三年高考(2014-2016)數(shù)學(理)真題分項版解析——專題12概率與統(tǒng)計

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1、三年高考（2014-2016 ）數(shù)學（理）試題分項版解析 第十二章概率與統(tǒng)計 一、選擇題 1.12016高考新課標1卷】某公司的班車在 7:00,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間 到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過 10分鐘的概率是 /八、1 1 2 3 （A）3 ⑻ 2 3 （D） 4 【答案】B 試題分析1如圖所示.畫出限電： 7:30 7:40 7:50 8:00 8:10 8:20 8:30 - * ? ? ? ? A C D B 小明到達的時間會隨機的落在圖中線段命中，而當他的到達^間落在名肄殳或刀上時，才能

2、保證他等車篦 時間不超過1。分鐘根據(jù)幾何概型，所求概率尹■智 ?；.故選B. |■ 考點：幾何概型 【名師點睛】這是全國卷首次考查幾何概型 ，求解幾何概型問題的關(guān)鍵是確定 測度”，常見的 測度有：長度、面積、體積等 . 2.12014高考廣東卷.理.6】已知某地區(qū)中小學生人數(shù)和近視情況分別如圖 1和如圖2所 示，為了了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因， 用分層抽樣的方法抽取 2%的學生進行調(diào)查， 則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為 （） A.200, 20 B.100, 20 C200, 10 D.100, 10 【答案】A 【解析】由題意知，樣本容

3、量為 3500 4500 2000 2% 200,其中高中生人數(shù)為 2000 2% 40, 高中生的近視人數(shù)為 40 50% 20,故選A. 【考點定位】本題考查分層抽樣與統(tǒng)計圖，屬于中等題 ^ 【名師點晴】本題主要考查的是分層抽樣和統(tǒng)計圖， 屬于中等題.解題時要抓住關(guān)鍵字眼“樣 本容量”，否則很容易出現(xiàn)錯誤.解本題需要掌握的知識點是分層抽樣，即 抽取比例 樣本容量 總體容量 3.12016高考新課標3理數(shù)】某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中 月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖.圖中 A點表示十月的平均最高氣溫約為 15 C, B點表示四月的

4、平均最低氣溫約為 5 C .下面敘述不正確的是( (A)各月的平均最低氣溫都在 0 C以上 (B) 七月的平均溫差比一月的平均溫差大 (C)三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 (D) 平均氣溫高于20 C的月份有5個 【答案】D 【解析】 試題分析；由圖可知游虛^框內(nèi),所以各月的平均最＜氣溫都在。七以上；以正確5由圖可在七月的 平i好曷差大于C,而一月的平均溫差小于7.5。。，所以七月的平均溫差比一月的平t方昌差大〉正確) 由圖可知三月和十一月的平均最高氣溫都大約在S吧,基本相同j C正確J由圖可失呼均最蒿氣溫高于20七 的月份有3個或2個?所以不正確.故送D. 考點：

5、1、平均數(shù)；2、統(tǒng)計圖. 【易錯警示】解答本題時易錯可能有兩種: (1)對圖形中的線條認識不明確，不知所措，只 覺得是兩把雨傘重疊在一起，找不到解決問題的方法; 選B. (2)估計平均溫差時易出現(xiàn)錯誤，錯 4.12015高考廣東，理4】袋中共有 15個除了顏色外完全相同的球，其中有 10個白球，5 個紅球。從袋中任取 2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為( A. 1 11 B.— 21 10 C.— 21 5 D.— 21 【解析】從袋中任取2個球共有C； 1 1

6、 105種，其中恰好1個白球1個紅球共有CwC； 50種, 所以從袋中任取的 2個球恰好1個白球1個紅球的概率為 也 =10 ,故選B . 105 21 【考點定位】排列組合，古典概率. 【名師點睛】本題主要考查排列組合，古典概率的計算和轉(zhuǎn)化與化歸思想應用、 運算求解能 力，解答此題關(guān)鍵在于理解所取 2球恰好1個白球1個紅球即是分步在白球和紅球各取 1個球 的組合，屬于容易題. 5.12014湖南2】對一個容量為 N的總體抽取容量為 n的樣本，當選取簡單隨機抽樣、 系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為 P1, P2, P3 ,貝 U( )

7、 A. P1 P2 P3 B. P2 P3 P1 C. P1 P3 P2 D. P1 P2 P3 【答案】D 【解析】根據(jù)抽樣調(diào)查的原理可得簡單隨機抽樣 ，分層抽樣，系統(tǒng)抽樣都必須滿足每個個體被 抽到的概率相等，即P1 P2 P3,故選D. 【考點定位】抽樣調(diào)查 【名師點睛】本題主要考查了簡單隨機抽樣 ，分層抽樣，系統(tǒng)抽樣，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)抽 樣的原理進行具體分析求得對應概率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題目 ^ 6.12016高考山東理數(shù)】某高校調(diào)查了 200名學生每周的自習時間(單位：小時) ，制成 了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是 [17.5, 30],樣本數(shù)據(jù)

8、分組為[17.5, 20), [20, 22.5), [22.5,25), [25, 27.5), [27.5 , 30).根據(jù)直方圖,這 200 名學生中每周的 自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是( (A) 56 (B) 60 (C) 120 (D) 140 顏率 【解析】 試題分析:由頻率分布直方國知,自習時間不少于22.5小時為后三組,有 200x（0.16+ 0.08 + 0.04>2.5 = 140 （大3 選D 考點：頻率分布直方圖 【名師點睛】本題主要考查頻率分布直方圖，是一道基礎(chǔ)題目 .從歷年高考題目看，圖表題 已是屢見不鮮，作為一道應用

