【備考2014】2013高考數(shù)學(xué)(真題+模擬新題分類匯編)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)理

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1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù) B1函數(shù)及其表示 21. B1, B12[2013 ?江西卷]已知函數(shù) f(x) =a'l-2 x-1 ；, a 為常數(shù)且 a>0. 、一 一，， 1 ,, (1)證明：函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x = 2對稱； (2)若X0滿足f(f(x 0)) =X0,但f(x 0)wx0,則稱X0為函數(shù)f(x)的二階周期點.如果 f(x) 有兩個二階周期點 xi, x2,試確定a的取值范圍； (3)對于(2)中的 xi, x2和 a,設(shè) x3為函數(shù) f(f(x)) 的最大值點，A(xi, f(f(x i))) , B(x2, f(f(x 2))) , C(x

2、3, 0).記△ ABC的面積為S(a),討論S(a)的單調(diào)性. 解：(i)證明：因為 fg+x]= a(i -2|x|), 2 f l^-x 廣 a(i -2|x|), 有 fg+x>0), 所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線 1 J (2)當 0<a<2時,有 f(f(x)) =」 i 所以f(f(x)) = x只什-個解x 1 卜 當 a=5時，有 f(f(x)) ={ 1 1k 所以f(f(x)) =x有解集x錯誤 中的所有點都不是二階周期點. 1 x= 2對稱. 4a2x, "2, 4a2 (1-x) , x>1.

3、L 2 =0,又f(0) =0,故0不是二階周期點. 1 x<2, 1 X, x>2. x<錯誤！，又當x<錯誤！時f(x) = x，故x錯誤！ )x &錯誤! 當a>2時，有 r 4a2x, x< — 4a 1 c ,2 2a-4ax, 4 f(f(x)) = { 2a (1 —2a) 4 4a2 —4a2x, 1 1 尸2， + 4a x, <x< 2 4a — 1 x> 4a . 2a 2a 4a2 2a 2a 所以順x)) =x有四個解0,中孑，喬與，干/又⑹=0, fEaJ=

4、 不⑦, 2 2 _ 2a 2a 4a 4a ^ 2a + 4a2 廣 1 +4a2，f 1 + 4a2 廣 1 +4a4 八 1 + 4a4 4a2 不？是忖 的二階周期點. 一，一 『 1 綜上所述，所求a的取值范圍為a>2. 2 ( ,口 2a 4a (3)由(2)倚 X1=TT^?, x2= 1^, 1 因為X3為函數(shù)f(f(x)) 的最大值點，所以 X3 = n，或 4a— 1 x3= "A 4a 當x3 = 1 2a — 1 后時，S⑻=4(1+4a2)，求導(dǎo)得：* —2<a］ (1 4a 所以當 時，S(a)單調(diào)

5、遞增，當 aC ,+°° |1 S(a)單調(diào)遞減; 當x3 = 4a — 1 8a — 6a +1 b時,S(a) =4("，求導(dǎo)得: 2 S' (a)= 12a2+4a—3 2 (1+4a2) ■2， 1 12a + 4a— 3 因 a>2,從而有 S (a) = 2( 1 + 4a2)2>0, 且 f(e x) =x+ex,則 f' (1) 所以當aC j2, +00 j時S(a)單調(diào)遞增. 13. B1, B11［2013 ?江西卷］設(shè)函數(shù)f(x)在(0 , +8)內(nèi)可導(dǎo), 13.2 ［解析］

6、f(e x) =x+ex,利用換元法可得 f(x) =ln x+x,f' (x)=1+1,所以 f' (1) x =2. 10. B1, B8［2013?江西卷］如圖1 — 3所示，半徑為1的半圓O與等邊三角形 ABC夾在 兩平行線h,l 2之間，l // I1J與半圓相交于F, G兩點，與三角形ABC兩邊相交于E, D兩點.設(shè) 弧FG的長為x(0<x<兀)，y=EB+ BC+ CR若l從l 1平行移動到l 2,則函數(shù)y=f(x)的圖像大 致是( ) 圖1 — 3 A BCD 10. D ［解析］設(shè)l 一、, 〃一 /cos x +1 2 ,l

7、 2距離為 t , cos x=2t — 1 ,得 t = 2 . 4ABC的邊長為 jg,  BE 1-t "2-=^" —3 得 B白馬(1 — t),貝U y=2BE+ BC= 2X 2(1 — t) +馬=2P 3 3 3 433 cos x + 1 ~2 ， . ?！?. . 當xC（0,兀）時，非線性單調(diào)遞增，排除 A, B,求證x = ~2的情況可知選D. 2. B1[2013 ?江西卷]函數(shù)y = {Xln(1 —x)的定義域為( ) A. (0,1) B . [0 , 1) C. (0,1] D . [0 , 1]

8、 2. B [解析]x >0 且 1 —x>0,得 xC [0 , 1),故選 B. 11. B1[2013 ?遼寧卷]已知函數(shù) f(x) =x2 —2(a + 2)x+a2, g(x) =- x2+ 2(a - 2)x - a2 + 8.設(shè) H(x) = maj f (x) , g (x) } , H2(x) = min{ f (x) , g (x) } (max{ p, q}表示 p, q 中的較大值，min{p, q}表示p, q中的較小值).記H(x)的最小值為A, H2(x)的最大值為B, 則 A— B=( ) A. 16 B . — 16 C. a2—2a—16

9、D . a2+2a—16 11. B [解析]由題意知當 f(x) =g(x)時，即 x2—2(a+2)x+a2=—x2+2(a — 2)x — a2+ 8, 整理得 x2— 2ax+ a2 — 4= 0,所以 x=a+ 2 x= a — 2, x -2 (a+2) x+a (xWa— 2), 所以 H(x) = max{f(x) , g(x)} =，-x+2 a a- 2) x - a+ 8 (a — 2<x<a +2), 、x2—2 (a+2) x+a2 (x>a+ 2), Hb(x) = min{f(x) , g(x)}= j- x2+ 2 (a-2)

