高考數(shù)學復習：第八章 ：第七節(jié)拋物線突破熱點題型

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1、 第七節(jié)　拋 物 線 考點一 拋物線的定義及應用 　 [例1]　設P是拋物線y2＝4x上的一個動點． (1)求點P到點A(－1,1)的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． [自主解答]　[來源:] (1)如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準線是x＝－1. 由拋物線的定義知：點P到直線x＝－1的距離等于點P到焦點F的距離． 于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點P，使點P到點A(－1，1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最?。? 顯然，連接AF交曲線于點P，則所求的最小值為|AF|，即為

2、. (2)如圖，過點B作BQ垂直準線于Q，交拋物線于點P1，則|P1Q|＝|P1F|. 則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值為4. 【互動探究】 若將本例(2)中的B點坐標改為(3,4)，求|PB|＋|PF|的最小值． 解：由題意可知點(3,4)在拋物線的外部． ∵|PB|＋|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點間的距離． ∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝＝2. 即|PB|＋|PF|的最小值為2.　　　　　 【方法規(guī)律】 拋物線定義中的“轉(zhuǎn)化”法 利用拋物線的定義解決此類問題，應靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離與

3、到準線距離的等價轉(zhuǎn)化．“看到準線想到焦點，看到焦點想到準線”，這是解決拋物線焦點弦有關問題的有效途徑． 1．(2014·天津模擬)已知動圓過定點F，且與直線x＝－相切，其中p>0，則動圓圓心的軌跡E的方程為____________． 解析：依題意得，圓心到定點F的距離與到直線x＝－的距離相等，再依拋物線的定義知，動圓圓心的軌跡E為拋物線，其方程為y2＝2px. 答案：y2＝2px 2．過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，若|AF|＝3，則|BF|＝________. 解析：因為拋物線y2＝4x的焦點F(1,0)． 顯然，當AB垂直于x軸時

4、，|AF|≠3， 所以AB的斜率k存在， 設AB的方程為y＝k(x－1)，與拋物線y2＝4x聯(lián)立， 消去y得k2x2－2k2x－4x＋k2＝0， 即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由根與系數(shù)的關系得 x1＋x2＝＝2＋. 又|AF|＝3＝x1＋＝x1＋1，所以x1＝2， 代入k2x2－2k2x－4x＋k2＝0，得k2＝8， 所以x1＋x2＝，x2＝， 故|BF|＝x2＋1＝＋1＝. 答案： 考點二 拋物線的標準方程及性質(zhì) 　 　 [例2]　(1)(2013·四川高考)拋物線y2＝4x的焦點到雙曲

5、線x2－＝1的漸近線的距離是(　　) A. B. C．1 D. (2)(2013·江西高考)拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線－＝1相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝________. [自主解答]　(1)由拋物線y2＝4x，有2p＝4，p＝2.其焦點坐標為(1,0)，雙曲線x2－＝1的漸近線方程為y＝±x.不妨取其中一條x－y＝0.由點到直線的距離公式有d＝＝. (2)在等邊三角形ABF中，AB邊上的高為p，＝p，所以B.又因為點B在雙曲線上，故－＝1，解得p＝6. 答案：(1)B　(

6、2)6 【方法規(guī)律】 1．求拋物線的標準方程的方法及流程 (1)方法：求拋物線的標準方程常用待定系數(shù)法，因為未知數(shù)只有p，所以只需一個條件確定p值即可．[來源:] (2)流程：因為拋物線方程有四種標準形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量． 2．確定及應用拋物線性質(zhì)的關鍵與技巧 (1)關鍵：利用拋物線方程確定及應用其焦點、準線等性質(zhì)時，關鍵是將拋物線方程化成標準方程． (2)技巧：要結(jié)合圖形分析，靈活運用平面幾何的性質(zhì)以圖助解． 1．已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經(jīng)過點M(2，y0)．若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM|＝(　　) A．2

7、 B．2 C．4 D．2 解析：選B　依題意，設拋物線方程是y2＝2px(p>0)，則有2＋＝3，得p＝2，故拋物線方程是y2＝4x，點M的坐標是(2，±2)，|OM|＝＝2. 2．(2014·湖州模擬)已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為(　　) A．x2＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng) C．x2＝8y D．x2＝16y 解析：選D　雙曲線的漸近線方程為y＝&#

8、177;x，由于＝ ＝ ＝2，所以＝，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x.拋物線的焦點坐標為，所以＝2，則p＝8，所以拋物線方程為x2＝16y. 高頻考點[來源:] 考點三 直線與拋物線的位置關系　　 1．直線與拋物線的位置關系，是高考命題的熱點，多以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度較大，多為中、高檔題． 2．直線與拋物線的位置關系有以下幾個命題角度： (1)已知拋物線方程及其他條件，求直線方程； (2)證明直線過定點； (3)求線段長度或線段之積(和)的最值； (4)求定值． [例3](2014·杭州模擬)已知直線y＝2x－2與拋物