9、題，考查考生的視圖、用圖能力，以及應用數(shù)學解決實際問題 的能力. 7.12015高考山東，理8】已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布N 0,32 , 從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間（ 3,6）內(nèi)的概率為（ ） 68.26% , （附：若隨機變量 朗艮從正態(tài)分布 N , 2 ，則P P 2 2 95.44%。) (A) 4.56% (B) 13.59% (C) 27.18% (D) 31.74% 【解析】用表示 零件的長度，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)得: B. 2P 6 0.9544 0.6826 0.1359,故選 【考點定位】正態(tài)

10、分布的概念與正態(tài)密度曲線的性質(zhì) 【名師點睛】 本題考查了正態(tài)分布的有關(guān)概念與運算, 重點考查了正態(tài)密度曲線的性質(zhì)以及 如何利用正態(tài)密度曲線求概率， 意在考查學生對正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)的理解及基本的運算 能力. 8.12014山東.理7】為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志 愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17], 將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組, ,第五組，右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù) 制成的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有 20人，第三組中沒有療效的有 6人

11、，則 第三組中有療效的人數(shù)為( ) 【答案】C 【解析】由圖知，樣本總數(shù)為 N 50.設(shè)第三組中有療效的人數(shù)為 0.16 0.24 0.36,x 12,故選 C. 【名師點睛】本題考查頻率分布直方圖及頻率組距等概念，解答本題的關(guān)鍵，是理解概念, 細心計算. 本題屬于基礎(chǔ)題，在考查概念的同時，考查考生識圖用圖的能力，是近幾年高考常見題型 9.12016高考新課標2理數(shù)】從區(qū)間0,1 隨機抽取2n個數(shù)x1, x2,…，xn, y1 y2，…， yn,構(gòu)成n個數(shù)對。必，x2,y2 , xn,yn ,其中兩數(shù)的平方和小于 1 的數(shù)對共 有m個，則用隨機模擬的方法

12、得到的圓周率 的近似值為 / a、 4n (A (B)空 (O 4m (D) 2m  【答案】C 【解析】 試題分析：利用幾何概型，圓形的面積和正方形的面積比為 R2 4R2 4m . .選 C. n 考點：幾何概型. 【名師點睛】求解與面積有關(guān)的幾何概型時， 關(guān)鍵是弄清某事件對應的面積， 必要時可根據(jù) 題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解. 10.12015高考陜西，理2】某中學初中部共有 110名教師，高中部共有 150名教師，其 性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為 B. 137 C.

13、123 D. 93 A. 167 【解析】該校女老師的人數(shù)是 110 70% 150 1 60% 137,故選B. 【考點定位】扇形圖. 【名師點晴】本題主要考查的是扇形圖， 屬于容易題.解題時一定要抓住重要字眼 “女教師”， 否則很容易出現(xiàn)錯誤. 扇形統(tǒng)計圖是用整個圓表示總數(shù)， 用圓內(nèi)各個扇形的大小表示各部分 數(shù)量占總數(shù)的百分數(shù).通過扇形圖可以很清晰地表示各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系. 11.【2016年高考北京理數(shù)】袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半 .甲、乙、丙 是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就 將另一個球

14、放入乙盒，否則就放入丙盒 .重復上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則 () A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 【答案】C D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多 "iWj 1 1 試題分析：若乙盤中放入的是紅球」則須保證抽到的兩個均是紅球3若乙盒中放入的是黑球，則須保證抽 到的兩個球是一紅一黑，旦紅球放入甲盒?若丙盒中放入的是紅球，則須保證撞到的兩個球是一紅一姆： 后勘搬入甲盒j若丙盒中放入的是黑序 則須保證抽到的酉個球都是黑球由干抽到的兩個球是紅/ 和照球的次數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)無法濕，故而掙?癥乙蠢和丙蔗中號色球的大d

15、蜜系.，而抽到兩個紅球的 次數(shù)與抽到兩個黑球的;我啦是相等的.故選cl ■ ■ ■ 考點：概率統(tǒng)計分析. 【名師點睛】本題將小球與概率知識結(jié)合，創(chuàng)新味十足，是能力立意的好題 .如果所求事件 對應的基本事件有多種可能，那么一般我們通過逐一列舉計數(shù)，再求概率，此題即是如此 列舉的關(guān)鍵是要有序（有規(guī)律），從而確保不重不漏.另外注意對立事件概率公式的應用 12.12014高考陜西版理第6題】從正方形四個頂點及其中心這 5個點中，任取2個點, 則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為（ A.1 5 B.2 5 c.3 d.4 5 5 【解析】 試題

16、分析：從正方形四個頂點及其中心這 5個點中，任取2個點，共有C； 10條線段，A, 2 B, C, D四點中任意2點的連線段都不小于該正方形邊長，共有 C4 6,所以這2個點 6 3 的距離不小于該正萬形邊長的概率 P - ，故選C 10 5 考點：古典概型及其概率計算公式 . 【名師點晴】本題主要考查的是古典概型及其概率計算公式 .，屬于中檔題.解題時要準確 理解題意由“ 5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長”.利用排列 組合有關(guān)知識，正確得到基本事件數(shù)和所研究事件所包含事件數(shù). 從而得到所求事件的概率 13.12014高考陜西版理第9題】設(shè)樣本數(shù)

17、據(jù)X1,X2,L ,X1o的均值和方差分別為1和4, 若yi Xi a ( a為非零常數(shù), 1,2,L ,10) 則y1，y2,L y10的均值和方差分別為() (A) 1+a,4 (B) a,4 a (C) 1,4 (D) 1,4+a 試題分析: (X1 1)2 y1，y2, l 均值y 由題得: Xi X2 X10 10 10； (X2 1)2 L (Xio 1)2 10 4 40 y10的均值和方差分別為: y1 V2 %0 10 (X1 a) (X2 a) (Xio a) (x1 X2 X10) 10a 10 10 10 1

