高考數學 文二輪復習教師用書：第1部分 重點強化專題 專題3 突破點6 古典概型與幾何概型 Word版含答案

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1、 突破點6　古典概型與幾何概型 [核心知識提煉] 提煉1 古典概型問題的求解技巧 (1)直接列舉：涉及一些常見的古典概型問題時，往往把事件發(fā)生的所有結果逐一列舉出來，然后進行求解． (2)畫樹狀圖：涉及一些特殊古典概型問題時，直接列舉容易出錯，通過畫樹狀圖，列舉過程更具有直觀性、條理性，使列舉結果不重、不漏． (3)逆向思維：對于較復雜的古典概型問題，若直接求解比較困難，可利用逆向思維，先求其對立事件的概率，進而可得所求事件的概率． (4)活用對稱：對于一些具有一定對稱性的古典概型問題，通過列舉基本事件個數結合古典概型的概率公式來處理反而比較復雜，利用對稱思維，可以

2、快速解決. 提煉2 幾何度量法求解幾何概型 準確確定度量方式和度量公式是求解幾何概型的關鍵，常見的幾何度量涉及的測度主要包括長度、面積、體積、角度等. 提煉3 求概率的兩種常用方法 (1)將所求事件轉化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率． (2)若一個較復雜的事件的對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”．它常用來求“至少”或“至多”型事件的概率． [高考真題回訪] 回訪1　古典概型 1．(20xx全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數大于第二張卡片上的數的概率為(

3、　　) A.　　　 B．　　　 C.　　　 D． D　[從5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張的情況如圖： 基本事件總數為25，第一張卡片上的數大于第二張卡片上的數的事件數為10， ∴所求概率P＝＝. 故選D.] 2．(20xx全國卷Ⅰ)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是(　　) A.　　 　 B.　　 　 C.　　 　 D. C　[從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個花壇中，余下2種顏色的花種在另一個花壇的種數有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、紅紫—

4、白黃、黃白—紅紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共4種，故所求概率為P＝＝，故選C.] 3.(20xx全國卷Ⅰ)將2本不同的數學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數學書相鄰的概率為________． 　[兩本不同的數學書用a1，a2表示，語文書用b表示，則Ω＝{(a1，a2，b)，(a1，b，a2)，(a2，a1，b)，(a2，b，a1)，(b， a1，a2)，(b，a2，a1)}．于是兩本數學書相鄰的情況有4種，故所求概率為＝.] 回訪2　幾何概型 4．(20xx全國卷Ⅰ)如圖61，正

5、方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱．在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是(　　) 圖61 A. B. C. D. B　[不妨設正方形ABCD的邊長為2，則正方形內切圓的半徑為1，可得S正方形＝4. 由圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱，得S黑＝S白＝S圓＝，所以由幾何概型知所求概率P＝＝＝. 故選B.] 5．(20xx全國卷Ⅱ)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現，紅燈持續(xù)時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現綠燈的概率為(　　)

6、 A. B. C. D. B　[如圖，若該行人在時間段AB的某一時刻來到該路口，則該行人至少等待15秒才出現綠燈．AB長度為40－15＝25，由幾何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出現綠燈的概率為＝，故選B.] 熱點題型1　古典概型 題型分析：古典概型是高考考查概率的核心，問題背景大多是取球、選人、組數等，求解的關鍵是準確列舉基本事件，難度較?。? 【例1】　(1)一個袋子中有5個大小相同的球，其中3個白球與2個黑球，先從袋中任意取出一個球，取出后不放回，然后從袋中任意取出一個球，則第一次為白球、第二次為黑球的概率為(　　) A.　　　　　　　 B． C

7、. D. (2)已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，則函數f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數的概率是(　　) 【導學號：04024067】 A. B. C. D. (1)B　(2)A　[(1)設3個白球分別為a1，a2，a3,2個黑球分別為b1，b2，則先后從中取出2個球的所有可能結果為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(

8、b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20種． 其中滿足第一次為白球、第二次為黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6種，故所求概率為＝.故選B. (2)記事件A為“函數f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數”． 因為f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1. 因為函數f(x)在R上為增函數，所以f′(x)≥0在R上恒成立． 又a>0，所以Δ＝(2b)2－43a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，即a≥. 所以當b＝1時，有a≥，故a可取1,2,3,4，共4個數； 當

9、b＝2時，有a≥，故a可取2,3,4，共3個數； 當b＝3時，有a≥3，故a可取3,4，共2個數； 當b＝4時，有a≥，故a無可取值． 綜上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9(種)． 又a，b∈{1,2,3,4}，所以(a，b)共有44＝16(種)． 故所求事件A的概率為P(A)＝.故選A.] [方法指津] 利用古典概型求事件概率的關鍵及注意點 1．關鍵：正確列舉出基本事件的總數和待求事件包括的基本事件數． 2．注意點：(1)對于較復雜的題目，列出事件數時要正確分類，分類時應不重不漏． (2)當直接求解有困難時，可考慮求其對立事件的概率． [變式訓練1]　(20xx南

10、京二模)某校有三個興趣小組，甲、乙兩名學生每人選擇其中一個參加，且每人參加每個興趣小組的可能性相同，則甲、乙不在同一個興趣小組的概率為________． 　[設三個興趣小組分別為a，b，c，則甲、乙兩名學生選擇興趣小組的可能結果有(a，a)，(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(c，c)，共9種．其中甲、乙不在同一個興趣小組的結果有6種，故所求概率為P＝＝.] 熱點題型2　幾何概型 題型分析：高考試題中幾何概型主要考查線段型和面積型．求解幾何概型的關鍵是計算線段的長度、平面圖形的面積等，難度較小． 【例2】(1)(20xx廣州二模)在區(qū)間

11、[－1,5]上隨機地取一個實數a，則方程x2－2ax＋4a－3＝0有兩個正根的概率為(　　) A. B. C. D. (2)某校早上8：00開始上課，假設該校學生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為__________．(用數字作答) 【導學號：04024068】(1)C　(2)　[(1)因為方程x2－2ax＋4a－3＝0有兩個正根，所以解得＜a≤1或a≥3，所以所求概率P＝＝，故選C. (2)設小張和小王到校的時間分別為x和y， 則則滿足條件的區(qū)域如圖中陰影部分所示． 故所求概率P＝＝

12、.] [方法指津] 判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法 1．當題干涉及兩個變量問題時，一般與面積有關． 2．當題干涉及一個變量問題時，要看變量可以等可能到達的區(qū)域：若變量在線段上移動，則幾何度量是長度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內移動，則幾何度量是面積(體積)． 提醒：數形結合是解決幾何概型問題的常用方法，求解時，畫圖務必準確、直觀． [變式訓練2]　如圖62，圓C內切于扇形AOB，∠AOB＝，若向扇形AOB內隨機投擲600個點，則落入圓內的點的個數估計值為(　　) 圖62 A．100　　　　　　 B．200 C．400 D．450 C　[如圖，設OA與圓C相切于點D，連接OC，CD，∠AOB＝，則∠COD＝， 設圓C的半徑為1，可得OC＝2，所以扇形的半徑為3， 由幾何概型可得點在圓C內的概率為P＝＝＝，故向扇形AOB內隨機投擲600個點，則落入圓內的點的個數估計為600＝400.]