9、線x2＝2py(p＞0)交于M1，M2兩點，且|M1M2|＝8. (1)求p的值； (2)設A是直線y＝上一點，直線AM2交拋物線于另一點M3，直線M1M3交直線y＝于點B，求·的值． [自主解答]　(1)由整理得x2－4px＋4p＝0， 設M1(x1，y1)，M2(x2，y2)，則 ∵|M1M2|＝8， ∴＝8， 即＝8. ∴p2－p－12＝0，解得p＝4或p＝－3(舍去)， 且p＝4滿足Δ＞0，∴p＝4. (2)由(1)知拋物線方程為x2＝8y， 且x1＋x2＝16，x1x2＝16，M1，M2， 設M3，A(t,2)，B(a,2)， 由A，M2，M3

10、三點共線得kM2M3＝kAM2，∴＝，即x＋x2x3－t(x2＋x3)＝x－16， 整理得x2x3－t(x2＋x3)＝－16，　① 由B，M3，M1三點共線，同理可得x1x3－a(x1＋x3)＝－16，?、? ②式兩邊同乘x2得x1x2x3－a(x1x2＋x2x3)＝－16x2， 即16x3－a(16＋x2x3)＝－16x2，?、踇來源:] 由①得x2x3＝t(x2＋x3)－16， 代入③得16x3－16a－at(x2＋x3)＋16a＝－16x2， 即16(x2＋x3)＝at(x2＋x3)，∴at＝16. ∴·＝at＋4＝20. 直線與拋物線的位置關系的常見類

11、型及解題策略 (1)求直線方程．先尋找確定直線的兩個條件，若缺少一個可設出此量，利用題設條件尋找關于該量的方程，解方程即可． (2)證明直線過定點．可依題設條件尋找該直線的方程，可依據(jù)方程中的參數(shù)及其他條件確定該直線過那個定點． (3)求線段長度和線段之積(和)的最值．可依據(jù)直線與拋物線相交，依據(jù)弦長公式，求出弦長或弦長關于某個量的函數(shù)，然后利用基本不等式或利用函數(shù)的知識，求函數(shù)的最值；也可利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為兩點間的距離或點到直線的距離． (4)求定值．可借助于已知條件，將直線與拋物線聯(lián)立，尋找待定式子的表達式，化簡即可得到． (2014·濰坊模擬)已知過點A(－4

12、,0)的動直線l與拋物線G：x2＝2py(p>0)相交于B，C兩點．當直線l的斜率是時，＝4. (1)求拋物線G的方程； (2)設線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍． 解：(1)設B(x1，y1)，C(x2，y2)，當直線l的斜率是時， l的方程為y＝(x＋4)，即x＝2y－4， 聯(lián)立消去x，得2y2－(8＋p)y＋8＝0，y1＋y2＝，y1y2＝4，由已知＝4，∴y2＝4y1， 由韋達定理及p>0可得y1＝1，y2＝4，p＝2， ∴拋物線G的方程為x2＝4y.[來源:] (2)由題意知直線l的斜率存在，且不為0， 設l：y＝k(x＋4)，BC中點

13、坐標為(x0，y0)， 由得x2－4kx－16k＝0， 由Δ>0得k<－4或k>0，∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k，BC中垂線方程為y－2k2－4k＝－(x－2k)， ∴b＝2(k＋1)2，∴b>2. 故b的取值范圍為(2，＋∞)． ———————————[課堂歸納——通法領悟]———————————————— 4個結(jié)論——直線與拋物線相交的四個結(jié)論 　已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點的直線交拋物線于A，B兩點，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有以下結(jié)論： (1)|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝(α為AB所在直線的傾斜角)； (2)x1x2＝； (3)y1y2＝－p2； (4)過拋物線焦點且與對稱軸垂直的弦稱為拋物線的通徑，拋物線的通徑長為2p. 3個注意點——拋物線問題的三個注意點 　(1)求拋物線的標準方程時一般要用待定系數(shù)法求p的值，但首先要判斷拋物線是否為標準方程，若是標準方程，則要由焦點位置(或開口方向)判斷是哪一種標準方程． (2)注意應用拋物線定義中距離相等的轉(zhuǎn)化來解決問題． (3)直線與拋物線有一個交點，并不表明直線與拋物線相切，因為當直線與對稱軸平行(或重合)時，直線與拋物線也只有一個交點.