《高考數(shù)學(xué)人教A版理科配套題庫【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I 第8講 函數(shù)與方程》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)人教A版理科配套題庫【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I 第8講 函數(shù)與方程(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 精品資料
第8講 函數(shù)與方程
一、選擇題
1.“a<-2”是“函數(shù)f(x)=ax+3在區(qū)間[-1,2]上存在零點x0”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
解析 當(dāng)a<-2時,函數(shù)f(x)=ax+3在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞減,此時f(-1)=3-a>0,f(2)=3+2a<0,所以函數(shù)f(x)=ax+3在區(qū)間[-1,2]上存在零點x0;當(dāng)函數(shù)f(x)=ax+3在
2、區(qū)間[-1,2]上存在零點x0時,
有f(-1)f(2)<0,即2a2-3a-9>0,
解得a>3或a<-.
答案 A
2.下列函數(shù)圖像與x軸均有公共點,其中能用二分法求零點的是( )
解析 能用二分法求零點的函數(shù)必須在含零點的區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),并且有f(a)·f(b)<0.A、B、D中函數(shù)不符合.
答案 C
3.函數(shù)f(x)=2x--a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實數(shù)a的取值范圍是 ( ).
A.(1,3) B.(1,2)
C.(0,3) D.(0,2)
解析 由條件可知f(
3、1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解之得0<a<3.
答案 C
4.已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù),且當(dāng)0≤x<2時,f(x)=x3-x,則函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點的個數(shù)為 ( ).
A.6 B.7 C.8 D.9
解析 當(dāng)0≤x<2時,令f(x)=x3-x=0,得x=0或x=1.
根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì),由f(x)的最小正周期為2,可知y=f(x)在[0,6)上有6個零點,
又f(6)=f(3×2)=f(0)=0,
∴f(x
4、)在[0,6]上與x軸的交點個數(shù)為7.
答案 B
5.函數(shù)f(x)=-cos x在[0,+∞)內(nèi) ( ).
A.沒有零點 B.有且僅有一個零點
C.有且僅有兩個零點 D.有無窮多個零點
解析 令f(x)=0,得=cos x,在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩個函數(shù)y=與y=cos x的圖象如圖所示,由圖象知,兩個函數(shù)只有一個交點,從而方程=cos x只有一個解.
∴函數(shù)f(x)只有一個零點.
答案 B
6.已知函數(shù)f(x)=xex-ax-1,則關(guān)于f(x)零點敘述正確的是( ).
A.當(dāng)a=0時,函數(shù)f(x)有兩個零點
B.函數(shù)f(x)必有一個零點是正數(shù)
C.當(dāng)a
5、<0時,函數(shù)f(x)有兩個零點
D.當(dāng)a>0時,函數(shù)f(x)只有一個零點
解析 f(x)=0?ex=a+
在同一坐標(biāo)系中作出y=ex與y=的圖象,
可觀察出A、C、D選項錯誤,選項B正確.
答案 B
二、填空題
7.用二分法研究函數(shù)f(x)=x3+3x-1的零點時,第一次經(jīng)計算f(0)<0,f(0.5)>0可得其中一個零點x0∈______,第二次應(yīng)計算________.
解析 ∵f(x)=x3+3x-1是R上的連續(xù)函數(shù),且f(0)<0,f(0.5)>0,則f(x)在x∈(0,0.5)上存在零點,且第二次驗證時需驗證f(0.25)的符號.
答案
6、 (0,0.5) f(0.25)
8.函數(shù)f(x)=則函數(shù)y=f[f(x)]+1的所有零點所構(gòu)成的集合為________.
解析 本題即求方程f[f(x)]=-1的所有根的集合,先解方程f(t)=-1,即或得t=-2或t=.再解方程f(x)=-2和f(x)=.
即或和或
得x=-3或x=和x=-或x=.
答案
9.已知函數(shù)f(x)=ex-2x+a有零點,則a的取值范圍是________.
解析 由原函數(shù)有零點,可將問題轉(zhuǎn)化為方程ex-2x+a=0有解問題,即方程a=2x-ex有解.令函數(shù)g(x)=2x-ex,則g′(x)=2-ex,令g′(x)=0,得x=ln 2,所以g(x)
7、在(-∞,ln 2)上是增函數(shù),在(ln 2,+∞)上是減函數(shù),所以g(x)的最大值為:g(ln 2)=2ln 2-2.因此,a的取值范圍就是函數(shù)g(x)的值域,所以,a∈(-∞,2ln 2-2].
