高考數(shù)學(xué)三輪講練測核心熱點總動員新課標(biāo)版 專題19 立體幾何大題理 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 【名師精講指南篇】 【高考真題再現(xiàn)】 1.【20xx新課標(biāo)全國】如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°. （Ⅰ）證明AB⊥A1C; （Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值. A B C C1 A1 B1 2.【20xx高考全國1】如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，.（Ⅰ）證明：;（Ⅱ）若，,,求二面角的余弦值. x 3.【20xx全

2、國1理18】如圖所示，四邊形為菱形，，，是平面同一側(cè)的兩點，平面，平面，，． （1）求證：平面平面； （2）求直線與直線所成角的余弦值． （2）以為坐標(biāo)原點，分別以，的方向為,軸正方向，為單位長度， 建立空間直角坐標(biāo)系．由（Ⅰ）知，，， ，所以，， 所以，所以直線與直線所成角的余弦值為． 4.【20xx全國2理19】如圖所示，長方體中，，，，點分別在，上，，過點的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形 （1）在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由） （2）求直線AF與平面所成角的正弦值 圖（1）圖（2） 【熱點深度剖析】 縱觀2

3、0xx年20xx年的高考題對本熱點的考查，可以發(fā)現(xiàn)均以規(guī)則幾何體為背景，這樣建立空間直角坐標(biāo)系較為容易， 20xx年以三棱柱為幾何背景考查線線垂直的判定、線面垂直、面面垂直的性質(zhì)以及向量法求線面角，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力以及基本運算能力. 20xx年以平放的三棱柱為幾何背景考查線線垂直的判定和二面角的求法，可以運用傳統(tǒng)幾何法，也可以用空間向量方法求解.20xx年分別考查異面直線所成角及線面角。突出考查空間想象能力和計算能力.從近幾年的高考試題來看，線線垂直的判定、線面垂直的判定、面面垂直的判定與性質(zhì)、二面角等是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題又有解答題，難度中等偏高，客觀題主

4、要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，考查二面角的概念及求法；而主觀題不僅考查以上內(nèi)容，同時還考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決問題的能力．而直線與平面平行的判定，以及平面與平面平行的判定高考大題連續(xù)三年都沒涉及，而在小題中考查，從高考試題來看，利用空間向量證明平行與垂直，以及求空間角是高考的熱點，題型主要為解答題，難度屬于中等，主要考查向量的坐標(biāo)運算，以及向量的平行與垂直的充要條件，如何用向量法解決空間角問題等，同時注重考查學(xué)生的空間想象能力、運算能力．故預(yù)測20xx年高考，可能以錐體或斜棱柱為幾何背景，第一問以線面平行，面面平行為主要考查點，第二問可能是求二面角或探索性

5、命題，突出考查空間想象能力和邏輯推理能力，以及分析問題、解決問題的能力，也有可能求線面角． 【重點知識整合】 1.直線與平面平行的判定和性質(zhì) （1）判定：①判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行； ②面面平行的性質(zhì)：若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任何直線與另一個平面平行. （2）性質(zhì)：如果一條直線和一個平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行. 注意：在遇到線面平行時，常需作出過已知直線且與已知平面相交的輔助平面，以便運用線面平行的性質(zhì). 2.直線和平面垂直的判定和性質(zhì) （1）判定：①如果一條直線和一

6、個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直.②兩條平行線中有一條直線和一個平面垂直，那么另一條直線也和這個平面垂直. （2）性質(zhì)：①如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線和這個平面內(nèi)所有直線都垂直.②如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行. 3.平面與平面平行 （1）判定：一個如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個平面平行，則這兩個平面平行. 注意：這里必須清晰“相交”這個條件.如果兩個平面平行，那么在其中一個平面內(nèi)的所有直線與另一個平面無公共點，即這些直線都平行于另一個平面. （2）性質(zhì)：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行. 注意：這個

7、定理給出了判斷兩條直線平行的方法，注意一定是第三個平面與兩個平行平面相交，其交線平行. 4.兩個平面垂直的判定和性質(zhì) （1）判定：①判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直. ②定義法：即證兩個相交平面所成的二面角為直二面角； 注意：在證明兩個平面垂直時，一般先從已知有的直線中尋找平面的垂線，若不存在這樣的直線，則可以通過添加輔助線解決，而作輔助線應(yīng)有理論依據(jù)；如果已知面面垂直，一般先用面面垂直的性質(zhì)定理，即在一個平面內(nèi)作交線的垂直，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直. （2）性質(zhì)：①如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于