18、0a / 1 a 10 2 2 方差(y〔 y) (y2 y) (y〔o y)2 10 [(X1 a) (1 a)]2 [(X2 a) (1 a)]2 [(X10 a) (1 a)]2 10 2 2 2 (X1 1) (X2 1) L (X10 1) 10 40 4 10 故選A 考點：均值和方差. 【名師點晴】本題主要考查的是樣本的均值和方差等知識， 屬于中檔題；解題時可以根據(jù)均 值和方差的定義去計算，也可以直接利用已知的結(jié)論或公式得到結(jié)果, 利用定義時運算量大, 也容易出現(xiàn)不必要的錯誤。 14. 【2015高考陜西，理11】設(shè)復數(shù)z (X 1)

19、yi (x, y R), 概率為 D.—— 2 【答案】B 2 1 (X 1)2 【解析】z (x 1) yi | z| , (x 1)2 y2 1 c 1 1 如圖可求得 A（1,1）, B（1,0）,陰影面積等于 - 12 - 1 1 - - 4 2 4 2 - 若|z| 1 ,則y x的概率是——2 1 —,故選B

20、. 12 4 2 【考點定位】1、復數(shù)的模；2、幾何概型. 【名師點晴】本題主要考查的是復數(shù)的模和幾何概型，屬于中檔題.解幾何概型的試題, 般先求出實驗的基本事件構(gòu)成的區(qū)域長度 （面積或體積），再求出事件 構(gòu)成的區(qū)域長度（面 積或體積），最后代入幾何概型的概率公式即可.解本題需要掌握的知識點是復數(shù)的模和幾 何概型的概率公式，即若 z a bi （ a、b R ）,則z 4a~b2 ,幾何概型的概率公 構(gòu)成事件的區(qū)域長度面積或體積 試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度~~面積或體積 15.12014新課標，理5】某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率 是0.75,連續(xù)

21、兩天為優(yōu)良的概率是 0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì) 量為優(yōu)良的概率是（ ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 【答案】A 【解析】設(shè)A= "某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良” D. 0.45 ,B= "隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，則 P(B|A) P(A B) P(A) 0.6 0.75 0.8 ,故選A. 【考點定位】條件概率 【名師點睛】本題主要考查了條件概率公式, 本題屬于基礎(chǔ)題，解決本題的關(guān)健在于理解事 件之間的關(guān)系，注意題目是求的一個條件概率 16.12015高考新課標2,理3】根據(jù)下面給出的200

22、4年至2013年我國二氧化硫排放量 （單 位：萬噸）柱形圖。以下結(jié)論不正確的是 （ MKT* ”酗阜 如才事口北 甲 工口，牙3010SF期11下 比以坪2013 L Cerce r. u *u _D n. nu D n. z?3 N r n 白01 A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B. 2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn) C. 2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 D. 2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) 【答案】D 【解析】由柱形圖得，從 2006年以來，我國二氧化硫排放量呈下降趨勢，故年排放量與年 份負相關(guān)，故選 D

23、. 【考點定位】正、負相關(guān). 【名師點睛】 本題以實際背景考查回歸分析中的正、 負相關(guān)，利用增長趨勢或下降趨勢理解 正負相關(guān)的概念是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題. 17.12014課標I,理5】4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則 周六、周日都有同學參加公益活動的概率為( ) ■【解析】由已知，4位同學含自在周六、周日兩天中心選一天三加公益活動共有丁二16種不同的結(jié)果，而. 周六、周日都有同學譽加公益活動有兩類不同的情況：門人，另一天三大，有C：6=種不同的 翥果j (2)周六、日各2%有C： = 6種不同的結(jié)果，故周六.周日都有同學爹加公益活動有8+6 = 14種.

24、 不同的結(jié)果3折以周六、周日都有同學叁加公顯活動的概率為 =2,選D- 16 2 【考點定位】1、排列和組合；2、古典概型的概率計算公式. 【名師點睛】 本題考查古典概型， 是一個古典概型與排列組合結(jié)合的問題， 解題時先要判斷 該概率模型是不是古典概型，再要找出隨機事件 A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事 件的總數(shù). 18.12015高考新課標1,理4】投籃測試中，每人投 3次，至少投中2次才能通過測試。 已知某同學每次投籃投中的概率為 0.6,且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試 的概率為() (A) 0.648 (B) 0.432 (C) 0.36 (D) 0.

25、312 【答案】A 【解析】根據(jù)獨立重復試驗公式得，該同學通過測試的概率為 C：20.62 0.4 0.63=0.648, 故選A. 【考點定位】本題主要考查獨立重復試驗的概率公式與互斥事件和概率公式 【名師點睛】解答本題時，先想到所求事件是恰好中 3次與恰好中2次兩個互斥事件的和， 而這兩個事件又是實驗 3次恰好分別發(fā)生3次和2次的獨立重復試驗，本題很好考查了學生 對獨立重復試驗和互斥事件的理解和公式的記憶與靈活運用， 是基礎(chǔ)題，正確分析概率類型、 靈活運用概率公式是解本題的關(guān)鍵 . 19. 【2014年.浙江卷.理9】.已知甲盒中僅有1 個球且為紅球，乙盒中有

26、 m個紅球和n個 籃球 3,n 3 ,從乙盒中隨機抽取i i 1,2 個球放入甲盒中 (a) 放入 i個球后, 甲盒中含有紅球的個數(shù)記為 (b) 放入 i個球后, 從甲盒中取 1個球是紅球的概率記為 Pi 1,2 A. Pi P2, E B. Pi P2,E C. P1 P2,E D. Pi P2,E 答案: 解析: 2m n Pi mn P2 2 2 3m 3m 2mn n 2m n Pi P2 2 m n 2 2 3m 3m

