高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第十章 ：第二節(jié)排列與組合突破熱點(diǎn)題型

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1、 精品資料 第二節(jié)　排列與組合 考點(diǎn)一 排 列 問 題 　 [例1]　3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)： (1)選其中5人排成一排； (2)排成前后兩排，前排3人，后排4人； (3)全體站成一排，男、女各站在一起； (4)全體站成一排，男生不能站在一起； (5)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾． [自主解答]　(1)問題即為從7個(gè)元素中選出5個(gè)全排列，有A＝2 520種排法． (2)前排3人，后排4人，相當(dāng)于排成一排，共有A＝5 040種排法． (3)相鄰問題(捆綁法)：

2、男生必須站在一起，是男生的全排列，有A種排法；女生必須站在一起，是女生的全排列，有A種排法；全體男生、女生各視為一個(gè)元素，有A種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理， 共有AAA＝288種排法． (4)不相鄰問題(插空法)：先安排女生共有A種排法，男生在4個(gè)女生隔成的5個(gè)空中安排共有A種排法，故共有AA＝1 440種排法． (5)先安排甲，從除去排頭和排尾的5個(gè)位中安排甲，有A＝5種排法；再安排其他人，有A＝720種排法．所以共有AA＝3 600種排法． 【互動(dòng)探究】[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 本例中若全體站成一排，男生必須站在一起，有多少種排法？ 解：(捆綁法)即把所有男生視為一個(gè)元素，與4名女生組

3、成5個(gè)元素全排列，故有AA＝720種排法．　　　　　 【方法規(guī)律】 1．解決排列問題的主要方法 直接法 把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算 捆綁法 相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看成一個(gè)整體參與其他元素排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列 插空法 不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中 除法法 定序問題除法處理的方法，可先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列 2．解決排列類應(yīng)用題的策略 (1)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置． (2)分排問題直排法處理． (3)“小集團(tuán)”排列問題中先集

4、中后局部的處理方法． [來源:] 1．(2012遼寧高考)一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為(　　) A．33! B．3(3！)3 C．(3！)4 D．9! 解析：選C　把一家三口看成一個(gè)排列，然后再排列這3家，所以滿足題意的坐法種數(shù)為A(A)3＝(3！)4. 2．(2014南充模擬)將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，最多2名，則不同的分配方案有(　　) A．30種 B．90種 C．180種 D．270種 解析：選B　選分組，再排列．分組方法共有，因此共有A＝90. 考

5、點(diǎn)二 組 合 問 題 　 　[例2]　(1)若從1,2,3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法的種數(shù)是(　　) A．60 B．63 C．65 D．66 (2)(2013重慶高考)從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是________(用數(shù)字作答)． [自主解答]　(1)因?yàn)閺?,2,3，…，9中共有4個(gè)不同的偶數(shù)和5個(gè)不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)，則4個(gè)數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，故有C＋C＋CC＝66種不同的取

6、法． (2)按每科選派人數(shù)分為3,1,1和2,2,1兩類． 當(dāng)選派人數(shù)為3,1,1時(shí)，有3類，共有CCC＋CCC＋CCC＝200種選派方法． 當(dāng)選派人數(shù)為2,2,1時(shí)，有3類，共有CCC＋CCC＋CCC＝390種選派方法． 故共有590種選派方法． [答案]　(1)D　(2)590 【方法規(guī)律】 1．解決組合應(yīng)用題的一般思路 首先整體分類，要注意分類時(shí)，不重復(fù)不遺漏，用到分類加法計(jì)數(shù)原理；然后局部分步，用到分步乘法計(jì)數(shù)原理． 2．組合問題的常見題型及解題思路 常見題型有選派問題，抽樣問題，圖形問題，集合問題，分組問題．解答組合應(yīng)用題時(shí)，要在仔細(xì)審題的基礎(chǔ)上，分清問題是否為組

7、合問題，對(duì)較復(fù)雜的組合問題，要搞清是“分類”還是“分步”解決，將復(fù)雜問題通過兩個(gè)原理化歸為簡(jiǎn)單問題． 3．含有附加條件的組合問題的常用方法 通常用直接法或間接法，應(yīng)注意“至少”“最多”“恰好”等詞的含義的理解，對(duì)于涉及“至少”“至多”等詞的組合問題，既可考慮反面情形即間接求解，也可以分類研究進(jìn)行直接求解． 1．某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法的種數(shù)為(　　) A．30 B．35 C．42 D．48 解析：選A　法一：分兩種情況：(1)2門A,1門B，有CC＝12種選法；(2)1門