10、x - a2 + 8 (x<a- 2), $x2—2 (a+2) x+a2 (a—2<x<a + 2), [-x2+ 2 (a-2) x - a2 + 8 (x>a+ 2). 由圖形(圖形略)可知，A= Hi(x) min= —4a —4, B= H2(x) max= 12 —4a,則 A- B=—16. 故選B. 4. B1[2013 ?全國卷]已知函數(shù)f(x)的定義域為(一1, 0),則函數(shù)f(2x +1)的定義域為 ( ) . 1 A. (-1,1) B. 丁 1, -2J 1 C. ( — 1,0) D.臺 1) 1 4. B [解析]對于

11、f(2x +1), - 1<2x + 1<0,解得—1<x<-2,即函數(shù) f(2x + 1)的定義 域為J 1，— 2 } jL1;,皿 8. B1, J3[2013 ?陜西卷]設(shè)函數(shù)f(x)=xJ 則當x>0時，f[f(x)] 表達式 -Vx, x>0, 的展開式中常數(shù)項為（ ） f[f(x)] =；— 56,展開式的通項為 Tr + 1=C；6T x x 可得r = 3,所以常數(shù)項為 T4= — C3= - 20. A. —20 B . 20 C . — 15 D . 15 8. A [解析]由已知表達式可得： 函數(shù)y = 3x

12、— 1 3 x 的圖像大致是（ ） A B C D 圖1 — 5 4)r=C6-(―1)r ? xr 3,令 r—3=0, 7. B1, B3, B12[2013 ?四川卷] 7. C ［解析］函數(shù)的定義域是{x C Rxw0},排除選項 A；當x<0時，x3<0, 3x-1<0,故 y>0,排除選項B; 當x- + oo時，y>0且y-0,故為選項 C中的圖像. 19. B1, I2, K6［2013 ?新課標全國卷H ］經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)， 每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每 1 t虧損300元.根據(jù)歷史資

13、料，得到 銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖 1-4所示，經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了 130 t該農(nóng)產(chǎn)品，以X（單位：t, 100WXW 150）表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量， T（單位： 元）表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤. （1）將T表示為X的函數(shù)； （2）根據(jù)直方圖估計利潤 T不少于57 000元的概率； （3）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入 該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率 （例如：若需求量 XC ［100, 110）,則取X= 105,且X= 105的概率等于需求量落入［100 , 110）的頻率）

14、，求T的數(shù)學(xué)期望. 19.解：(1)當 XC [100 , 130)時， T= 500X- 300(130 -X) = 800X- 39 000. 當 XC [130 , 150]時，T= 500X130= 65 000. 800X- 39 000 , 100<X<130, 所以T= ? 65 000 , 130W X< 150. （2）由（1）知利潤T不少于57 000元，當且僅當120WXW 150. 由直方圖知需求量 XC ［120, 150］的頻率為0.7 ,所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤 T不少于 57 000元的概率的估計值為 0.7. （3）

15、依題意可得T的分布列為 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4  所以 E(T) = 45 000 X 0.1 + 53 000 X 0.2 + 61 000 X 0.3 + 65 000 X 0.4 = 59 400. B2反函數(shù) 5. B2［2013 ?全國卷］函數(shù) f(x) = log 2 H+11 (x>0)的反函數(shù) fT(x)=( ) 1 1 A.J(x>0)B. J(xw0) C. 5. 2x —1(x € R) D . 2x—1(x>0) A ［解析］令 y = l

16、og2f1+x ；,則 y>0,且 1 + ：=2y,解得 x='271i，交換 x, y 得 f 一 1(x)= B3函數(shù)的單調(diào)性與最值 x2+2x+a, x<0, 21. B3, B9, B12[2013 ?四川卷]已知函數(shù)f(x) =" 其中a是實數(shù).設(shè) lnx , x>0, A%, f(x 1)), B(x2, f(x 2))為該函數(shù)圖像上的兩點，且 x1<x2. (1)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若函數(shù)f(x)的圖像在點A, B處的切線互相垂直，且 x2<0,求x2 —x1的最小值； (3)若函數(shù)f(x

17、)的圖像在點A, B處的切線重合，求 a的取值范圍. 21.解：(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(—8, — 1),單調(diào)遞增區(qū)間為[—1, 0), (0, + °0). (2)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知， 點A處的切線斜率為f ' (x 1),點B處的切線斜率為f ' (x 2), 故當點A處的切線與點 B處的切線垂直時，有 f ' (x 1)f ' (x 2)=— 1. 當x<0時，對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f ' (x) = 2x+ 2. 因為 x1<x2<0,所以，(2x 1 + 2)(2x 2+2) = — 1, 所

18、以 2x1+2<0, 2x2+2>0. 1 因此 x2—x1 = 2[—(2x1+2)+ 2x2+2] [—(2x1 + 2)] (2x2+2) =1, 3 1 當且僅當一(2x 1+2) =2x2+2= 1,即X = —3且x2= —時等號成立. 所以，函數(shù)f(x)的圖像在點A, B處的切線互相垂直時，x2— x1的最小值為1. (3)當 x1<x2<0 或 x2>x1>0 時，f ' (x 1) wf ' (x 2),故 x1<0<x2. 當x1<0時，函數(shù)f(x)的圖像在點(xb f(x 1))處的