27、 2mn n 3 2m n m n 1 2 2 2 3m 3m 2mn n n 5mn n n 1 P2, 2m n 2 m n n 1 / 2m n E 1 0 1 - 2 2 , 3m 3m 2mn n n 1 3 m n m n 1 m n 2 2 m n mn 2 n n 1 1 m n m n 1 3 m n m n 1 3 2 2 由上面比較可知 3m 3m 2mn n n 5 3 m n m n 1 考點：獨立事件的概率，數(shù)學期望. 【名師點睛】求離散型隨機變量均值的步驟： （1）理解隨機變量X的意義，寫出X可能取得

28、 的全部值；（2）求X的每個值的概率；（3）寫出X的分布列；（4）由均值定義求出 E（X）.利用均 值、方差進行決策：均值能夠反映隨機變量取值的“平均水平”，因此，當均值不同時，兩 個隨機變量取值的水平可見分曉， 由此可對實際問題作出決策判斷； 若兩隨機變量均值相同 或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度， 進而進 行決策. 【名師點睛】本題考查了莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)等概念及公式，屬于基礎(chǔ)題，注意計算的 準確性. 20.12014高考重慶理第 3題】已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù) x 3, y 3.5,則由該觀測的數(shù)據(jù)算得的線性

29、回歸方程可能是 （ ） A$ 0.4x 2.3 B.$ 2x 2.4 C.y 2x 9.5 C.y 0.3x 4.4 【答案】A 【解析】 試題分析：因為變量與正相關(guān)，所以排除選項，又因為回歸直線必過樣本中心點 3,3.5 , 代入檢驗知，只有直線 y 0.4x 2.3過點3,3.5 ,故選A. 考點：1、變量相關(guān)性的概念；2、回歸直線. 【名師點睛】本題考查了兩個變量間的相關(guān)關(guān)系， 正相關(guān)，回歸直線的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ) 題，利用回歸直線方程必過樣本中心點，又知兩相關(guān)變量是正相關(guān)關(guān)系即可作答 ^ 21.12015高考重慶，理3】重慶市2013年各月的平均氣溫（C）數(shù)據(jù)的莖葉

30、圖如下： 0 1 2 3 8 2 0 1 A、19 B、20 C、21.5 D、23 9 5 8 0 3 2 則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ） 【答案】B. 【解析】從莖葉圖知所有數(shù)據(jù)為 8, 9, 12, 15, 18, 20, 20, 23, 23, 28, 31, 32,中間 兩個數(shù)為20, 20,故中位數(shù)為20,選B.. 【考點定位】本題考查莖葉圖的認識，考查中位數(shù)的概念 【名師點晴】 本題通過考查莖葉圖的知識, 考查樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征， 考查學生的數(shù)據(jù)處理 能力. 22.12015高考安徽，理6】若樣本數(shù)據(jù)X1, x2,

31、,X10的標準差為8 ,則數(shù)據(jù)2X1 1, 2X2 1 , , 2X10 1的標準差為（ ） （A） 8 【答案】C (B) 15 (C) 16 (D) 32 【解析】設(shè)樣本數(shù)據(jù)X1 , X2 , ,X10的標準差為 JDX ,則JDX 8 ,即方差DX 64, 而數(shù)據(jù) 2X1 1, 2X2 1, 2 _ _ 2 ,2X10 1的方差D(2X 1) 2 DX 2 64,所以其標準 差為/2 64 16 .故選C. 【考點定位】1.樣本的方差與標準差的應用 【名師點睛】已知隨機變量 X的均值、方差，求 X的線性函數(shù)Y aX b的均值、方差和

32、 標準差，可直接用 X的均值、方差的性質(zhì)求解.若隨機變量X的均值EX、方差DX、標準 差JDX,則數(shù)Y aX b的均值aEX b、方差a2DX、標準差aJDX. 得到的回歸方程為 ? bX a ,則（ 23.12014湖北卷4】根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù) X 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0 3.0 )  A. a 0 , b 0 B. a 0 , b 0 C. a 0 , b 0 D. a 0 , b 0 【答案】B 【解析】 試題分析：依題意，畫散點圖知，兩個變量負相關(guān)，所以 b 0, a 0.選B. 耳* ■

33、圍 考點：已知樣本數(shù)判斷線性回歸方程中的 b與a的符號，容易題. 【名師點睛】以散點表格為載體， 重點考查線性回歸方程， 其出題角度新穎別致， 獨居匠心, 充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學解題中重要性和實用性， 能較好的考查學生準確作圖能力 和靈活運用基礎(chǔ)知識解決實際問題的能力 . 米谷粒分”題：糧倉開倉 254粒內(nèi)夾谷28粒，則這 24.12015高考湖北，理2】我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》有 收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得 批米內(nèi)夾谷約為( ) A. 134 石 B. 169 石 C. 338 石 D. 1365 石

34、【解析】依題意，這批米內(nèi)夾谷約為 28 254 1534 169 石，選 B. 【考點定位】用樣本估計總體 【名師點睛】《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學專著, 是算經(jīng)十書中最重要的一種 .該書內(nèi) 容十分豐富，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就 .本題 “米谷粒分”是我們統(tǒng)計中的 用樣本估計總體問題. 25.12015高考湖北，理4】設(shè)X:N(1, 12), Y： N( 2, 22),這兩個正態(tài)分布密度曲 線如圖所示.下列結(jié)論中正確的是( A. P(Y 2) P(Y 1) ) B. P(X 2) P(X 1) C.對任意正數(shù)t ,

