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1、第十節(jié)圓錐曲線的綜合問題
強化訓練當堂鞏固
1 .直線J2ax +by =1與圓X2 +y2 =1相交于A,B兩點（其中a,b是實數(shù)），且△ AO屬直角三角 形（O是坐標原點），則點P（a,b）與點（0,1）之間距離的最大值為（）
Ar2 1 B.2 C.、2 D. 22 -1
答案：A
解析：圓x2 + y2 =1的圓心到直線 J2ax + by = 1的距離為 _1_2 = 點.
2a b 2
2
2a2 +b2 =2.即 a2 +b2 = 1.
因此所求距離為橢圓a2 +b2- =1上點P（a,b）到焦點（0,1）的距離，其最大值為J2 +1.
2 .直線x+y+J2
2、=0截圓x2+y2 =4所得劣弧所對的圓心角為（）
A.-
6
C;
2
答案:D
0 0 、2
解析：弦心距為0 J
12 12
=1 .圓的半徑為J4 = 2.設
6
所得劣弧所對的圓心角為 e.于是cos旦=1 ,e =空.
2 2 3
2 2
3.雙曲線 :-12 =1的焦點到其漸近線的距離為 （）
A. 2 3 B.2 C. J3 D.1
答案:A
2 2
解析：由題意知雙曲線
24-1y2=1的焦點為F（4,0）,漸近線方程為y = J3x.
由點到直線的距離得 d =華=2 J3.故選A.
2 2
Fi（-c.0） F2（c。
3、）.若雙曲線上
4.已知雙曲線 x■一看 =1（a > 0 .b>0）的左、右焦點分別為 a b
存在點P使sin,呻2 = a .則該雙曲線的離心率的取值范圍是 .
sin PF2F1 c
PF1F2中，據(jù)正弦定理有
PF2 a 曰
=□
I ? 上工
PF1 c
答案：（1「、2 1）
解析：由 si，PF1F2 = a ,<1.在△ sin PF2p1 c
| PF1H PF2|=2a, 2
故| PF1| =2ac J PF2| =~2a-. c-a c-a
又| PF/+| PF2|>| F1F2I，
即 _2ac -2a— 2c= c2 -2ac-a2
4、 :: 0= e2 -2e7 :二 0二 1 :二 e ：二 1 ，2 .
c -a c - a
課后作業(yè)鞏固提升
見課后作業(yè)A
題組一
1.拋物線
拋物線的焦點弦問題 一
2
y2 =2x與過其焦點的直線交于 A,B兩點，則OA QB為()
A. 4
答案:B
B.-4
C.3
D.-3
解析：設過焦點的直線為 y =k(x—1).由
1 、 c
y = k(x - q) 2 2 2 k2
2 得kx —(k +2)x十、=0.
y2=2x 4
設兩交點
X x2
?? yi 力
A(x1 .y1)B(x2 72).
5、2
_ 1 x x _k 2
_ 4 X x2 - k2
= k2[x[x2 -^(x1 x2) 1] 2 4
? 1] = -1.
2k2 4
.故選B.
OA OB = x1 x2 yl y2 =1 -1 = -3 4 4
題組二與圓有關的問題
2.已知圓x2+y2 =1 .點A(1,0), △ABC］接于圓./BAC =60 當BC^圓上運動時，BC中點 的軌跡方程是()
A.
B.
C.
D.
二1
2
二1
4
^(-1
6、= 25的弦AB,使點P為弦AB勺中點，則弦人所在直線方程
B.x-y+5=0
D.x+y-5=0
A. - .2
C. ,2
答案:D
B.
D.
3
- .3
答案:D 解析：由圓性質可得 /BOC=120,設B計點M(x,y),則|OM|=^ .所以選D.
3 .經(jīng)過點P(2,-3)作圓(x+1)2 為()
A.x-y-5=0
C.x+y+5=0
答案：A
解析：設圓心為C,則ABB直于CP.kCP = -3 -0 1,可得直線ab勺方程為y+3=x-2,選A.
2-(-1)
4 .已知圓x2 + y2 + mx —二=0與拋物線y =1 x2的準線
7、相切，則m勺值等于() / 4 / 4
一 一 , 2
解析：拋物線的準線為y=-1,將圓化為標準方程為(x+m!)2 + y2 =七江
由圓心到準線的距離為
5.若直線y=x+b與圓x2
1 二」號m2= m = J3.
2
+ y =2相切，則b的值為（
A. _4 B. _2
C. _、2 D. _2,2
答案:B
解析：由題意可得 巴Lj2n |b|=2,即b = 2. 2
題組三圓錐曲線的綜合問題
6 . x =J1 -3y2表示的曲線是（）
A.雙曲線
B.橢圓
C.雙曲線的一部分
D.橢圓的一部分
答案:D
解析：x = 1 -3y2化為x2
8、 +3y2 =1（x > 0）.該方程表示橢圓的一部分
2 2
7 .設雙曲線(―2=1(0
9、, , e — 4 或 e - _ .
3
而0
10、 2)
2
，則的正
9.已知雙曲線x2-y-=1的左頂點為 A.右焦點為F2 .P為雙曲線右支上一點 的最小值為
答案：-2
解析：Ai(-1 0) F2Q 0). 2 2
設P(x y )(x — 1). PAi PF2 =(-1 - x.-y) (2 - x . - y) = x - x-2 1 y
2
又 x2 一4=1 故 y2=3(x2 -1). 3
于是 PAi PF2 =4x? —x—5=4 (x -1)2 -5- 1z .當 x=1 時，取到最小值-2.
8 16
2 2
10 .直線x=t過雙曲線 J 工 =1(a >0, b>0)的右焦點且與雙曲線
11、的兩條漸近線分別交于 a b
A,B兩點，若原點在以A斯直徑白圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是 ^
答案：(1,2)
解析：由題可知兩交點 A(t Bt) .B(t,-bt).要使原點在以A斯直徑白^圓外，只需原點到直線 a a
AB勺距離 |t| 大于半徑 | bt|即可，于是b
12、k,使OP OQ = 0 ?若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.
解:⑴???點年ij(—J3.0),(J3.0)的距離之和是4,
M勺軌跡 B長軸為4,焦點在x軸上焦距為2J3的橢圓，其方程為 始+ y2 = 1.
4
(2)將y = kx + J2 .代入曲線C勺方程， 整理得(1+4k2)x2 +8J2kx + ：kO, ①
設P(x1 )0(x2 ^2) ?由方程①得
8、.2k
2
1 4k
x1x2 - 2 .
1 2 1 4k2
又 y1y2 =(kx , 2)(kx2 , 2) =k2x1x2 2k(x1 x2) 2.
OP OQ = 0 得 X1X2 +y1y2=0.
將②、③代入上式，解得k = 工6 .
2
又因k的取值應滿足A >0 .
即 4k2 —1 0(*),
將卜二士46代入(*)式知符合題意|
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