19、切線方程為 , 2 y-(x 1+ 2x1+ a) = (2x 1+ 2)(x — x。， 2 即 y = (2x 1 + 2)x — x1 + a. 當X2>0時，函數(shù)f(x)的圖像在點(X2, f(x 2))處的切線方程為 y — ln x 2= — (x — X2), 即 y= — ? x+ ln x 2— 1. x2 x2 兩切線重合的充要條件是 -=2xi+2,① x2 Jn x 2— 1 = — x2+ a.② 由①及 xi<0<x2,知一1<xi<0. 2 1 2 由①②得，a=x1+ ln-—-1=x1-ln(2x 1+2

20、)—1. 2x1 + 2 設(shè) h(x 1) = x2— ln(2x 1 + 2) — 1( — 1<x1<0), 一, 1 則 h' (x 1) = 2x1-x^<0. 所以，h(x 1)( — 1<x1<0)是減函數(shù). 則 h(x 1)>h(0) =- In 2 -1, 所以 a>— In 2 — 1. 又當x1C( —1, 0)且趨近于一1時，h(x1)無限增大， 所以a的取值范圍是(一ln 2 -1, +8). 故當函數(shù)f(x)的圖像在點A, B處的切線重合時，a的取值范圍是(一ln 2 —1,十^). 10. B3

21、, B12[2013 ?四川卷]設(shè)函數(shù)f(x) =：ex+x—a (a € R, e為自然對數(shù)的底數(shù)).若 曲線y = sinx上存在(xo, yo)使得f(f(y 0)) =yo,則a的取值范圍是( ) A. [1 , e] B . [e1—1, 1] C. [1 , e+1] D . [e1—1, e+1] 10. A [解析]因為y0 = sin x oC [ — 1, 1],且f(x)在[—1, 1]上(有意義時)是增函數(shù)， 對于 y°C [ — 1, 1],如果 f(y 0) =c>y。，則 f(f(y 0)) =f(c) >f(y 0) = c>y

22、。,不可能有 f(f(y 0)) =y0. 同理，當 f(y 0) = dvy。時，則 f(f(y 0)) =f(d) vf(y 0)=dvy。,也不可能有 f(f(y 0)) =y。, 因此必有f(y0) = y0,即方程f(x) = x在[—1,1]上有解，即\/ex+ x— a = x在[ — 1,1]上有解.顯 然，當x<0時，方程無解，即需要 Me；+x—a =x在[0, 1]上有解.當x>0時，兩邊平方得 e、+ x—a=x：故 a=ex—x2+x.記 g(x) =ex— x2+x,則 g' (x) =ex—2x+1. 當 xC |0, 2 I, ex&

23、gt;0, - 2x+1 >0,故 g' (x) >0, 當 x C , 1 1寸,e >yje> 1, 0>— 2x + 1 > — 1, 2 故 g' (x) > 0. 綜上，g' (x)在xC[0, 1]上恒大于0,所以g(x)在[0 , 1]上為增函數(shù)，值域為[1 , e], 從而a的取值范圍是[1 , e]. 3 x 7. B1, B3, B12[2013 ?四川卷]函數(shù)y = 3x時的圖像大致是( )  7. C ［解析］函數(shù)的定義域是{x C Rxw0},排除選項 A;當x<0時，x3&l

24、t;0, 3x-1<0,故 y>0,排除選項B； 當x- + oo時，y>0且y-0,故為選項 C中的圖像. 10. B3, B5, B8, B12［2013 ?新課標全國卷H ］已知函數(shù) f(x) = x3+ax2+bx +c,下列結(jié) 論中錯誤的是( ) A. x°C R, f(x o) =0 8. 函數(shù)y = f(x)的圖像是中心對稱圖形 C.若xo是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間(一8, xo)單調(diào)遞減 D.若xo是f(x)的極值點，則f ' (x o) = 0 10. C ［解析］x 一一8 時，f(x)<0 , x- +

25、 8 時，f(x)>0 , f(x) 連續(xù)， xoCR, f(x o) = 0, A正確；通過平移變換，函數(shù)可以化為 f(x) =x3+c ,從而函數(shù)y=f(x)的圖像是 中心對稱圖形，B正確；若xo是f(x)的極小值點，可能還有極大值點 xi ,則f(x)在區(qū)間(xi , xo)單調(diào)遞減.C錯誤.D正確.故答案為 C. B4函數(shù)的奇偶性與周期性 11. B4［2013 ?廣東卷］定義域為 R的四個函數(shù) y = x3, y = 2x, y = x2+1, y = 2 sin x 中, 奇函數(shù)的個數(shù)是( ) 12. C ［解析］函數(shù)y=x3, y= 2sin x是奇函數(shù). 11.

26、 B4［2013 ?江蘇卷］已知f(x)是定義在 R上的奇函數(shù).當 x>0時，f(x) =x2-4x,則 不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為. 11. (—5, 0) U (5 , +OO)［解析］設(shè) x<0,則—x>0.因為 f(x) —f( — x) =— (x2 + 4x). 又f(0) =0,于是不等式f(x)>x 等價于 是奇函數(shù), 所以 f(x)= x> 0, 或 x — 4x>x }<0, |— (x，4x) >x. 解得 x>5 或—5vx<0, 故不等式的解集為(一5, 0

27、) U (5 , +8). f( -1) 3. B4［2013 ?山東卷］已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當 x>0時，f(x) =x2+1,則 x =( ) A. -2 B . 0 C . 1 D . 2 3. A ［解析］?.一(x)為奇函數(shù)，，f ( - 1) =- f(1) =— y+1 1= - 2. 14. B4, E3［2013 ?四川卷］已知f(x)是定義域為 R的偶函數(shù)，當 x>0時，f(x) =x2- 4x,那么，不等式f(x +2)<5的解集是. 14. ( -7, 3)［解析］當 x+2>0 時，f(x +2) = (x +2)2—4(

