高考數(shù)學復習：第五章 ：第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示突破熱點題型

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1、 精品資料 第一節(jié)　數(shù)列的概念與簡單表示 考點一 由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公式 　 [例1]　根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的一個通項公式． (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)，，－，，－，，…. [自主解答]　(1)數(shù)列中各項的符號可通過(－1)n表示，從第2項起，每一項的絕對值總比它的前一項的絕對值大6，故通項公式為an＝(－1)n(6n－5)． (2)數(shù)列變?yōu)?，，，…? 故an＝. (3)各項的分母分別為21,22,23,24，…，

2、易看出第2,3,4項的分子分別比分母小3. 因此把第1項變?yōu)椋? 原數(shù)列化為－，，－，，…， 故an＝(－1)n. 【方法規(guī)律】 求數(shù)列的通項公式應關注的四個特征 (1)分式中分子、分母的特征； (2)相鄰項的變化特征； (3)拆項后的特征； (4)各項符號特征等，并對此進行歸納、化歸、聯(lián)想． 根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出各數(shù)列的一個通項公式． (1)3,5,7,9，…； (2)，，，，，…； (3)－1，，－，，－，，…. 解：(1)各項減去1后為正偶數(shù)，∴an＝2n＋1. (2)每一項的分子比分母小1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，…，∴an＝.[來

3、源:] (3)數(shù)列的奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，故通項公式中含有因式(－1)n，各項絕對值的分母組成數(shù)列{n}，分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項為1，偶數(shù)項為3，即奇數(shù)項為2－1，偶數(shù)項為2＋1. ∴an＝(－1)n. 考點二 由遞推關系式求通項公式 　[來源:] [例2]　根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項公式． (1)a1＝1，an＝an－1(n≥2)； (2)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2； (4)a1＝，an＋1＝. [自主解答]　(1)∵an＝an－1(n≥2)， ∴an－1＝an－2，…，a2＝a1. 以上(n－1)

4、個式子相乘，得 an＝a1…＝＝. (2)∵an＋1－an＝3n＋2， ∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(n≥2)． 當n＝1時，a1＝(31＋1)＝2符合公式， ∴an＝n2＋. (3)∵an＋1＝3an＋2，[來源:] ∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3. ∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3. 又a1＋1＝2，∴an＋1＝23n－1. ∴an＝23n－1－1. (4)∵an＋1＝， ∴＝＋， ∴－1＝. 又－1＝， ∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列， ∴－1＝

5、＝， ∴an＝. 【方法規(guī)律】 由遞推關系式求通項公式的常用方法 (1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an； (2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an； (3)已知a1且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉化為{an＋k}為等比數(shù)列； (4)形如an＋1＝(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構造新數(shù)列求解． 1．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，則an＝(　　) 　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　 A．2＋ln n B．2

6、＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n 解析：選A　由已知，an＋1－an＝ln，a1＝2， ∴an－an－1＝ln(n≥2)， an－1－an－2＝ln， … a2－a1＝ln， 將以上n－1個式子相加，得 an－a1＝ln＋ln＋…＋ln＝ln＝ln n， ∴an＝2＋ln n(n≥2)，經(jīng)檢驗n＝1時也適合． 2．若數(shù)列{an}滿足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和數(shù)值最大時，n的值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：選B　∵

7、an＋1－an＝－3，∴數(shù)列{an}是以19為首項，－3為公差的等差數(shù)列，∴an＝19＋(n－1)(－3)＝22－3n.設前k項和最大，則有 ∴∴≤k≤， ∵k∈N*，∴k＝7.故滿足條件的n的值為7. 高頻考點 考點三 an與Sn關系的應用　　 1．a(chǎn)n與Sn關系的應用是高考的常考內容，且多出現(xiàn)在選擇題或填空題中，有時也出現(xiàn)在解答題的已知條件中，難度較小，屬容易題． 2．高考對an與Sn關系的考查常有以下兩個命題角度： (1)利用an與Sn的關系求通項公式an； (2)利用an與Sn的關系求Sn. [例3]　(1)(2012全國高考)已知數(shù)列{an}的前n項

8、和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝(　　) A．2n－1 B.n-1 C.n－1 D. (2)(2013新課標全國卷Ⅰ)若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an＋，則{an}的通項公式是an＝________. (3)(2013湖南高考改編)設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1≠0,2an－a1＝S1Sn，n∈N*.求a1，a2，并求數(shù)列{an}的通項公式． [自主解答]　(1)由已知Sn＝2an＋1得 Sn＝2(Sn＋1－Sn)， 即2Sn＋1＝3Sn，＝，而S1＝a1＝1， 所以Sn＝n－1. (2)由Sn＝an＋，得當

9、n≥2時，Sn－1＝an－1＋， ∴當n≥2時，an＝－2an－1， 又n＝1時，S1＝a1＝a1＋，a1＝1， ∴an＝(－2)n－1. (3)令n＝1，得2a1－a1＝a， 即a1＝a.因為a1≠0，所以a1＝1. 令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2.解得a2＝2. 當n≥2時，2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1， 兩式相減，得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1. 于是數(shù)列{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列． 因此，an＝2n－1. 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1. [答案]　(1)B　(2)(－2)n－1 an與Sn關系

10、的應用問題的常見類型及解題策略 (1)由an與Sn的關系求an.數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關系是an＝當n＝1時，若a1適合Sn－Sn－1，則n＝1的情況可并入n≥2時的通項an；當n＝1時，若a1不適合Sn－Sn－1，則用分段函數(shù)的形式表示． (2)由an與Sn的關系求Sn.通常利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)將已知關系式轉化為Sn與Sn－1的關系式，然后求解． 1．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6＝(　　) A．344 B．344＋1 C．45 D．45＋1 解析：選A　法一：a1＝

11、1，a2＝3S1＝3，a3＝3S2＝12＝341，a4＝3S3＝48＝342，a5＝3S4＝343，a6＝3S5＝344. 法二：當n≥1時，an＋1＝3Sn，則an＋2＝3Sn＋1， ∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1， ∴該數(shù)列從第2項開始是以4為公比的等比數(shù)列， 又a2＝3S1＝3a1＝3， ∴an＝ ∴當n＝6時，a6＝346－2＝344. 2．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn＋Sm＝Sn＋m(m，n∈N*)且a1＝6，那么a10＝(　　) A．10 B．60 C．6

12、 D．54 解析：選C　由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10，又由于a10＝S10－S9＝S1＝a1＝6，故a10＝6. 3．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－n＋1，則它的通項公式an＝________. 解析：∵a1＝S1＝12－1＋1＝1， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n＋1)－[(n－1)2－(n－1)＋1]＝2n－2.∴an＝ 答案： ———————————[課堂歸納——通法領悟]———————————————— 2種關系——數(shù)列與函數(shù)、an與Sn的關系 　(1)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此，在研究數(shù)列問題時，既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性． (2)an＝ 3種思路——由遞推關系式求通項公式的常用思路 　(1)算出前幾項，再歸納、猜想；[來源:] (2)利用累加法或累乘法求數(shù)列的通項； (3)一般形如an＋1＝qan＋b或an＋1＝(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可采用待定系數(shù)法轉化為等比數(shù)列解決．