8、另一個平面. ②兩個平面垂直，則經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi). 注意：性質(zhì)定理中成立有兩個條件：一是線在平面內(nèi)，二是線垂直于交線，才能有線面垂直. (3)立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明的基本思路是利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即： 5.直線與平面所成的角 （1）定義：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個平面所成的角.當(dāng)直線和平面垂直時，就說直線和平面所稱的角為直角；當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時，就說直線和平面所稱的角為角. （2）范圍：； （3）求法：作出直線在平面上的射影,關(guān)鍵是找到異于斜足的一點在平面內(nèi)的垂足，可根據(jù)面面

9、垂直的性質(zhì)定理來確定垂線. （4）最小角定理：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角是斜線與平面所成的角. 6. 二面角 （1）二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面.二面角的大小是通過其平面角來度量的平面角，而二面角的平面角的三要素：①頂點在棱上；②角的兩邊分別在兩個半平面內(nèi)；③角的兩邊與棱都垂直. （2）作平面角的主要方法：①定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性；②三垂線法：過其中一個面內(nèi)一點作另一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作

10、出二面角的平面角；③垂面法：過一點作棱的垂面，則垂面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角； （3）二面角的范圍：； 7 利用向量處理平行問題 （1）證明線線平行，找出兩條直線的方向向量，證明方向向量共線； （2）證明線面平行的方法：①證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線（平行）；②證明直線的方向向量與平面的兩個不共線向量是共線向量，即利用共面向量定理進行證明；③證明直線的方向向量與該平面的法向量垂直. （3）平面與平面平行的證明方法：證明兩個平面的法向量平行. 8（理）利用向量處理垂直問題 （1）證明線線垂直，可證明兩條線的方向向量的數(shù)量積為0； （2）證明線面垂直方法：

11、①根據(jù)線面垂直的判定定理利用向量證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；②轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量共線. （3）證明面面垂直的方法：①根據(jù)面面垂直的判定定理利用向量證明一個平面內(nèi)的一條直線方向向量為另一個平面的法向量；②證明一個平面的法向量與另一人平面平行；③轉(zhuǎn)化為證明這兩個平面的法向量互相垂直. 9.利用向量處理角度問題 1.求異面直線所成的角的向量法：其基本步驟是（1）在a、b上分別取；或者建立空間直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)表示;(2)由公式確定異面直線a與b所成角的大小. 2.求直線和平面所成的角的向量法：在斜線上取一方向向量，并求出平面的一個法向量，若設(shè)斜線和平面所成的角為,由

12、. 3.求二面角的向量法：方法（1）設(shè)，分別是平面的法向量，則向量和的夾角與二面角的平面角相等或互補. 方法（2）二面角的棱上確定兩個點，過分別在平面內(nèi)求出與垂直的向量，則二面角的大小等于向量的夾角，即 【應(yīng)試技巧點撥】 1. 線線平行與垂直的證明 證明線線平行的方法：（1）平行公理；（2）線面平行的性質(zhì)定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理；（4）向量平行.要注意線面、面面平行的性質(zhì)定理的成立條件. 證明線線垂直的方法：（1）異面直線所成的角為直角；（2）線面垂直的性質(zhì)定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）三垂線定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意線面、面面垂直的性質(zhì)定理的

13、成立條件.解題過程中要特別體會平行關(guān)系性質(zhì)的傳遞性，垂直關(guān)系的多樣性. 2.線面平行與垂直的證明方法 線面平行與垂直位置關(guān)系的確定，也是高考考查的熱點，在小題中考查關(guān)系的確定，在解答題考查證明細節(jié). 線面平行的證明方法：（1）線面平行的定義；（2）線面平行的判斷定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理；（4）向量法：證明這條直線的方向向量和這個平面內(nèi)的一個向量互相平行；證明這個直線的方向向量和這個平面的法向量相互垂直. 線面平行的證明思考途徑：線線平行線面平行面面平行. 線面垂直的證明方法：（1）線面垂直的定義；（2）線面垂直的判斷定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）向量法：證明這個直線的

14、方向向量和這個平面的法向量相互平行. 線面垂直的證明思考途徑：線線垂直線面垂直面面垂直. 3.面面平行與垂直的證明 （1）面面平行的證明方法：①反證法:假設(shè)兩個平面不平行，則它們必相交，在導(dǎo)出矛盾；②面面平行的判斷定理；③利用性質(zhì):垂直于同一直線的兩個平面平行；平行于同一平面的兩個平面平行；④向量法：證明兩個平面的法向量平行. （2）面面垂直的證明方法：①定義法；②面面垂直的判斷定理；③向量法：證明兩個平面的法向量垂直. 解題時要由已知相性質(zhì)，由求證想判定，即分析法和綜合法相結(jié)合尋找證明思路，關(guān)鍵在于對題目中的條件的思考和分析，掌握做此類題的一般技巧和方法，以及如何巧妙進行垂直之間的