28、x +2) = x2-4,由 f(x +2) <5,得 x2—4<5,即 x2<9,解得一3<x<3,又 x + 2>0,故一2Wxv 3 為所求.又因為 f(x) 為偶函數(shù)，故f(x +2)的圖像關(guān)于直線x = -2對稱，于是一7<xv—2也滿足不等式. (注：本題還可以借助函數(shù)的圖像及平移變換求解 ) B5二次函數(shù) 4. A2、B5［2013 ?安徽卷］“aW0” 是“函數(shù) f(x) = |(ax —1)x| 在區(qū)間(0, 十°o)內(nèi)單調(diào) 遞增”的( ) A.充分不必要條件 B .必要不充分條件 C.充分必要條件 D .既不充

29、分也不必要條件 5. C ［解析］f(x) =|(ax —1)x| =|ax2—x| ,若 a=0,則 f(x) = |x| ,此時 f(x)在區(qū)間 (0 , +°°)上單調(diào)遞增；若 a<0,則二次函數(shù)y=ax2—x的對稱軸x = ；<0,且x=0時y=0, 2a 此時y=ax2 —x在區(qū)間(0 ,+8)上單調(diào)遞減且 y<0恒成立，故f(x) = |ax 2-x|在區(qū)間(0 , 十 8)上單調(diào)遞增，故a<0時，f(x)在區(qū)間(0, +8)上單調(diào)遞增，條件是充分的；反之若 a>0, 則二次函數(shù)y= ax2—x的對稱軸x = 1 I ,

30、一一 1 , ,,, 2a>0,且在區(qū)間 0, 2a■上 y<°，此時 f(x)= |ax 2a 2-x|在區(qū) f(x)不可能在區(qū)間(0 , 十°°)上單調(diào) 、 1 1 1 間0, 2a上單調(diào)遞增,在區(qū)間%占上單調(diào)遞減，故函數(shù) 遞增，條件是必要的. 6. B5, B9［2013 ?湖南卷］函數(shù)f(x) = 2ln x的圖像與函數(shù)g(x) =x2—4x+5的圖像的交 點個數(shù)為( ) A. 3 B . 2 C . 1 D . 0 2 5. B ［解析］法一：作出函數(shù) f(x) =2ln x , g(x) = x

31、 — 4x +5的圖像如圖： 可知，其交點個數(shù)為 2,選B. 法二：也可以采用數(shù)值法： x 1 2 4 f(x) = 21n x 0 2ln 2 =ln 4>1 In 4 2<5 2 g(x) =x — 4x+ 5 2 1 5 可知它們有2個交點，選B. 10. B3, B5, B8, B12［2013 ?新課標全國卷H ］已知函數(shù) f(x) = x3+ax2+bx +c,下列結(jié) 論中錯誤的是( ) A. xoC R, f(x 0) =0 B.函數(shù)y = f(x)的圖像是中心對稱圖形 C.若x0是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間(—8

32、, x。)單調(diào)遞減 D.若x0是f(x)的極值點，則f ' (x 0) = 0 10. C ［解析］x 一一8 時，f(x)<0 , x- + oo 時，f(x)>0 , f(x) 連續(xù)， xoCR, f(x 0) = 0, A正確；通過平移變換，函數(shù)可以化為 f(x) =x3+c ,從而函數(shù)y=f(x)的圖像是 中心對稱圖形，B正確；若xo是f(x)的極小值點，可能還有極大值點 xi ,則f(x)在區(qū)間(xi , xo)單調(diào)遞減.C錯誤.D正確.故答案為 C. B6指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 6. E3、B6、B7［2013 ?安徽卷］已知一元二次不等式 f(x)<

33、0 的解集為x )x< — 1或 x>1,貝U f(10 x)>0的解集為( ) A. {x|x< — 1 或 x>—1g 2} B. {x| — 1<x<—1g 2} C. {x［x> -1g 2} D. {x|x< -1g 2} 1 .. v 1 , 一 6. D ［解析］根據(jù)已知可得不等式 f(x)>0的解是—1<x<2,故—1<10x<2,解得x<-1g 2. 16. A1, A3, B6［2013 ?湖南卷］設(shè)函數(shù) f(x) =ax+bx —cx,其中 c>a>0,

34、c>b>0. (1)記集合隹{(a , b, c)|a , b, c不能構(gòu)成一個三角形的三條邊長，且 a= b},則(a , b, c)CM所對應(yīng)的f(x)的零點的取值集合為 ; (2)若a, b, c是4ABC的三條邊長，則下列結(jié)論正確的是 .(寫出所有正確結(jié)論 的序號) ① x€ (-OO, 1) , f(x)>0 ; ② xCR,使ax, bx, cx不能構(gòu)成一個三角形的三條邊長； ③若△ ABC為鈍角三角形，則 xC (1 , 2),使f(x) =0. 16. (1){x［0<x <1} (2)①②③ ［解析］(1)因2=3 所以函數(shù)f(x)

35、=2ax-cx,又因a, b, c 不能構(gòu)成一個三角形，且 c>a>0, c>b>0,故 a + b=2a<c,令 f(x) =2ax —cx=0,即 f(x) = cx-2'-?-1 = 0,故可知但『==,又0<a3，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知 0<xW 1,即取值集合 占―1 cj 2 c 2, ， 為{x|0<x <1}. (2)因 f(x) = ax + bx — cx = cx j + 也 j — 1 L 因 c>a>0, c>b>0,則 0<c<1,0<c<1，當 x