35、 P(X t) P(Y t) D.對任意正數(shù)t , P(X t) P(Y t) 【答案】C 解析】由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)可知，XTW 4）： "S 團限度阻盼別關(guān)干工=必、>=若 對稱，因此給合所給圖象可將科（外旦彳■"（% 咕的密度曲繚V4》的密度曲線四落，而 以。<%p（y

36、I］」 o■越 26.12015高考湖北，理 的概率，P2為事件|x y| A. R P2 P3 C. P3 Pl P2 7】在區(qū)間［0, 1］上隨機取兩個數(shù) 1 1 1”的概率，P3為事件xy 一 2 2 B. P2 D. P3 1 x, y ,記P1為事件x y - 2 的概率，則 （ ） P3 P1 P2 P1 【答案】B ⑤當一定時，曲線隨著 D科一定時，曲線的形狀由 確定.越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散; 小.曲線越“瘦高”.總體分布越集中.如圖乙所示. 【解析】因為x,y [0,1],對事件x y 1”，如圖（1）陰影部分

37、2 1 一 對事件|x y| 1"，如圖（2）陰影部分S2, 1 對為事件xy 1”，如圖（3）陰影部分S3, 2 由圖知，陰影部分的面積從下到大依次是 S2 S3 S1,正方形的面積為11 1, 根據(jù)幾何概型公式可得 p2 p3 p1. *廣3 Tf 、 | ?或 | -f- （1） （2） （3） 【考點定位】幾何概型. 【名師點睛】對于幾何概型的概率公式中的“測度”要有正確的認識，它只與大小有關(guān)，而 與形狀和位置無關(guān)，在解題時，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概 型的求解方法. 27.12015高考福建，理4】為了解某社區(qū)居民的家庭年收入所年

38、支出的關(guān)系，隨機調(diào)查 了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表: 收入x （萬 元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y （萬 元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 3 ,其中b? 0.763 y 版，據(jù)此估計，該社區(qū)一 根據(jù)上表可得回歸直線方程乎bx 戶收入為15萬元家庭年支出為（ ） A. 11.4萬元 B. 11.8萬元 C. 12.0萬元 D. 12.2 【解析】由已知得 —6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 y （萬元） 萬元 一 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 x

39、 10 5 8 （萬元），故$ 8 0.76 10 0.4 ,所以回歸直線方程 為？ 0.76x 0.4,當社區(qū)一戶收入為 15萬元家庭年支出為 ? 0.76 15 0.4 11.8 (萬 元)，故選B. 【考點定位】線性回歸方程 【名師點睛】本題考查線性回歸方程，要正確利用平均數(shù)公式計算和理解線性回歸方程的意 義，屬于基礎(chǔ)題，要注意計算的準確性. D.該班級男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù) 28 .(2013福建，理4)某校從高一年級學生中隨機抽取部分學生 ，將他們的模塊測試成績分成 6 組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,9

40、0),[90,100] 加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方 圖.已知高一年級共有學生 600名，據(jù)此估計，該模塊測試成績不少于 60分的學生人數(shù)為 ( )? A. 588 B. 480 【解析】由頻率分布直方圖知 40?60分的頻率為(0.005 + 0.015) X 10 0.2,故估計不少于60 分的學生人數(shù)為 600X (卜0.2) = 480. 【名師點睛】本題是基礎(chǔ)題，主要考查頻率分布直方圖及簡單數(shù)據(jù)處理能力和計算問題 ，在這 里特別提醒學生注意：頻率分布直方圖的縱坐標不是頻率 ，而是頻率/組距，每個小矩形的面積 才是相對應的頻率，這一點容易出

41、錯. 29.12015湖南理2】在如圖所示的正方形中隨機投擲 10000個點，則落入陰影部分(曲 線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為( ) A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 附：若 X : N( , 2),則 P( X ) 0.6826 , P( 2 X 2 ) 0.9544  【解析】 1 試題分析：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)， P(0 x 1) -P( 1 x 1) 0.34,故選C. 【考點定位】1.正態(tài)分布；2.幾何概型. 【名師點睛】本題主要考查正態(tài)分布與幾何概型等知識點， 屬于容易題，結(jié)合參考材料中給 出的數(shù)據(jù)，

42、結(jié)合正態(tài)分布曲線的對稱性， 再利用幾何概型即可求解，在復習過程中，亦應關(guān) 注正態(tài)分布等相對冷門的知識點的基本概念 30. 【2015陜西理 11】設(shè)復數(shù)z (x 1) yi (x, y R),若 |z| x的概率為 3 A.一 4 x 1)2 (x 1)2 如圖可求得 A(1,1), B(1,0),陰影面積等于 12 _ 1 若|z| 1 ,則y x的概率是-4-2- 1 12 4 故選 B. 【考點定位】1、復數(shù)的模；2、幾何概型. 【名師點晴】本題主要考查的是復數(shù)的模和幾何概型, 屬于中檔題. 解幾何概型的

43、試題, 般先求出實驗的基本事件構(gòu)成的區(qū)域長度 (面積或體積)，再求出事件 構(gòu)成的區(qū)域長度(面 積或體積)，最后代入幾何概型的概率公式即可.解本題需要掌握的知識點是復數(shù)的模和幾 何概型的概率公式，即若 z a bi （a、b R）,則|z 而b\幾何概型的概率公 式 構(gòu)成事件的區(qū)域長度面積或體積 試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度~~面積或體積. 二、填空題 1.12016高考江蘇卷】將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各個面上分別標有 1, 2, 3, 4, 5, 6個點的正方體玩具） 先后拋擲2次

