高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第1章 例析反證法的應(yīng)用

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1、2019版數(shù)學(xué)精品資料（北師大版） 例析反證法的應(yīng)用 我們知道，反證法是先否定結(jié)論成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步導(dǎo)出與定義、定理，公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原結(jié)論是正確的.反證法是間接證明的一種基本方法，是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具，也是數(shù)學(xué)上非構(gòu)造性證明中極為重要的方法，它對(duì)于處理存在性命題、否定性命題、唯一性命題和至少、至多性命題具有特殊的優(yōu)越性?，F(xiàn)以例說(shuō)明。 一 否定型命題 當(dāng)結(jié)論為“否定性”的命題時(shí)，應(yīng)用反證法。也就是說(shuō)原題的結(jié)論出現(xiàn)“不可能……”、“不能表示為……”、“不是……”、“不存在……”、“不等于……”、“不具有

2、某種性質(zhì)”等否定形式出現(xiàn)時(shí)，可考慮使用反證法進(jìn)行證明。 例1：試證不是有理數(shù)。 分析：要求證的結(jié)論是以否定的形式出現(xiàn)的，因此可應(yīng)用反正法來(lái)進(jìn)行證明。 證明：假設(shè)是有理數(shù)，注意到， 可設(shè)（、為互質(zhì)的正整數(shù)，且）， 兩邊平方，得①， 表明，是2的倍數(shù)， 因?yàn)槭钦麛?shù)，故當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，令（），則， 即是奇數(shù)，與是2的倍數(shù)矛盾。 當(dāng)是偶數(shù)，又可設(shè)（），代入①式，整理后得②，②式表明，是2的倍數(shù)。這樣與都是2的倍數(shù)，它們至少有公因數(shù)2，與所作假定、為互質(zhì)的正整數(shù)相矛盾。 因此不是有理數(shù)。 點(diǎn)評(píng)：在應(yīng)用反證法證題時(shí)，必須按“反設(shè)——?dú)w謬——結(jié)論”的步驟進(jìn)行，反正法的難點(diǎn)在于如何從假設(shè)中

3、推出矛盾，從而說(shuō)明假設(shè)不成立。本題從假設(shè)中推出的結(jié)論是與自身相矛盾 二 存在性命題 當(dāng)命題的結(jié)論是以存在性的形式出現(xiàn)時(shí)，宜用反證法。也就是說(shuō)，解決存在性探索命題的總體策略是先假設(shè)結(jié)論存在，并以此進(jìn)行推理，若推出矛盾，即可否定假設(shè)；若推出合理結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)證成立即可肯定假設(shè)正確。 例2、直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)A，B，⑴求實(shí)數(shù)的范圍；⑵是否存在實(shí)數(shù)使得以線段為直經(jīng)的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)？若存在求出的值；若不存在，說(shuō)明理由。 分析：第（1）提示求參數(shù)范圍的常規(guī)題，第⑵問(wèn)是一道探討結(jié)論是否存在的開(kāi)放性命題，為此先假設(shè)結(jié)論存在并在此假設(shè)的條件下進(jìn)行一系列的推導(dǎo)，或推出矛盾或驗(yàn)證成立。

4、解：⑴略可求得。 ⑵由消去y得，① 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，則時(shí)方程①的兩解 所以， 假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得以線段為直經(jīng)的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)， 則，得， 即 整理得， 將及帶入上式，得 ， 解得或 （舍去） 從而存在實(shí)數(shù)使得以線段為直經(jīng)的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)。 點(diǎn)評(píng)：在本題在假設(shè)的條件下推導(dǎo)出的結(jié)果并沒(méi)有出現(xiàn)矛盾，而是驗(yàn)證了存在符合題設(shè)條件的實(shí)數(shù)，從判斷結(jié)論存在，對(duì)于探究具有某種性質(zhì)的存在性問(wèn)題，一般先由特例探求結(jié)果的存在性，然后進(jìn)行論證。 三 “至少”、“至多” 型命題 當(dāng)命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”的形式出現(xiàn)時(shí)，可考慮應(yīng)用反證法來(lái)解決。 例3、設(shè)均為實(shí)數(shù)，且

