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1、最新精選優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)資料
最新精選優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)資料
第一章 1.3全稱量詞與存在量詞
一、選擇題
1．下列命題中全稱命題的個(gè)數(shù)為( )
①平行四邊形的對(duì)角線互相平分；②梯形有兩邊平行；③存在一個(gè)菱形，它的四條邊不相等．
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析]?、佗谑侨Q命題，③是特稱命題．
2．下列命題：
(1)至少有一個(gè)x，使x2＋2x＋1＝0成立．
(2)對(duì)任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立．
(3)對(duì)任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立．
(4)存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．
其中是全稱命題的有( )
A．1個(gè) B．2個(gè)
C．4
2、個(gè) D．0個(gè)
[答案] B
[解析] (1)中的量詞“至少有一個(gè)”和(4)中的量詞“存在”都不是全稱量詞，故這兩個(gè)命題不是全稱命題．(2)、(3)中的量詞“任意的”是全稱量詞，所以這兩個(gè)命題是全稱命題．故選B．
3．下列命題中的假命題是( )
A．存在x∈R，lgx＝0 B．存在x∈R，tanx＝1
C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R,2x＞0
[答案] C
[解析] 本題主要考查全稱命題和特稱命題真假的判斷．對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)x<0時(shí)，x3<0，故C是假命題．
4．命題“存在實(shí)數(shù)x，使x>1”的否定是( )
A．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x>1
B．不存在實(shí)數(shù)x，使x≤1
3、
C．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x≤1
D．存在實(shí)數(shù)x，使x≤1
[答案] C
[解析] 本題考查了全稱、存在命題及命題的否定．
“存在實(shí)數(shù)x，使x>1”的否定是“對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x≤1”．
這類題目應(yīng)遵循“存在變?nèi)我?任意變存在)，再否定結(jié)論”的原則．
5．下列四個(gè)命題中，其中為真命題的是( )
A．任意x∈R，x2＋3<0 B．任意x∈N，x2≥1
C．存在x∈Z，使x5<1 D．存在x∈Q，x2＝3
[答案] C
[解析] 由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命題“任意x∈R，x2＋3<0”為假命題；
由于0∈N，當(dāng)x＝0時(shí)，x2≥1不成立，
所以命
4、題“任意x∈N，x2≥1”是假命題；
由于－1∈Z，當(dāng)x＝－1時(shí)，x5<1，
所以命題“存在x∈Z，使x5<1”為真命題；
由于使x2＝3成立的數(shù)只有，而它們都不是有理數(shù)，因此沒有任何一個(gè)有理數(shù)的平方能等于3，所以命題“存在x∈Q，x2＝3”是假命題．故選C．
6．命題“存在x0∈?RQ，x∈Q”的否定是( )
A．存在x0??RQ，x∈Q B．存在x0∈?RQ，x?Q
C．任意x??RQ，x3∈Q D．任意x∈?RQ，x3?Q
[答案] D
[解析] 本題考查量詞命題的否定改寫．
任意x0∈?RQ，x?Q，注意量詞一定要改寫．
二、填空題
7．給出下列命題：
①任意
5、x∈R，是無理數(shù)；
②任意x、y∈R，若xy≠0，則x、y至少有一個(gè)不為0；
③存在實(shí)數(shù)既能被3整除又能被19整除；
④x>1是<1的充要條件．
其中真命題為________________．
[答案]?、冖?
[解析]?、偈羌倜}，例如是有理數(shù)；②是真命題，若xy≠0，則x，y全都不為0；③是真命題；④x>1是<1的充分不必要條件．
8．填上適當(dāng)?shù)牧吭~，使下列命題為真命題．
(1)_________x∈R，使x2＋2x＋1≥0.
(2)_________α，β∈R，使cos(α－β)＝cosα－cosβ.
(3)__________a，b∈R，使方程組有唯一解．
(4)_
6、_________m∈R，___________n∈R，使mn＝n.