44、，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于 10的概率是 ▲ . 5 【答案】5. 6 【解析】點數(shù)小于10的基本事件共有30種，所以所求概率為 竺 5. 36 6 考點：古典概型概率 【名師點睛】概率問題的考查，側(cè)重于對古典概型和對立事件的概率考查，屬于簡單題 .江 蘇對古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化計數(shù)方法 .因此先明確所求事件本身的 含義，然后一般利用枚舉法、樹形圖解決計數(shù)問題，而當正面問題比較復雜時，往往采取計 數(shù)其對立事件. 2.【2016年高考四川理數(shù)】同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上 時，就說這次試驗成功，則在 2次試驗中成功次數(shù) X的均值是

45、. 3 【答案】3 2 【解析】 /15分析：同時批押兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能的結(jié)臬有（正正《正反》，《反正H《反反》，所以在1隊 試峨中成功次數(shù)€的取值為0J2,其中丹 = 0》=:，產(chǎn)仁=1）=上汽4=2>=：. 4 2 4 在I次試臉中成功BWt率為式4之D =：十：=：, ■ 4 2 4 ■ 所以在2次試瞼中成功次數(shù)工的it率為式》二1）二C； Y ,汽X=2） =4/=—， 4 4b 4 16 3 9 3 口 父— 8 16 2 ? ■ ? 考點：離散型隨機變量的均值 【名師點睛】本題考查隨機變量的均值（期望） ，根據(jù)期望公式，首先求出隨機變量的所有 n

46、 可能取值X1,X2,L ,Xn ,再求得對應的概率 P（i 1,2,L ,n）,則均值為 XiP . i 1 3.12014江蘇，理4】從1,2,3,6 這四個數(shù)中一次隨機地取 2個數(shù)，則所取兩個數(shù)的乘積 為6的概率為 ^ 1 【答案】1 3 【解析】從1,2,3,6這4個數(shù)中任取2個數(shù)共有C： 6種取法，其中乘積為6的有1,6和2,3 2 1 兩種取法，因此所求概率為 P 2 1. 6 3 【考點定位】古典概型概率 【名師點晴】 求解隨機事件的概率關(guān)鍵是準確計算基本事件數(shù)， 計算的方法有：（1）列舉法； （2）列表法；（3）利用樹狀圖列舉.求復雜的互斥事件的概率

47、一般有兩種方法： 一是直接求解 法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和， 運用互斥事件的求和公式計 算.二是間接求法， 先求此事件的對立事件的概率，再用公式 P A 1 P A ,即運用逆 向思維（正難則反），特別是“至多”，“至少”型題目，用間接求法就顯得較簡便. 4.12014江蘇，理6】某種樹木的底部周長的取值范圍是 90,130 ,它的頻率分布直方 圖如圖所示，則在抽測的 60株樹木中，有 株樹木的底部周長小于 100 cm.. （第6期） 【答案】24 【解析】由題意在抽測的60株樹木中，底部周長小于100cm的株數(shù)為 （0.015 0.02

48、5） 10 60 24 . 【考點定位】頻率分布直方圖. 頻率 【名師點晴】 在頻率分布直方圖中， 縱軸表示而，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形 的面積表示，各小長方形的面積總和等于 1.在頻率分布直方圖中：（1）最高的小長方形底 邊中點的橫坐標即是眾數(shù)； （2）中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的； （3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重 心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和. 5.12015江蘇高考，2】已知一組數(shù)據(jù) 4, 6 5, 8,7, 6,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 4 6 5 8 7 6

49、[解析】X 6 6 【考點定位】平均數(shù) 【名師點晴】樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即 解答此類問題關(guān)鍵為概念 1 一(Xi+X2+...+Xn). n 2 1 清晰，類似概念有樣本方差 s2 — [(X1 n x)2 2 / (X2 X) ... (Xn 2 X)2],標準差 n項，n是樣本容量，x是 (或最中間兩個數(shù)據(jù)的 s J1[(X1 X)2 (X2 X)2 ... (Xn X)2].其中 Xn是樣本數(shù)據(jù)的第 平均數(shù).將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù) 平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù). 6.12015江蘇高考，5】袋中有形狀、大

50、小都相同的 4只球，其中1只白球，1只紅球，2 只黃球，從中一次隨機摸出 2只球，則這2只球顏色不同的概率為 . 6 【解析】從4只球中一次隨機摸出 2只，共有6種摸法，其中兩只球顏色相同的只有 1種, 不同的共有5種，所以其概率為 5. 6 【考點定位】古典概型概率 【名師點晴】求解互斥事件、對立事件的概率問題時，一要先利用條件判斷所給的事件是互 斥事件，還是對立事件； 二要將所求事件的概率轉(zhuǎn)化為互斥事件、 對立事件的概率；三要準 確利用互斥事件、對立事件的概率公式去計算所求事件的概率. 7.12014天津，理9】某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采

51、用 分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為 300的樣本進行調(diào)查.已知該 校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為 4: 5: 5: 6,則應從一年級本科 生中抽取 名學生. 【答案】60. 試題分析：應從一年級抽取 300? 60名. 4+ 5+ 5+ 6 考點：等概型抽樣中的分層抽樣方法. 【名師點睛】本題考查分層抽樣相關(guān)知識，本題屬于基礎(chǔ)題，抽樣方法包括簡單隨機抽樣、 系統(tǒng)抽樣、分層抽樣三種，分層抽樣就是就是按著各層次所占比例抽取樣本， 抽樣方法在高 考題中偶有出現(xiàn)，比較簡單 ，容易得分，深受考生歡迎. 8.12015高考廣東，理13】