答案 (-∞,2ln 2-2]
10.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點P,Q滿足條件:①P、Q都在函數(shù)f(x)的圖象上;②P、Q關(guān)于原點對稱,則稱點對(P、Q)是函數(shù)f(x)的一個“友好點對”(點對(P、Q)與點對(Q,P)看作同一個“友好點對”).已知函數(shù)f(x)=則f(x)的“友好點對”的個數(shù)是________.
解析 設(shè)P(x,y)、Q(-x,-y)(x>0)為函數(shù)f(x)的“友好點對”,則
8、y=,-y=2(-x)2+4(-x)+1=2x2-4x+1,∴+2x2-4x+1=0,在同一坐標(biāo)系中作函數(shù)y1=、y2=-2x2+4x-1的圖象,y1、y2的圖象有兩個交點,所以f(x)有2個“友好點對”,故填2.
答案 2
三、解答題
11.設(shè)函數(shù)f(x)=(x>0).
(1)作出函數(shù)f(x)的圖象;
(2)當(dāng)0<a<b,且f(a)=f(b)時,求+的值;
(3)若方程f(x)=m有兩個不相等的正根,求m的取值范圍.
解 (1)如圖所示.
(2)∵f(x)=
=
故f(x)在(0,1]上是減函數(shù),而在(1,+∞)上是增函數(shù),
由0<a<b且
9、f(a)=f(b),
得0<a<1<b,且-1=1-,∴+=2.
(3)由函數(shù)f(x)的圖象可知,當(dāng)0<m<1時,方程f(x)=m有兩個不相等的正根.
12.已知函數(shù)f(x)=4x+m·2x+1有且僅有一個零點,求m的取值范圍,并求出該零點.
思路分析 由題意可知,方程4x+m·2x+1=0僅有一個實根,再利用換元法求解.
解析 ∵f(x)=4x+m·2x+1有且僅有一個零點,
即方程(2x)2+m·2x+1=0僅有一個實根.
設(shè)2x=t(t>0),則t2+mt+1=0.
當(dāng)Δ=0時,即m2-4=0,
∴m
10、=-2時,t=1;m=2時,t=-1(不合題意,舍去),
∴2x=1,x=0符合題意.
當(dāng)Δ>0時,即m>2或m<-2時,
t2+mt+1=0有兩正或兩負根,
即f(x)有兩個零點或沒有零點.
∴這種情況不符合題意.
綜上可知:m=-2時,f(x)有唯一零點,該零點為x=0.
13.已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點,求實數(shù)q的取值范圍;
(2)是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時,f(x)的值域為區(qū)間D,且區(qū)間D的長度為12-t(視區(qū)間[a,b]的長度為b-a).
解 (1)∵函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3
11、的對稱軸是x=8,∴f(x)在區(qū)間[-1,1]上是減函數(shù).
∵函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點,則必有即∴-20≤q≤12.
(2)∵0≤t<10,f(x)在區(qū)間[0,8]上是減函數(shù),在區(qū)間[8,10]上是增函數(shù),且對稱軸是x=8.
①當(dāng)0≤t≤6時,在區(qū)間[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小,
∴f(t)-f(8)=12-t,即t2-15t+52=0,
解得t=,∴t=;
②當(dāng)6<t≤8時,在區(qū)間[t,10]上,f(10)最大,f(8)最小,
∴f(10)-f(8)=12-t,解得t=8;
③當(dāng)8<t<10時,在區(qū)間[t,10]上,f(10)最大
12、,f(t)最小,
∴f(10)-f(t)=12-t,即t2-17t+72=0,解得t=8,9,
∴t=9.
綜上可知,存在常數(shù)t=,8,9滿足條件.
14.已知函數(shù)f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).
(1)若g(x)=m有零點,求m的取值范圍;
(2)確定m的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個相異實根.
解 (1)法一:∵g(x)=x+≥2=2e,
等號成立的條件是x=e,
故g(x)的值域是[2e,+∞),
因而只需m≥2e,則g(x)=m就有零點.
法二:作出g(x)=x+(x>0)的大致圖象如圖:
可知若使g(x
13、)=m有零點,
則只需m≥2e.
法三:由g(x)=m得
x2-mx+e2=0.
此方程有大于零的根,
故等價于,
故m≥2e.
(2)若g(x)-f(x)=0有兩個相異的實根,即g(x)與f(x) 的圖象有兩個不同的交點,作出g(x)=x+(x>0)的大致圖象.
∵f(x)=-x2+2ex+m-1
=-(x-e)2+m-1+e2.
其圖象的對稱軸為x=e,開口向下,最大值為m-1+e2.
故當(dāng)m-1+e2>2e,
即m>-e2+2e+1時,
g(x)與f(x)有兩個交點,
即g(x)-f(x)=0有兩個相異實根.
∴m的取值范圍是(-e2+2e+1,+∞)