5、，， 求證：中至少有一個(gè)大于0。 分析：如果直接從條件出發(fā)推證，方向不明，思路不清，不移入手，較難，說(shuō)證結(jié)論是以“至少”形式出現(xiàn)，因而可用反證法證明。 證明：設(shè)中都不大于0，即 而 ，這與矛盾， 故中至少有一個(gè)大于0 點(diǎn)評(píng)：當(dāng)遇到命題的結(jié)論是以“至多”“至少”等形式給出時(shí)，一般是多用反證法；應(yīng)注意 “至少有一個(gè)” “都是”的否定形式分別是“一個(gè)也沒(méi)有” “不都是”，本題是一個(gè)自相矛盾的題目類型。 四 “唯一”性命題， 若命題的結(jié)論是以“唯一”、“ 有且只有一個(gè)”等形式出現(xiàn)時(shí)，可用反證法進(jìn)行證明。 例4、求證：兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)。 分析：此題是含有“ 有

6、且只有一個(gè)”的命題，可考慮用反證法進(jìn)行證明。 證明：假設(shè)結(jié)論不成立，則有兩種情況：或者沒(méi)有交點(diǎn)，或者不只一個(gè)交點(diǎn)。 如果直線沒(méi)有交點(diǎn)，那么∥，這與已知矛盾； 如果直線不只有一個(gè)交點(diǎn)，則至少交于點(diǎn)，這樣經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)就有兩條直線，這與兩點(diǎn)確定以直線矛盾。 由（1）和（2）可知，假設(shè)錯(cuò)誤， 所以，兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)。 點(diǎn)評(píng)：此題是證明一個(gè)命題的充要條件，用反證法證明了它的否定，從而獲得結(jié)論正確，也可正面證明，需證明存在性和唯一性。在證明唯一性命題時(shí)，應(yīng)找出除這一個(gè)元素外的其它的所有元素，并逐一推導(dǎo)出矛盾，排除掉。 五 肯定型命題 有些命題結(jié)論是以“都有”“所有” “都是”等

7、形式出現(xiàn)時(shí)，我們?cè)谶M(jìn)行證明時(shí)，也往往采用反證法。 例5、設(shè)函數(shù)對(duì)定義域上任意實(shí)數(shù)都有，且成立。 求證：對(duì)定義域內(nèi)的任意都有。 分析：這是一個(gè)肯定型命題，可考慮用反正發(fā)來(lái)進(jìn)行證明。 證明：假設(shè)滿足體設(shè)條件的任意都有部成立，即存在某個(gè)有， ， ， 又因?yàn)?，這與假設(shè)矛盾。 假設(shè)不成立，故對(duì)定義域內(nèi)的任意都有。 點(diǎn)評(píng)：在反設(shè)命題的結(jié)論時(shí)要注意正確寫(xiě)出結(jié)論的否定形式是非常重要的。在本體中對(duì)“任意都有”的否定是“存在某個(gè)有” 六 證明不等式 對(duì)于證明不等式，有時(shí)直接進(jìn)行證明因較抽象、不明朗，一時(shí)還難以找出解題思路，其反面常卻出現(xiàn)的條件較多、較具體，又較容易尋找解題思路，因此也

8、?？紤]用反證法進(jìn)行證明。 例6、已知函數(shù)是上的增函數(shù)，，試判斷命題“若，則”的逆命題是否正確，并證明你的結(jié)論。 分析：先寫(xiě)出逆命題，然后證明不等式，而直接證明的條件較少，因此應(yīng)用反證法。 證明：逆命題為：“若，則?！庇梅醋C法進(jìn)行證明： 假設(shè)，則 因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)， 所以有， 兩式相加得， 這與已知矛盾， 故只有，逆命題成立。 點(diǎn)評(píng)：反正法常用于直接證明較困難的不等式，也是不等式證明的一種常用方法。 以上我們介紹了反證法的經(jīng)常應(yīng)用的幾種類型，由此可以看出它有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，正難則反是反證法的特點(diǎn)，因?yàn)槿绻梢粋€(gè)命題直接得到的結(jié)論很少、較抽象、較困難時(shí)，其反面常會(huì)有較多、較具體、較容易的信息結(jié)論，這樣反證法就為一些從正面入手,無(wú)法使已知條件和結(jié)論找出聯(lián)系的問(wèn)題,提供了一條解題途徑，它是通過(guò)給出合理的反設(shè),來(lái)增加演繹推理的前提,從而使那種只依靠所給前提而變得山窮水盡的局面,有了柳岸花明又一村的境地。當(dāng)然要想再接題中用好反證法，這還要有待于平時(shí)訓(xùn)練和不斷的積累。