52、已知隨機變量 X服從二項分布B n, p ,若E X 30 , D X 20 ,則 p . 1 1 【解析】依題可得E X np 30且D X np 1 p 20,解得p —,故應填入—. 3 3 【考點定位】二項分布的均值和方差應用. 【名師點睛】本題主要考查二項分布的均值和方差應用及運算求解能力， 屬于容易題，解答 此題關(guān)鍵在于理解熟記二項分布的均值和方差公式 E X np , D X np 1 p并運用 其解答實際問題. 9.12016高考江蘇卷】已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,則該組數(shù)據(jù)的方差是 ▲ . 【答案】0.1 【解析】

53、 1 試題分析：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 -(4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.1, 2 1 2 2 2 2 2 S2 — (4.7 5.1)2 (4.8 5.1)2 (5.1 5.1)2 (5.4 5.1)2 (5.5 5.1)2 0.1 .故答 5 案應填：0.1 , 考點：方差 【名師點睛】本題考查的是總體特征數(shù)的估計， 重點考查了方差的計算，本題有一定的計算 量，屬于簡單題.認真梳理統(tǒng)計學的基礎(chǔ)理論，特別是系統(tǒng)抽樣和分層抽樣、頻率分布直方 圖、方差等，針對訓練近幾年的江蘇高考類似考題，直觀了解本考點的考查方式， 強化相關(guān) 計算能力. 10.12016高考山東

54、理數(shù)】在［-1,1］上隨機地取一個數(shù) k,則事件“直線y=kx與圓 （x- 5） + y = 9相交”發(fā)生的概率為 【解析】 試題分析：宜線產(chǎn)斑與圖（x-5）1+/ = 9相交,需要滿足圖心到直線的距離卜于半徑,艮用=-j==^T <3， 3 3 q 3 解得一=tk 而壯［—1』，所以所求概率必與二 4 4 2 4 考點：1.直線與圓的位置關(guān)系；2.幾何概型. 【名師點睛】本題是高考?？贾R內(nèi)容 .本題綜合性較強，具有“無圖考圖”的顯著特點， 幾何概型概率的計算問題，涉及圓心距的計算，與弦長相關(guān)的問題，往往要關(guān)注“圓的特征 直角三角形”，本題能較好的考查考生分析問題解決問

55、題的能力、基本計算能力等 ^ 1 11.【2014年.浙江卷.理12】隨機變量 的取值為0,1,2，若P 0 — , E 1, 答案: 5 1 1 … 3 解析：設(shè) 1時的概率為p,則E 011P 2 1 p 1 1 ,解得p 9 , 5 5 5 拓 2 1 2 3 2 1 2 故 D 0 1 11 - 2 1 -- 5 5 5 5 考點：方差. 【名師點睛】本題主要考查相互獨立事件的概率公式的應用， 解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)所給條 件求解對應事件的概率，然后求方差即可；求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法： （1）利 用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解； （2）正面計

56、算較繁或難以入手時，可從其對立事 件入手計算 12.12016高考上海理數(shù)】某次體檢， 6位同學的身高（單位：米）分別為 1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77 則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 （米）. 【答案】1.76 【解析】試題分析： 將這6位同學的身高按照從矮到高排列為： 1.69,1.72,1.75 , 1.77,1.78 , 1.80 ,這六個數(shù) 的中位數(shù)是1.75與1.77的平均數(shù)，顯然為1.76. 考點：中位數(shù)的概念. 【名師點睛】本題主要考查中位數(shù)的概念，是一道基礎(chǔ)題目 .從歷年高考題目看，涉及統(tǒng)計 的題目，往往不難，主要考查考生的視圖、用圖能

57、力，以及應用數(shù)學解決實際問題的能力 . 13.12014上海,理10】為強化安全意識，某商場擬在未來的連續(xù) 10天中隨機選擇3天 進行緊急疏散演練，則選擇的 3天恰好為連續(xù)3天的概率 是 (結(jié)構(gòu)用最簡分數(shù)表 示). - 1 【答案】- 15 【解析】任意選擇3天共有C30 120種方法，其中3天是連續(xù)3天的選法有8種，故所求 8 1 概率為P ——. 120 15 【考點】古典概型. 【名師點睛】求解排列應用題的主要方法 直接法 把符合條件的排列數(shù)直接列式計算 優(yōu)先法 優(yōu)先安排特殊兀素或特殊位置 捆綁法 把相鄰兀素看作一個整體與其他兀素一起排列，同時注意捆綁兀

58、素的內(nèi)部排列 插空法 對不相鄰問題，先考慮不受限制的兀素的排列，再將不相鄰的兀素插在前面元 素排列的空檔中 先整體 后局部 “小集團”排列問題中先整體后局部 定序問題 除法處理 對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 間接法 正難則反，等價轉(zhuǎn)化的方法 14.12014上海，理13】某游戲的得分為1,2,3,4,5,隨機變量 表示小白玩游戲的得分.若 ()=4.2,則小白得5分的概率至少為 【答案】0.2 【解析】設(shè)省二12345的概率分別為用巴.瑪.耳,長，則由題意有長+2班+3瑪+44+55= 42, 月+居+居+4+尺=1,對于

59、4+ 2為-3耳+4迎，當月越大時,其值越大,又彩《1 ,因此 克42瑪+3J5444M4。一5),所以“1—鳥)454之4一2,解得罵二02. 【考點】隨機變量的均值(數(shù)學期望) ，排序不等式. 【名師點睛】求離散型隨機變量均值的步驟 (1)理解隨機變量X的意義，寫出X可能取得的全部值； (2)求X的每個值的概率； ⑶寫出X的分布列； (4)由均值定義求出 E(X). 15.12014福建，理14】如圖，在邊長為e (e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機撒一粒 一 2 【答案】42 e 【解析】 試題分析：由對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對稱性 ，可得兩塊陰影部分的面積相