36、 C (— 8, 1)時,有 ax>- b x>b所以 c c '-T+也『>a+b,又a, b, c為三角形三邊，則定有 a c c c c + b吟故對 x.8, D,胃+胃一皿即 f(x)…bx—cx=c〔胃［>0, 故①正確；取 x=2,則 町+降旱，取x = 3, c c c c 由此遞推，必 然存在x=n時，有?『+21<1,即an+bn<c:故②正確；對于③，因 f(1) =a+b— c>0, c c f(2) =a2+b2—c2<0(C為鈍角)，根據(jù)零點存在性定理可知， xC(

37、1 , 2),使f(x) =0,故③ 正確.故填①②③. 3. B6, B7[2013 ?浙江卷]已知x, y為正實數(shù)，則( ) a 2幻 x +幻 y — 2幻 x + 2® ' c 21g x © y =2© x +2® ' 3. D ［解析］??? lg(xy) b 21g(x +y)_ 2幻 x ? 2幻 y D 2lg(xy) = 2lg x - 2lg y =lg x +lg y , .-.2"(xy) = 21gx+lgy=2lgx2lgy,故選擇 D. B7對數(shù)與指數(shù)函數(shù) 6. E3、B6、

38、B7［2013 ?安徽卷］已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集為x )x< — 1或 1 x>2,貝u f(10 x)>0的解集為( ) A. {x|x< — 1 或 x>— 1g 2} B. {x| — 1<x<—lg 2} C. {x|x> — lg 2} D. {x|x< — lg 2} 6. D ［解析］根據(jù)已知可得不等式 f(x)>0的解是—1<x<2,故—1<10、<2,解得x<-lg 2. 16. B7、M［2013 ?山東卷］定義“正對數(shù)”：ln + x 0<

39、;x<1，現(xiàn)有四個命題： ln x , x>1. ①若 a>0, b>0,貝U ln (ab) = bln a; ②若 a>0, b>0,則 ln (ab) =ln a+ln b; ③若 a>0, b>0,則 1n s ln a— ln b; b ④若 a>0, b>0,則 ln + (a + b) w ln a+ ln b+ ln 2. 其中的真命題有 .(寫出所有真命題的編號) 16.①③④ ［解析］①中，當 ab> 1 時，-b>0, . . a> 1, ln (ab) = ln a b= bln

40、 a = bln a;當 0<ab<1 時,b>0, 0<a<1, ln (ab) =bln a= 0,，①正確； ②中，當 0<ab<1,且 a>1 時，左邊=ln (ab) = 0,右邊=ln a+ln b= ln a+0=ln a>0, ，②不成立； ③中，當aw1,即a<b時，左邊=0,右邊=ln a-ln b< 0,左邊》右邊成立；當 a>1 b b 時，左邊=ln ~= ln a— ln b>0,若a>b>1時，右邊=ln a— ln b,左邊》右邊成立； 若0<b<a&l

41、t;1 b 時)右邊=0,左邊》右邊成立；若 a>1>b>0,左邊=ln -= ln a — ln b>ln a ,右邊=ln a , b 左邊》右邊成立，，③正確； ④中，若 0<a+b<1,左邊=ln (a+b)=0,右邊=ln a+ln b+ln 2 = In 2>0 ,左邊w .. .. - 、 ， 、 a+b 右邊；右 a+ b> 1, In (a+b) — In 2 = In ( a+ b) — In 2 = In 2， 「 a+b m.a+b 人… a+b -. a+b 口廠 又「一2-wa 或一2-wb, a, b

42、 至少有 1 個大于 1, /. In—2-< ln a 或 ln —2-w in b,即 a+b 有 In (a+b)—in 2 = In (a+b)—in 2 = In ? w In a+ln b, ?.④正確. 8. B7, E1［2013 ?新課標全國卷n ］設(shè) a=log 36, b = log 510, c= log 714,則( ) A. c>b>a B . b>c>a C. a>c>b D . a>b>c 8. D ［解析］a —b=log 36—log510=(1 +log 32) — (1+log 52) =

43、log 32 —log 52>0, b —c= log 510 —log 714= (1 + log 52) —(1 + log 72) = log 52 — log 72>0, 所以a>b>c,選D. 3. A. C. 3. B6, B7［20 13 ?浙江卷］ 21g x +lg y _ 2© x +2回 ' 21g x - lg y _ 21g x + 21g ' D ［解析］: lg(xy) 已知x, y為正實數(shù)，則( ) 21g(x +y) _ 2幻 x . 2幻 ' 21g(xy) 一 2回 x . 2

44、回 ' =lg x +lg y ,，2 1g(xy) =21g x y =21gx 21gy,故選擇 D. B8募函數(shù)與函數(shù)的圖像 5. B8［2013 ?北京卷］函數(shù)f(x)的圖像向右平移1個單位長度，所得圖像與曲線 y = ex 關(guān)于y軸對稱，則f(x)=( ) A. ex+1 B . ex1 C . e" D . e x1 5. D ［解析］依題意，f(x)向右平移一個單位長度得到 f(x—1)的圖像，又丫 = 3的圖像 關(guān)于y軸對稱的圖像的解析式為 y = e x,所以f(x -1)=e x,所以f(x) =e-xl 10. B1,

45、 B8［2013 ?江西卷］如圖1 — 3所示，半徑為1的半圓O與等邊三角形 ABC夾在 兩平行線l 1, l 2之間，l // 1 1, l與半圓相交于 F, G兩點，與三角形ABC兩邊相交于E, D兩點.設(shè) 弧FG的長為x(0<x<兀)，y=EB+ BC+ CR若l從l 1平行移動到l 2,則函數(shù)y=f(x)的圖像大 致是( )  10. D ［解析］設(shè)l ,12距離為t, cos x= 2t2 — 1,得 t = x + 1 --.△ ABC的邊長為 2 —3’ 祠1 T)，則 y=2BE+ BC= 2X 羽一)飛=273一十、^^, BE 1-t

