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1、最新精選優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)資料
最新精選優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)資料
1.3 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用（1）
教學(xué)目標(biāo)：
1．能熟練應(yīng)用正弦、余弦定理及相關(guān)公式解決三角形中的有關(guān)問題；
2．能把一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并能應(yīng)用正弦、余弦定理及
相關(guān)的三角公式解決這些問題；
3．通過復(fù)習(xí)、小結(jié)，使學(xué)生牢固掌握兩個(gè)定理，應(yīng)用自如．
教學(xué)重、難點(diǎn)：
能熟練應(yīng)用正弦、余弦定理及相關(guān)公式解決三角形的有關(guān)問題，牢固掌握兩
個(gè)定理，應(yīng)用自如．
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)：正弦定理、余弦定理及其變形形式，解斜三角形的要求和常用方法．
1．正弦定理、三角形面積公式：
；
．
2．正弦定
2、理的變形：
（1）；
（2）；
（3）．
3．利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解決以下兩類解斜三角形問題：
（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；
（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，從而進(jìn)一步求其它的邊和角．
4．余弦定理：．
5．應(yīng)用余弦定理解以下兩類三角形問題：
（1）已知三邊求三內(nèi)角；
（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)內(nèi)角．
二、例題
（學(xué)生自主學(xué)習(xí)討論后到黑板板演，教師規(guī)范解題格式）
例1 如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸兩點(diǎn)A，B之間的距離，在河岸這邊取點(diǎn)C，D，測(cè)得∠ADC＝85，∠BDC＝60，∠ACD＝47，∠BCD＝72，CD
3、＝100m．設(shè)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，試求A，B之間的距離（精確到1 m）．
解 在△ADC中，∠ADC＝85，∠ACD＝47，則∠DAC＝48．
又DC＝100，由正弦定理，得
≈134.05（m）．
在△BDC中，∠BDC＝60，∠BCD＝72，則∠DBC＝48．
又DC＝100，由正弦定理，得
≈116.54（m）．
在△ABC中，由余弦定理，得
AB２＝AC２＋BC２－2ACBCcos∠ACB
＝134.05２＋116.54２－2134.05116.54cos25≈3233.95，
所以 AB≈57（m）．
答 A，B兩點(diǎn)之間的距離約為57 m．
例2 如
4、圖，某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)．我海軍艦艇在A 處獲悉后，測(cè)出該漁輪在方位角為45，距離為10n mile的C處，并測(cè)得漁輪正沿方位角為105的方向，以9n mile／h的速度向小島靠攏．我海軍艦艇立即以21n mile／h的速度前去營(yíng)救．求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間（角度精確到0.1，時(shí)間精確到1min）．
解 設(shè)艦艇收到信號(hào)后x h在B處靠攏漁輪，則AB＝21x，BC＝9x，又AC＝10，∠ACB＝45＋（180－105）＝120．
由余弦定理，得AB２＝AC２＋BC２-2ACBCcos∠ACB，
即（21x）２＝10２＋（9x）２－2109xcos120．
化簡(jiǎn)，得
5、36x２－9x－10＝0，
解得x＝（h）＝40（min）（負(fù)值舍去）．
由正弦定理，得，
所以∠BAC≈21.8，方位角為45＋21.8＝66.8．
答 艦艇應(yīng)沿著方位角66.8的方向航行，經(jīng)過40min就可靠近漁輪．
例3 作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3平衡．已知F1＝30N，F(xiàn)2＝50N，F(xiàn)1與F2之間的夾角是60，求F3的大小與方向（精確到0.1）．
解 F3應(yīng)和F1，F(xiàn)2的合力F平衡，
所以F3和F在同一直線上，并且大小相等，方向相反．
如圖，在△OF1F中，由余弦定理，得
．
再由正弦定理，得，
所以∠F1OF≈38.2，從而∠F1OF3≈141.8．
答 F3為70N，F(xiàn)3和F1間的夾角為141.8．
三、課題小結(jié)
解斜三角形問題即用正余弦定理求解，已知三角形邊角的三個(gè)量（至少一條邊），即可求其余所有量，注意解的個(gè)數(shù)．
四、練習(xí)
課本P21習(xí)題1.3第2，4題．
五、布置作業(yè)
課本習(xí)題．
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