60、同 八 1 x x S 2 0(e e )dx 2(ex e ) 0 2.所以落到陰影部分的概率為 P 之. e 考點：1.幾何概型2定積分. 【名師點睛】本題主要考查幾何概型及定積分，幾何概型試題多以客觀題形式出現(xiàn) ,難度不 大.求與面積有關(guān)的幾何概型的概率計算方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為封閉圖形的 面積，然后求解，注意曲邊多邊形的面積常通過定積分來求 16.12015高考福建，理13］如圖，點A的坐標為 1,0 ，點C的坐標為2,4 ,函 數(shù)f x x2 ,若在矩形ABCD 內(nèi)隨機取一點 則此點取自陰影部分的概率等 5 一

61、.一. -.所以此點取自陰影部分的概率 3 5 【答案】— 12 2 7 【解析】由已知得陰影部分面積為 4 x2dx 4 7 1 3 4 12 【考點定位】幾何概型. 【名師點睛】本題考查幾何概型，當實驗結(jié)果由等可能的無限多個結(jié)果組成時， 利用古典概 型求概率顯然是不可能的，可以將所求概率轉(zhuǎn)化為長度的比值 (一個變量)、面積的比值(兩 個變量)、體積的比值(三個變量或根據(jù)實際意義)來求，屬于中檔題. 17.12014遼寧理14】正方形的四個頂點 A( 1, 1),B(1, 1),C(1,1),D( 1,1)分別在拋物 線y x2和y x2上，如圖所示，

62、若將一個質(zhì)點隨機投入正方形 ABCD中，則質(zhì)點落在陰 影區(qū)域的概率是 -I ABCD中，則質(zhì)點落在陰影區(qū)域的 試題分析：有幾何概型可知若將一個質(zhì)點隨機投入正方形 1 2 2 1 x dx 概率P -1 2 2 考點：1.幾何概型；2.定積分. 【名師點睛】本題考查幾何概型、定積分的應用, 解答此類題的關(guān)鍵是理解題意， 準確確定 幾何空間的度量，應用公式計算 本題是一道小綜合題，屬于基礎(chǔ)題， 較全面地考查了幾何概型、定積分等基礎(chǔ)知識，同時考 查考生的計算能力及應用數(shù)學知識，解決實際問題的能力 18.12015湖南理12

63、】在一次馬拉松比賽中， 35名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉 圖如圖所示，若將運動員按成績由好到差編為 1 : 35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取 7人, 則其中成績在區(qū)間［139,151］上的運動員人數(shù)是 13 00345668889 14 11 122233445556678 15 0 1 2 2 3 3 3 【答案】4. 【解析】 試題分析：由莖葉圖可知，在區(qū)間 [139,151]的人數(shù)為20,再由系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)可知人數(shù)為 20 — 4 人. 35 【考點定位】1.系統(tǒng)抽樣；2.莖葉圖. 【名師點睛】 本題主要考查了系統(tǒng)抽樣與莖葉圖的概念， 屬于容易題，高考對統(tǒng)計

64、相關(guān)知識 的考查，重點在于其相關(guān)的基本概念，如中位數(shù)，方差，極差，莖葉圖，回歸直線等，要求 考生在復習時注意對這些方面的理解與記憶 ^ 三、解答題 1.12015江蘇高考，23](本小題滿分10分) 已知集合 X 1,2,3 ,1 1,2,3, ,n(n N*), S0 (a,b) a 整除 b或 b 整除 a, a X,b Yn ,令f(n)表示集合&所含元素的個數(shù). (1)寫出f(6)的值； (2)當n 6時，寫出f(n)的表達式，并用數(shù)學歸納法證明 . n 6t 【答案】⑴13 (2) f n 展,n 6t 1 n n 2 ,n 2 3 6t 2 n

65、 1 n F 3 n n 1 2 "V n 6t 3 n 6t 4 一 ,n 3 6t 5 試題分析：(1)根據(jù)題意按a分類計數(shù)：a 1,b 123,4,5,6; a 2,b 1,2,4,6; a 3,b 1,3,6; 共 13 個(2)由(1)知 a 1,b 1,2,3, L ,n; a 2,b 1,2,4, L ,2 k; * a 3,b 1,3,L ,3k;(k N), 所以當n 6時，f(n)的表達式要按2 3 6除的余數(shù)進行分類, 最后不難利用數(shù)學歸納法 進行證明 試題解析：(1) f 6 13. n 3 ,n 6t

66、 n 6t 1 n 6t 2 (2)當 n 6時，f n n 1 n 2 3 n n 1 2 3 n 6t 3 n 6t 4 ). n 1 n 2 n 2 ,n 6t 5 2 3 卜面用數(shù)學歸納法證明： ①當n 6時，f 6 八 c 6 6 “ 6 2 — — 13,結(jié)論成立; 2 3 ②假設(shè)n k(k 6)時結(jié)論成立，那么n k 1時，Sk1在Sk的基礎(chǔ)上新增加的元素在 1,k 1 , 2,k 1 , 3,k 1中產(chǎn)生，分以下情形討論: --l lr-2 1）若上+1=&, fflA=6（f-l） + 5 ,此時有了（玄+1） = /（元）+3 =兀+2+——+——+3 二（上+1）+2 +勺。+空^ 3結(jié)論成立J 2）若{+1 = 6什1,則而=6小此時有了（七+1） = /（上）+ 1 =上十2+上+t + 1 =（*+1）+2 +」+?T +」？ T ,結(jié)論成立； }r— I ir—1 3）若上+1 = 6力+2,貝”左=8+1,此時有了（上+1）=」（對十2=