8、A,2門B，有CC＝36＝18種選法．所以共有12＋18＝30種選法． 法二：排除法：A類3門，B類4門，共7門，選3門，A，B各至少選1門，有C－C－C＝35－1－4＝30種選法．[來源:] 2．兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)種數(shù)為(　　) A．10 B．15 C．20 D．30 解析：選C　分三種情況：恰好打3局，有2種情形；恰好打4局(一人前3局中贏2局，輸1局，第4局贏)，共有2C＝6種情形；恰好打5局(一人前4局中贏2局，輸2局，第5局贏)，共有2C＝12種情形．所有可

9、能出現(xiàn)的情形種數(shù)為2＋6＋12＝20. 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)三 排列與組合的綜合應(yīng)用　　 1．排列與組合是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題． 2．高考對(duì)排列與組合綜合應(yīng)用題的考查主要有以下幾個(gè)命題角度： (1)相鄰問題； (2)相間問題； (3)特殊元素(位置)問題； (4)多元問題等． [例3]　(1)(2013煙臺(tái)模擬)有4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行，如果取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10，則

10、不同的排法共有______種(用數(shù)字作答)． (2)(2014西安模擬)某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方法共有________種(用數(shù)字作答)． [自主解答]　(1)取出的4張卡片所標(biāo)數(shù)字之和等于10，共有三種情況：1144,2233,1234. 所取卡片是1144的共有A種排法．所取卡片是2233的共有A種排法． 所取卡片是1234，則其中卡片顏色可為無紅色，1張紅色，2張紅色，3張紅色，全是紅色，共有A＋CA＋CA＋CA＋A＝16A種排法， 所以共有18

11、A＝184321＝432種排法． (2)甲傳第一棒，乙傳最后一棒，共有A種方法． 乙傳第一棒，甲傳最后一棒，共有A種方法． 丙傳第一棒，共有CA種方法． 由分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有A＋A＋CA＝96種方法． [答案]　(1)432　(2)96 排列與組合綜合問題的常見類型及解題策略 (1)相鄰問題捆綁法．在特定條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素視為一個(gè)元素來考慮，待整個(gè)問題排好之后，再考慮它們“內(nèi)部”的排列． (2)相間問題插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它們之間或兩端的空當(dāng)中，它與捆綁法有同等作用． (3)特殊元素(位置)優(yōu)先安排法．優(yōu)先考慮問題中的特殊元素或位置，然后

12、再排列其他一般元素或位置． (4)多元問題分類法．將符合條件的排列分為幾類，而每一類的排列數(shù)較易求出，然后根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求出排列總數(shù)． 1．8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為(　　) A．AA B．AC C．AA D．AC 解析：選A　相間問題用插空法，8名學(xué)生先排，有A種排法，產(chǎn)生9個(gè)空，2位老師插空，有A種排法，所以最終有AA種排法． 2．3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)為(　　) A．360 B．288 C．216 D

13、．96 解析：選B　先保證3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則有CAAA種排法，再從中排除甲站兩端的排法，所以所求排法種數(shù)為CAAA－2CAAA＝6(612－24)＝288. 3．將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有________種(用數(shù)字作答)． 解析：選出兩人看成一個(gè)整體，再全排列．共有CA＝36種分配方案． 答案：36 ———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]——————————— 1個(gè)識(shí)別——排列問題與組合問題的識(shí)別方法 識(shí)別方法 排列 若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，即排列問題與選取元素順序有關(guān) 組合 若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取元素順序無關(guān) 3個(gè)注意點(diǎn)——求解排列與組合問題的三個(gè)注意點(diǎn) (1)解排列與組合綜合題一般是先選后排，或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步，再利用兩個(gè)原理作最后處理． (2)解受條件限制的組合題，通常用直接法(合理分類)和間接法(排除法)來解決．分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏． (3)對(duì)于選擇題要謹(jǐn)慎處理，注意等價(jià)答案的不同形式，處理這類選擇題可采用排除法分析選項(xiàng)，錯(cuò)誤的答案都有重復(fù)或遺漏的問題．