46、2 一 2 2「4/3 /cos x +1 ~2 ~1 ~,得 BE= 3 當xC(0,兀)時，非線性單調(diào)遞增，排除 A, B,求證x = ~2的情況可知選D. 10. B3, B5, B8, B12［2013 ?新課標全國卷H ］已知函數(shù) f(x) = x3+ax2+bx +c,下列結(jié) 論中錯誤的是( ) A. xoC R, f(x o) =0 B.函數(shù)y = f(x)的圖像是中心對稱圖形 C.若xo是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間(一8, xo)單調(diào)遞減 D.若xo是f(x)的極值點，則f ' (x o) = 0 10. C ［解析］x 一一8 時，f(x)

47、<0 , x- + oo 時，f(x)>0 , f(x) 連續(xù)， x°CR, f(x o) = 0, A正確；通過平移變換，函數(shù)可以化為 f(x) =x3+c ,從而函數(shù)y=f(x)的圖像是 中心對稱圖形，B正確；若xo是f(x)的極小值點，可能還有極大值點 x1 ,則f(x)在區(qū)間(x1 , xo)單調(diào)遞減.C錯誤.D正確.故答案為 C. -x +2x, x<0, ? 若 Jn (x+1) , x>0. B9函數(shù)與方程 11 . B9, B11［2013 ?新課標全國卷I］已知函數(shù)f(x) |f(x)| >ax,則a的取值范圍是( )

48、 A.(―巴 0] B . (—8, 1] C. [—2, 1] D . [-2, 0] 11. D [解析]方法一：若 x<0, |f(x)| =| -x2+ 2x| =x2-2x, x = 0 時，不等式恒成 立，x<0時，不等式可變?yōu)?a>x- 2,而x —2<—2,可得a>- 2; ,, , 一一 ln (x+1), 右 x>0, |f(x)| = |ln(x +1)| = ln(x +1),由 ln(x +1) >ax,可得 a< 恒成立, 令 h(x) ln (x+1) x x ——ln(X+1) 則 h'

49、; (x) = 2 ,再令 g(x) x x L, m-ln(x +1),則 -x g (x) =(x+ 1)2<0,故 g(x)在(0 , +8)上單倜遞減， 所以 g(x)<g(0) =0,可得 h (x) x x+ 1 一 ln (x+1) <0,故 h(x)在(0 + oo )上單調(diào)遞減, x一十 oo 時，h(x) — 0, 所以h(x)>0 , aW0.綜上可知，—2WaW0,故選 D. X2-2x, x<0, 方法二：數(shù)形結(jié)合：畫出函數(shù) |f(x)| =* 與直線y = ax的圖像，如下圖， ln

50、 (x+1) , x>0 要使|f(x)| > ax恒成立，只要使直線 y= ax的斜率最小時與函數(shù) y=x2—2x, x<0在原點處 的切線斜率相等即可，最大時與 x軸的斜率相等即可， 因為 y = 2x—2,所以 y' | x=0=— 2,所以—2w aw 0. 10. B9, B12［2013 ?安徽卷］若函數(shù) f(x) =x3+ax2+bx+c 有極值點 xi, x2,且 f(x i)= xi,則關(guān)于x的方程3(f(x)) 2+2af(x) +b=0的不同實根個數(shù)是( ) A. 3 B . 4 10. A ［解析］因為 f ' (x) =

51、 3x2+2ax + b, 3(f(x)) 2+2af(x) +b=0 且 3x2+2ax+b = 0 的兩根分別為xi, x2,所以f(x) = xi或f(x) =x2, 當xi是極大值點時，f(x i) =xi, x2為極小值點，且 =xi有兩個實根，f(x) =x2有一個實根，故方程 3(f(x)) x2>xi,如圖(i)所示，可知方程 f(x) 2+2af(x) +b=0共有3個不同實根; 當xi是極小值點時，f(x i) =xi, x2為極大值點，且 =xi有兩個實根，f(x) =x2有一個實根，故方程 3(f(x)) x2<xi,如圖(2)所示，可知方程

52、f(x) 2 + 2af(x) +b=0共有3個不同實根; 綜合以上可知，方程 3(f(x)) 2+2af(x) +b=0 共有 3個不同實根. ⑴ ② 8.B9［20i3 ?安徽卷］函數(shù)y=f(x)的圖像如圖i — 2所示，在區(qū)間［a , b］上可找到n(n >2) 個不同的數(shù)xi, x2, f (xi) f (x2) f (xn …，xn,使信則n的取值氾圍正( A. {3 , 4} B . {2 , 3, 4} C. {3,4,5} D . {2, 3} 8. B ［解析］問題等價于直線 y=kx與函數(shù)y = f(x)圖像的交點個數(shù)，從圖中可以

53、看出 交點個數(shù)可以為2, 3, 4,故n的取值范圍是{2 ,3,4}. 5. B5, B9［2013 ?湖南卷］函數(shù)f(x) = 2ln x的圖像與函數(shù)g(x) =x2—4x+5的圖像的交 點個數(shù)為( ) A. 3 B . 2 C . 1 D . 0 5. B ［解析］法一：作出函數(shù) f(x) =2ln x , g(x) = x2—4x +5的圖像如圖： 可知，其交點個數(shù)為 2,選B. 法二：也可以采用數(shù)值法： x 1 2 4 f(x) = 2ln x 0 2ln 2 =1n 4>1 In 4 2<5 2 g(x) =x — 4x+ 5 2

54、 1 5 可知它們有2個交點，選B. 21. B9、B12[2013 ?山東卷]設(shè)函數(shù) f(x)=與+c(e = 2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù), e cC R). (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間、最大值； (2)討論關(guān)于x的方程11n x| =f(x)根的個數(shù). 21.解：(1)f ' (x) = (1 — 2x)e 2x. 1 由 f ' (x) = 0,解得 x=2, 1 當x<2時，f ' (x)>0 , f(x)單調(diào)遞增； 1 . 當x>2時，f (x)<0 , f(x)單倜遞減. 1 1 1 1 所

