4、6、7、8、11、12 一、選擇題 1.(2014北京模擬)參數(shù)方程x=2-t,y=-1-2t(t為參數(shù))與極坐標(biāo)方程ρ=sin θ所表示的圖形分別是(　B　) (A)直線、直線 (B)直線、圓 (C)圓、圓 (D)圓、直線 解析:將參數(shù)方程x=2-t,y=-1-2t消去參數(shù)t得2x-y-5=0,所以對應(yīng)圖形為直線. 由ρ=si

2、n θ得ρ2=ρsin θ, 即x2+y2=y, 即x2+（y-12）2=14,對應(yīng)圖形為圓. 2.(2014安慶模擬)若直線x=tcosα,y=tsinα(t是參數(shù))與圓x=4+2cosθ,y=2sinθ(θ是參數(shù))相切,則直線的傾斜角α為(　C　) (A)π6 (B)5π6 (C)π6或5π6 (D)π2 解析:直線x=tcosα,y=tsinα(t是參數(shù))的普通方程為y=x·tan α, 圓x=4+2cosθ,y=2sinθ(θ是參數(shù))的普通方程為(x-4)2+y2=4, 由于直線與圓相切, 則|4tanα|1+tan2α=2,即tan2α=13, 解得tan

3、 α=±33, 由于α∈[0,π), 故α=π6或5π6. 3.(2014高考安徽卷)以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程是x=t+1,y=t-3(t為參數(shù)),圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cos θ,則直線l被圓C截得的弦長為(　D　) (A)14 (B)214 (C)2 (D)22 解析:直線l的參數(shù)方程化為普通方程是x-y-4=0,圓C的直角坐標(biāo)方程是(x-2)2+y2=4,圓心(2,0)到直線l的距離d=|2-0-4|2=2,而圓C的半徑為2,所以直線l被圓C截得的弦長為24-2=22,故選D.

4、 4.在極坐標(biāo)系中,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正方向,將曲線x=3cosθ,y=2sinθ按伸縮變換φ:x'=13x,y'=12y變換后得到曲線C,則曲線C上的點(diǎn)到直線ρ(cos θ+3sin θ)=6的距離的最小值是(　B　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:將曲線x=3cosθ,y=2sinθ按φ:x'=13x,y'=12y變換得到曲線C:x'=cosθ,y'=sinθ, 化為普通方程為x′2+y′2=1, 直線ρ(cos θ+3sin θ)=6的直角坐標(biāo)方程為 x+3y-6=0, 圓心(0,0)到直線的距離為d=

5、61+(3)2=3>r=1,所以直線與圓相離,圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為2. 二、填空題 5.(2014高考湖北卷)已知曲線C1的參數(shù)方程是x=t,y=3t3(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ=2.則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為　　　　.  解析:由題意,得x=t,y=3t3(t為參數(shù))?x2=3y2(x≥0,y≥0),曲線C2的普通方程為x2+y2=4,聯(lián)立x2+y2=4,x2=3y2, 得x=3,y=1,即C1與C2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3,1). 答案:(3,1) 6.(2014廣州模擬)已知曲線C的參數(shù)方

6、程是x=cosα,y=1+sinα(α為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,并取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系,則曲線C的極坐標(biāo)方程是　　　　.  解析:曲線C的參數(shù)方程為x=cosα,y=1+sinα(α為參數(shù)),它表示以點(diǎn)(0,1)為圓心,以1為半徑的圓,則曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-1)2=1,化為一般方程即x2+y2-2y=0,化為極坐標(biāo)方程得ρ2-2ρsin θ=0,即ρ2=2ρsin θ,兩邊約去ρ得ρ=2sin θ. 答案:ρ=2sin θ 7.(2014高考重慶卷)已知直線l的參數(shù)方程為x=2+t,y=3+t(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的

7、正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),則直線l與曲線C的公共點(diǎn)的極徑ρ=　　　　.  解析:依題意,直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程分別是x-y+1=0,y2=4x. 由x-y+1=0,y2=4x得x2-2x+1=0, 解得x=1,則y=2, 因此直線l與曲線C的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)是(1,2),該點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為12+22=5, 即直線l與曲線C的公共點(diǎn)的極徑ρ=5. 答案:5 8.若直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-π4=32,圓C:x=cosθ,y=sinθ(θ為參數(shù))上的點(diǎn)到直線l的距離為d,則d的最大

8、值為　　　　.  解析:∵ρcos（θ-π4）=32, ∴ρcos θ+ρsin θ=6, ∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y=6. 由圓C的參數(shù)方程知圓C的圓心為C(0,0),半徑r=1. 圓心C(0,0)到直線l的距離為62=32. ∴dmax=32+1. 答案:32+1 三、解答題 9.(2014高考福建卷)已知直線l的參數(shù)方程為x=a-2t,y=-4t(t為參數(shù)),圓C的參數(shù)方程為x=4cosθ,y=4sinθ(θ為參數(shù)). (1)求直線l和圓C的普通方程; (2)若直線l與圓C有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解:(1)直線l的普通方程為2x-y-2a=0

9、, 圓C的普通方程為x2+y2=16. (2)因?yàn)橹本€l與圓C有公共點(diǎn), 故圓C的圓心到直線l的距離d=|-2a|5≤4, 解得-25≤a≤25.即a的取值范圍為[-25,25]. 10.(2013高考新課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知動點(diǎn)P,Q都在曲線C:x=2cost,y=2sint(t為參數(shù))上,對應(yīng)參數(shù)分別為t=α與t=2α(0<α<2π),M為PQ的中點(diǎn). (1)求M的軌跡的參數(shù)方程; (2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為α的函數(shù),并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn). 解:(1)依題意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此M(cos

10、α+cos 2α,sin α+sin 2α). M的軌跡的參數(shù)方程為x=cosα+cos2α,y=sinα+sin2α(α為參數(shù),0<α<2π). (2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 d=x2+y2=2+2cosα(0<α<2π). 當(dāng)α=π時,d=0,故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn). 11.(2014保定模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=2+t,y=t+1(t為參數(shù)),以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系下,曲線P的方程為ρ2-4ρcos θ+3=0. (1)求曲線C的普通方程和曲線P的直角坐標(biāo)方程. (2)設(shè)曲線C和曲線P的交點(diǎn)為A

11、,B,求|AB|. 解:(1)曲線C的普通方程為x-y-1=0,曲線P的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4x+3=0. (2)曲線P可化為(x-2)2+y2=1,表示圓心在(2,0),半徑r=1的圓, 則圓心到直線C的距離為d=|1|2=22, 所以|AB|=2r2-d2=2. 12.(2014高考遼寧卷)將圓x2+y2=1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得曲線C. (1)寫出C的參數(shù)方程; (2)設(shè)直線l:2x+y-2=0與C的交點(diǎn)為P1,P2,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程. 解:(1)設(shè)(x1,y1)為圓上的點(diǎn),在已知變換下變?yōu)镃上的點(diǎn)(x,y),依題意,得x=x1,y=2y1, 由x12+y12=1得x2+（y2）2=1, 即曲線C的方程為x2+y24=1. 故C的參數(shù)方程為x=cost,y=2sint(t為參數(shù)). (2)由x2+y24=1,2x+y-2=0解得x=1,y=0或x=0,y=2. 不妨設(shè)P1(1,0),P2(0,2), 則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為（12,1）, 所求直線斜率為k=12, 于是所求直線方程為y-1=12（x-12）, 化為極坐標(biāo)方程,并整理得 2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 即ρ=34sinθ-2cosθ.