高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第四章 ：第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算突破熱點(diǎn)題型

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1、 精品資料 第一節(jié)　平面向量的概念及其線性運(yùn)算 考點(diǎn)一 向量的概念 　 [來源:] [例1]　給出下列四個(gè)命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b； ②若＝，則四邊形ABCD為平行四邊形； ③若a與b同向，且|a|>|b|，則a>b； ④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中假命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1　 　　　B．2　 　　　C．3　 　　　D．4 [自主解答]?、俨徽_．|a|＝|b|但a，b的方向不確定，故a，b不一定相等； ②不正確．因?yàn)椋?，A，B，C，D可能在同一直線上，所以

2、ABCD不一定是四邊形； ③不正確．兩向量不能比較大??； ④不正確．當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線． [答案]　D 【方法規(guī)律】 解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注五點(diǎn) (1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵． (2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性． (3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)． (4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混為一談． (5)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量. 下列說法中錯(cuò)誤的是(　　) A．有向線段可以表示向量但不是向量，且向

3、量也不是有向線段 B．若向量a和b不共線，則a和b都是非零向量 C．長度相等但方向相反的兩個(gè)向量不一定共線 D．方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等 解析：選C　選項(xiàng)A中向量與有向線段是兩個(gè)完全不同的概念，故正確；選項(xiàng)B中零向量與任意向量共線，故a，b都是非零向量，故正確；選項(xiàng)C中是共線向量，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中既然方向相反就一定不相等，故正確． 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)二 平面向量的線性運(yùn)算　　　 1．平面向量的線性運(yùn)算是每年高考的重點(diǎn)，題型多為選擇題和填空題，難度較小，屬中低檔題． 2．高考對平面向量的線性運(yùn)算的考查主要有以下幾個(gè)命題角度： (1)考查向量加法或減法的幾何意義

4、； (2)求已知向量的和； (3)與三角形聯(lián)系，求參數(shù)的值； (4)與平行四邊形聯(lián)系，研究向量的關(guān)系． [例2]　(1)(2012遼寧高考)已知兩個(gè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)⊥b C．|a|＝|b| D．a(chǎn)＋b＝a－b (2)(2011四川高考)如圖，正六邊形ABCDEF中，＋＋＝(　　) A．0 B． C． D． 　　 　　 　第(2)題圖　　　　 　 　　第(3)題圖 (3)(2013四川高考)如圖

5、在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，＋＝λ，則λ＝ ________. (4)(2013江蘇高考)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1 ＋λ2 (λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．[來源:] [自主解答]　(1)法一：(代數(shù)法)將原式平方得|a＋b|2＝|a－b|2，∴a2＋2ab＋b2＝a2－2ab＋b2，∴ab＝0，∴a⊥b. 法二：(幾何法)如圖所示： 在?ABCD中，設(shè)＝a，＝b，∴＝a＋b，＝a－b，∵|a＋b|＝|a－b|， ∴平行四邊形兩條對角線長度相等，即平行四邊形ABCD為矩形，∴

6、a⊥b. (2)因六邊形ABCDEF是正六邊形，故＋＋＝＋＋＝＋＝. (3)由平行四邊形法則，有＋＝＝， 已知＋＝λ，所以λ＝2. (4) ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋， ∵＝λ1＋λ2， ∴λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝. [答案]　(1)B　(2)D　(3)2　(4) 平面向量線性運(yùn)算問題的常見類型及解題策略 (1)向量加法或減法的幾何意義．向量加法和減法均適合平行四邊形法則． (2)求已知向量的和．一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則． (3)與三角形聯(lián)系，求參數(shù)的值．求出向量的和或與已知條件中的和式比較，然后求參

7、數(shù)． (4)與平行四邊形聯(lián)系，研究向量的關(guān)系．畫出圖形，找出圖中的相等向量、共線向量，將所求向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解． 1．在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F，若＝a，＝b，則等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：選B　如圖，＝＋，由題意知，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，故＝， 則＝a＋b＋＝a＋b. 2．若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)，且2 ＋＋＝0，那么(　　) A．＝ B．＝2 C．＝3

8、 D．2＝ 解析：選A　因?yàn)镈是BC邊的中點(diǎn)，所以有＋＝2，所以2＋＋＝2＋2＝2(＋)＝0?＋＝0?＝. 3．(2014青島模擬)在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，且＝3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，若＝x＋(1－x) ，則x的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選D　設(shè)＝y(tǒng)，∵＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y) ，∵＝3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，∴y∈，∵＝x＋(1－x)，∴x∈. 考點(diǎn)三 共線向量定理的應(yīng)用 　 [例3]　設(shè)兩個(gè)非零向量

9、e1和e2不共線． (1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求證：A，C，D三點(diǎn)共線； (2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝3e1－ke2，且A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值． [自主解答]　(1)證明：＝e1－e2，＝3e1＋2e2， ∴＝＋＝4e1＋e2，又＝－8e1－2e2， ∴＝－2，∴與共線． 又∵與有公共點(diǎn)C，∴A，C，D三點(diǎn)共線． (2)∵＝e1＋e2，＝2e1－3e2， ∴＝＋＝3e1－2e2. ∵A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線， ∴∥，從而存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ. ∴3e1－2e2＝3λe1－λke2， 又e1，e2是不共線的非零向量，

10、∴因此k＝2.∴實(shí)數(shù)k的值為2. 【互動(dòng)探究】 在本例條件下，試確定實(shí)數(shù)k，使ke1＋e2與e1＋ke2共線． 解：∵ke1＋e2與e1＋ke2共線， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 即ke1＋e2＝λe1＋λke2， ∴解得k＝1.　　　　　 【方法規(guī)律】 1．共線向量定理的應(yīng)用 (1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值． (2)若a，b不共線，則λa＋μb＝0的充要條件是λ＝μ＝0，這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛． 2．證明三點(diǎn)共線的方法 若＝λ，則A、B、C三點(diǎn)共線． 若a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，a與b起

11、點(diǎn)相同，則當(dāng)t為何值時(shí)，a，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上？[來源:] 解：∵a，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上，且a與b起點(diǎn)相同． ∴a－tb與a－(a＋b)共線， 即a－tb與a－b共線， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使a－tb＝λ， ∴解得λ＝，t＝， 即t＝時(shí)，a，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上． [來源:] ——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1個(gè)規(guī)律——向量加法規(guī)律 　一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即＋＋＋…＋＝.特別地，一個(gè)封閉圖形首尾連接

12、而成的向量和為零向量． 2個(gè)結(jié)論——向量的中線公式及三角形的重心 　(1)向量的中線公式 若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)一點(diǎn)，則＝(＋)． (2)三角形的重心 已知平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)A、B、C，＝(＋＋)?G是△ABC的重心．特別地，＋＋＝0?P為△ABC的重心． 3個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化——與三點(diǎn)共線有關(guān)的等價(jià)轉(zhuǎn)化 　A，P，B三點(diǎn)共線?＝λ (λ≠0)? ＝(1－t) ＋t (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，t∈R)? ＝x＋y (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，x∈R，y∈R，x＋y＝1)． 4個(gè)注意點(diǎn)——向量線性運(yùn)算應(yīng)注意的問題 　(1)作兩個(gè)向量的差時(shí)，要注意向量的方向是指向被減向量的終點(diǎn)；[來源:] (2)向量共線的充要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)； (3)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線； (4)利用向量平行證明直線平行，必須說明這兩條直線不重合．