55、以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是一8, 2,單調(diào)遞減區(qū)間是+OO,最大值為f !=- e1+ c. (2)令 g(x) = |lnx| — f(x) = |lnx| — xe 2x— c, xC(0, +8). e?x ①當 xC(1, +x)時)lnx>0 ,貝 U g(x) = lnx -xe 2x- c,所以 g' (x) = e-2x—+2x—1. x 2x 因為 2x- 1>0, —>0,所以 g' (x)>0. x 因此g(x)在(1 , + 8)上單調(diào)遞增. ②當 xC(0, 1)時，lnx<0 ,則 g(x) =—l

56、nx — xe 2x— c, 2x 所以 g' (x) = e-2x-^-+ 2x —1. x 2x 因為 e2x€ (1 , e2), e2x>1>x>0,所以一 之<—1. x 又 2x — 1<1 2x e 所以 F2x—1<0,即 g (x)<0. x 因此g(x)在(0 ,1)上單調(diào)遞減. 綜合①②可知，當 xC(0, +8)時，g(x)>g(i)=— e 2-c. 當g(1) = - e 2- c>0,即c<—e「2時，g(x)沒有零點，故關(guān)于 x的方程11nxi =f(x)根的 個數(shù)為0;

57、 當g(1) = - e 2-c= 0,即c= —e-2時，g(x)只有一個零點，故關(guān)于x的方程11nxi = f(x) 根的個數(shù)為1; 當 g(1) = — e 2 —c<0,即 c>—e-2時， (i )當 x € (1 ,)時，由(i)知 g(x) = 1nx — xe 2x —c> Inx — ；e 1 + c>lnx — 1 — c, 要使 g(x)>0 ,只需使 Inx - 1 - c>0,即 xC(e1+c, +0°)； (ii)當 x € (0 , 1)時，由(1)知 g(x) = — Inx — xe 2x —c>

58、— Inx — 2e 1+ c> — Inx — 1 — c, 要使 g(x)>0 ,只需一Inx — 1 — c>0,即 x C (0 , e 1c); 所以c> —e-2時，g(x)有兩個零點， 故關(guān)于x的方程|lnx| =f(x)根的個數(shù)為2. 綜上所述， 當c< —e「2時，關(guān)于x的方程|lnx| = f(x)根的個數(shù)為0; 當c=—e-2時，關(guān)于x的方程|lnx| =f(x)根的個數(shù)為1; 當c> —e-2時，關(guān)于x的方程|lnx| = f(x)根的個數(shù)為2. x2+2x+a, x<0, 21 . B3, B9, B12[2

59、013 ?四川卷]已知函數(shù)f(x) =" 其中a是實數(shù).設(shè) |lnx , x>0, A(x1, f(x 1)), B(x2, f(x 2))為該函數(shù)圖像上的兩點，且 x1<x2. (1)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若函數(shù)f(x)的圖像在點 A, B處的切線互相垂直，且 x2<0,求x2 —x1的最小值； (3)若函數(shù)f(x)的圖像在點A, B處的切線重合，求 a的取值范圍. 22 .解：(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(—8, — 1),單調(diào)遞增區(qū)間為[—1, 0), (0, + °0). (2)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知， 點A處的切

60、線斜率為f ' (x 1),點B處的切線斜率為f ' (x 2), 故當點A處的切線與點 B處的切線垂直時，有 f ' (x 1)f ' (x 2)=— 1. 當x<0時，對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f ' (x) = 2x+ 2. 因為 x1<x2<0,所以，(2x1 + 2)(2x 2+2) = - 1, 所以 2x1+2<0, 2x2+2>0. 1 因此 x2-x1 = 2[ - (2x 1+2)+ 2x2+2] > 也-(2x1 + 2) ](2x2+2)= 1, 一 3 1 ... 一 . 當且僅當

61、一 (2x 1+ 2) = 2x2+ 2= 1,即x1 = — 2且*2= — 3時等3成立. 所以，函數(shù)f(x)的圖像在點A, B處的切線互相垂直時，x2— x1的最小值為1. (3)當 x1<x2<0 或 x2>x1>0 時，f ' (x 1) (x 2),故 x1<0<x2. 當x1<0時，函數(shù)f(x)的圖像在點(x 1, f(x 1))處的切線方程為 , 2 y — (x i+2xi+a) = (2x i+2)(x — xi), 2 即 y = (2x i + 2)x — xi + a. 當x2>0時，函數(shù)f(x)的

62、圖像在點(x2, f(x 2))處的切線方程為 y — ln x 2= x(x —x2), 即 y= — ? x+ In x 2— 1. 兩切線重合的充要條件是 —=2xi+ 2,① x2 Jn x 2 — 1 = — xi + a.② 由①及 xi<0<x2,知一1<xi<0. ，一一 o 1 o 由①②伶，a= x1 + ln 2—2jZ~2 —1=x1 一 ln(2x 1 + 2) — 1. 設(shè) h(x 1) = x2— ln(2x 1 + 2) — 1( — 1<x1<0), 1 則 h' (x 1) = 2x1 —x^&l

63、t;0. 所以，h(x 1)( — 1<x1<0)是減函數(shù). 則 h(x 1)>h(0) =- In 2 -1, 所以 a>— In 2 — 1. 又當x1C( —1, 0)且趨近于一1時，h(x。無限增大， 所以a的取值范圍是(一ln 2 -1, +8). 故當函數(shù)f(x)的圖像在點A, B處的切線重合時，a的取值范圍是(一ln 2 —1,十^). 7. B9[2013 ?天津卷]函數(shù)f(x) =2x|log o.5x| -1的零點個數(shù)為( ) A. 1 B . 2 C . 3 D . 4 x 2xlog 0.5 x - 1, 0<x<