[答案] (1)任意 (2)存在 (3)存在 (4)任意，存在或填存在，任意或存在，存在均可．
三、解答題
9．寫出下列命題的否定并判斷真假：
(1)不論m取何實(shí)數(shù)，方程x2＋x－m＝0必有實(shí)數(shù)根；
(2)每一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方都是正數(shù)；
(3)有的四邊形沒有外接圓；
(4)某些梯形的對(duì)角線互相平分．
(5)有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)；
(6)對(duì)任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
[解析] (1)這一命題可以表述為p：“對(duì)所有的實(shí)數(shù)m，方程x2＋x－m＝0有實(shí)數(shù)根”，其否定是非p：“存在實(shí)數(shù)m，使得x2＋x－m＝
7、0沒有實(shí)數(shù)根”，注意到當(dāng)Δ＝1＋4m<0，即m<－時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)根，因此非p是真命題．
(2)命題的否定：存在一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方不是正數(shù)，是真命題．
(3)命題的否定：所有的四邊形都有外接圓，是假命題．
(4)命題的否定：任一個(gè)梯形的對(duì)角線都不互相平分，是真命題．
(5)命題的否定為：所有的質(zhì)數(shù)不是奇數(shù)．很明顯，質(zhì)數(shù)3就是奇數(shù)，所以命題的否定是假命題．
(6)命題的否定為：存在α∈R，使sin2α＋cos2α≠1.因?yàn)樵}是真命題，所以命題的否定為假命題．
10．若命題“對(duì)任意x∈R，關(guān)于x的不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0都成立”為真命題，求a的取值范圍．
8、[解析] 當(dāng)a＝－1時(shí)，不等式不成立；
當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式恒成立．
當(dāng)a2－1≠0時(shí)，
所以－0成立
B．存在一個(gè)實(shí)數(shù)x使不等式x2－3x＋6<0成立
C．存在一條直線與兩個(gè)相交平面都垂直
D．存在實(shí)數(shù)x使x2<0成立
[答案] A
[解析] 因?yàn)閤2－3x＋6＝(x－)2＋≥，所以對(duì)于任意的x∈R，x2－3x＋6>0恒成立，因此A中的命題為真命題．
2．命題“所有奇數(shù)的立方是奇數(shù)”的否定是( )
A．所有奇數(shù)的立方不是奇數(shù)
B．不存
9、在一個(gè)奇數(shù)，它的立方是偶數(shù)
C．存在一個(gè)奇數(shù)，它的立方是偶數(shù)
D．不存在一個(gè)奇數(shù)，它的立方是奇數(shù)
[答案] C
[解析] 全稱命題的否定是特稱命題．
3．下列命題中的假命題是( )
A．存在實(shí)數(shù)α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
B．不存在無窮多個(gè)α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
C．對(duì)任意α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
D．不存在這樣的α和β，使cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ
[答案] B
[解析] cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，顯然
10、選項(xiàng)C，D為真；sinαsinβ＝0時(shí)，選項(xiàng)A為真；選項(xiàng)B為假．故選B．
4．已知a＞0，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0滿足關(guān)于x的方程2ax＋b＝0，則下列選項(xiàng)的命題中為假命題的是( )
A．存在x∈R，f(x)≤f(x0)
B．存在x∈R，f(x)≥f(x0)
C．任意x∈R，f(x)≤f(x0)
D．任意x∈R，f(x)≥f(x0)
[答案] C
[解析] 由x0＝－(a>0)及拋物線的相關(guān)性質(zhì)可得C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的．
二、填空題
5．下列特稱命題是真命題的序號(hào)是________________．
①有些不相似的三角形面積相等；
②存在一實(shí)數(shù)x0，使x＋x0＋
11、1<0；
③存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大；
④有一個(gè)實(shí)數(shù)的倒數(shù)是它本身．
[答案]?、佗邰?
[解析] ①為真命題，只要找出等底等高的兩個(gè)三角形，面積就相等，但不一定相似；②中對(duì)任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，所以不存在實(shí)數(shù)x0，使x＋x0＋1<0，故②為假命題；③中當(dāng)實(shí)數(shù)a大于0時(shí)，結(jié)論成立，為真命題；④中如1的倒數(shù)是它本身，為真命題，故選①③④.
6．下列語句：①能被7整除的數(shù)都是奇數(shù)；②|x－1|<2；③存在實(shí)數(shù)a使方程x2－ax＋1＝0成立；④等腰梯形對(duì)角線相等且不互相平分．
其中是全稱命題且為真命題的序號(hào)是________________．
12、
[答案]?、?
[解析] ①是全稱命題，但為假命題；
②不是命題；
③是特稱命題
三、解答題
7．為使下列p(x)為真命題，求x的取值范圍：
(1)p(x)：x＋1>x；
(2)p(x)：x2－5x＋6>0；
(3)p(x)：sinx>cosx.
[解析] (1)∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有(x＋1)－x＝1>0，∴x＋1>x，∴x∈R.
(2)由x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)>0得x<2或x>3，∴使p(x)成立的x的取值范圍是x<2或x>3.
(3)sinx－cosx＝sin>0，
∴2kπ
13、sinx>cosx成立的x的取值范圍是，k∈Z.
8．(1)已知關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)令p(x)：ax2＋2x＋1＞0，若對(duì)所有的x∈R，p(x)是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
[解析] (1)關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
(2)∵對(duì)所有的x∈R，p(x)是真命題．∴對(duì)?x∈R，ax2＋2x＋1＞0恒成立，當(dāng)a＝0時(shí)，不等式為2x＋1＞0不恒成立，當(dāng)a≠0時(shí)，若不等式恒成立，則∴a＞1.
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