64、1, 7 . B [解析]f(x) = 2 110g 0.5 x| — 1 ={ 彳 3 = —2 log 0.5 x — 1, x>1 —2xlog 2 x — 1, 0<x< 1, pxlog 2 x — 1, x>1. ???f(x) =- 2xlog 2x-1在(0, 1]上遞減且x接近于0時，f(x)接近于正無窮大，f(1)=- 1<0, f(x)在(0, 1]上有一零點；又?「f(x) = 2xlog 2x-1 在(1 , +8)上遞增，且 f(2) =22 Xlog2 2-1 = 3>0, .-.f(x)在(1 , +8)上有一零點.故

65、 f(x)共有 2 個零點. B10函數(shù)模型及其應(yīng)用 10. B10[2013 ?陜西卷]設(shè)岡 表示不大于x的最大整數(shù)，則對任意實數(shù) x, v,有( ) A. [ -x] =- [x] B . [2x] =2[x] C. [x +y] w [ x] + [y] D . [x -y] <[x] - [y] 10. D [解析]可取特值 x=3.5,則[―x]=[—3.5] =-4, — [x] =—[3.5] =—3,故 A錯.[2x] =[7] =7, 2[x] =2[3.5] =6,故 B錯.再取 y=3.8 ,則[x + y] = [7.3] =7,而[3.5] + [3.

66、8] =3+3=6,故C錯.只有 D正確. 6. B10[2013 ?重慶卷]若 avbv c,則函數(shù) f(x) = (x — a)(x — b) + (x — b)(x — c) + (x — c)(x —a)的兩個零點分別位于區(qū)間( ) A. (a, b)和(b, c)內(nèi) B . (一, a)和(a, b)內(nèi) C. (b , c)和(c , + 00 )內(nèi) d . ( —00, a)和(c , + 8)內(nèi) 6. A [解析]因為 f(a) =(a—b)(a -c) >0, f(b) = (b - c)(b —a)<0, f(c) =(c—a)(c -b) >0

67、,所以f(a)f(b) <0, f(b)f(c) <0,所以函數(shù)的兩個零點分別在 (a, b)和(b, c)內(nèi)， 故選A. B11導(dǎo)數(shù)及其運算 11. B9, B11［2013 ?新課標全國卷I］已知函數(shù)f(x) —x2+ 2x, x< 0, 若 ln (x+1) , x>0. |f(x)| >ax,則a的取值范圍是( ) A. (—8, 0] B . (—00, 1] C. [—2, 1] D . [-2, 0] 11. D 立，x<0時, ［解析］方法一：若 x<0, |f(x)| 不等式可變?yōu)? =| — x

68、+ 2x| = x — 2x a>x- 2,而 x一2<一2,可得 a>- 2; x = 0時，不等式恒成 若x>0 |f(x)| = |ln(x + 1)| = ln(x +1),由 ln(x +1) >ax,可得 in (x+1) 、 H-x一，區(qū)成立, 令 h(x) in (x+1) x 則 h' (x)= x TT7 —ln(x+1) x ,再令g(x) x 力-ln(x +1),則 g' (x) -x (x+ 1) 故g(x)在(0 , +8)上單調(diào)遞減，所以g(x)<g(0) =0,可得h&

69、#39; (x) (x+ 1) 2 x 所以 h(x)>0 , <0,故h(x)在(0 , +°°)上單調(diào)遞減，x— + 8時, aW0.綜上可知，—2WaW0,故選 D. h(x) -0, 方法二：數(shù)形結(jié)合：畫出函數(shù) |f(x)| y = ax的圖像，如下圖, y=x2—2x, x<0在原點處 要使|f(x)| > ax恒成立，只要使直線 y= ax的斜率最小時與函數(shù) 的切線斜率相等即可，最大時與 x軸的斜率相等即可， 因為 v'

70、= 2x-2,所以 y' I x=0=- 2,所以一2WaW0. 10. B11［2013 ?廣東卷］若曲線y=kx+ln x 在點(1 , k)處的切線平行于 x軸，則k= x=1=k + 1 = 0,故 k = —1. 10. — 1 [解析].y，= k + 1, ?.y，I x =2. 13. B1, B11[2013 ?江西卷] 13.2 [解析]f(e x) x =x + e 18. B11, B12[2013 ?北京卷 設(shè)函數(shù)f(x)在(0 , +°°)內(nèi)可導(dǎo)，且f(e 利用換元法可得f(x) =

71、ln x+x,f' (x) x. )=x+ex,則 f，(1) 1 一 =7+1,所以f ' (1) x ］設(shè)L為曲線C: y = 9二在點(1, 0)處的切線. x (1)求L的方程； (2)證明：除切點(1 18.解:⑴設(shè)f(x) ,0)之外，曲線C在直線L的下方. In x 1 — ln x =匚一，則 f' (x) = 17 1. x x 所以 f' (1) = 1. 所以L的方程為y = x-1. (2)令g(x) =x- 1 -f(x),則除切點之外，曲線 C在直線L的下方等價于 g(x)>0( x>0, xw1). g(x)滿足 g(1) =0,且 g，(x) = 1—f ' (x)= x2— 1 + ln x 當 0<x<1 時，x2- 1<0 故g(x)單調(diào)遞減； 當 x>1 時，x2 —1>0, 故g(x)單調(diào)遞增. 所以 g(x)>g(1) =0( 所以除切點之外，曲線 2 . x In x<0 ,所以 g' (x)<0