15、轉(zhuǎn)化. 4.探索性問題 探求某些點的具體位置，使得線面滿足平行或垂直關(guān)系，是一類逆向思維的題目.一般可采用兩個方法：一是先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論；二是運用推理證明計算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計算. 5. 如何求線面角 （1）利用面面垂直性質(zhì)定理，巧定垂足：由面面垂直的性質(zhì)定理，可以得到線面垂直，這就為線面角中的垂足的確定提供了捷徑. （2）利用三棱錐的等體積，省去垂足 在構(gòu)成線面角的直角三角形中，其中垂線段尤為關(guān)鍵.確定垂足，是常規(guī)方法.可是如果垂足位置不好確定，此時可以利用求點面距常用方法---等體積法.從而不用確定垂足的位置，照樣可以求出

16、線面角.因為垂線段的長度實際就是點面距h！利用三棱錐的等體積，只需求出h，然后利用進行求解. （3）妙用公式，直接得到線面角 課本習(xí)題出現(xiàn)過這個公式：，如圖所示：.其中為直線AB與平面所成的線面角.這個公式在求解一些選擇填空題時，可直接應(yīng)用.但是一定要注意三個角的位置，不能張冠李戴. （4）萬能方法，空間向量求解不用找角 設(shè)AB是平面的斜線，BO是平面的垂線，AB與平面所成的角,向量與的夾角，則. 6.如何求二面角 （1）直接法.直接法求二面角大小的步驟是：一作（找）、二證、三計算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并證明這個角就是所求二面角的平面角,然后再計算這個角的大小.

17、用直接法求二面角的大小,其關(guān)鍵是確定表示二面角大小的平面角.而確定其平面角,可從以下幾個方面著手:①利用三垂線定理(或三垂線定理的逆定理)確定平面角；②利用與二面角的棱垂直的平面確定平面角；③利用定義確定平面角； （2）射影面積法.利用射影面積公式＝ ；此方法常用于無棱二面角大小的計算；對于無棱二面角問題還有一條途徑是設(shè)法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 法二：設(shè),是二面角的兩個半平面的法向量，其方向一個指向內(nèi)側(cè)，另一個指向外側(cè)（同等異補）， 則二面角的平面角 7.如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 根據(jù)幾何體本身的幾何性質(zhì)，恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系最為關(guān)鍵，如果坐

18、標(biāo)系引入的恰當(dāng)，合理，即能夠容易確定點的坐標(biāo)，需要總結(jié)一些建系方法.常見建系方法： （1）借助三條兩兩相交且垂直的棱為坐標(biāo)軸，如正方體，長方體等規(guī)則幾何體，一般選擇三條線為三個坐標(biāo)軸，如圖1、2； （2）借助面面垂直的性質(zhì)定理建系，若題目中出現(xiàn)側(cè)面和底面垂線的條件，一般利用此條件添加輔助線，確定z軸，如圖3； （3）借助棱錐的高線建系等.對于正棱錐，利用定點在底面的射影為底面的中心，可確定z軸，然后在底面確定互相垂直的直線分別為x，y軸.如圖4. 8.如何確定平面的法向量 （1）首先觀察是否與存在于面垂直的法向量，若有可直接確定，若不存在，轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)法； （2）待定系數(shù)法：

19、由于法向量沒有規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以有一個自由度，于是可把法向量的某個坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個坐標(biāo).由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的兩條相交向量，設(shè)由解方程組求得. 9. 向量為謀求解立體幾何的探索性問題 空間向量最合適于解決立體幾何中探索性問題，它無需進行復(fù)雜繁難的作圖、論證、推理，只需通過坐標(biāo)運算進行判斷，在解題過程中，往往把“是否存在”問題，轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，所以使問題的解集更加簡單、有效，應(yīng)善于運用這一方法解題. 【考場經(jīng)驗分享】 1．在推證線面平行時，一定要強調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會出現(xiàn)錯誤． 2．可以考慮向量的工具性作用

20、，能用向量解決的盡可能應(yīng)用向量解決，可使問題簡化． 3．在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直定義，判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化． 4．面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù)．我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可． 5．用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理．如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證直線a∥b，只需證明它們的方向向量滿足(λ∈R)即可．若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行

21、，仍需強調(diào)直線在平面外． 6．利用向量求角，一定要注意將向量夾角轉(zhuǎn)化為各空間角．因為向量夾角與各空間角的定義、范圍不同． 【名題精選練兵篇】 1．【20xx屆河南省洛陽市一中高三下學(xué)期第二次模擬】如圖（1），等腰直角三角形的底邊，點在線段上，于，現(xiàn)將沿折起到的位置（如圖（2））． （1）求證：； （2）若，直線與平面所成的角為，求長． 【解析】 （1） . 又平面. 平面，. 解之得，或（舍去）. 所以的長為. 2．【20xx屆河北省邯鄲一中高三下第一次模擬】直三棱柱中，，分別是的中點，，為棱上的點． （1）證明：； （2）是否存在一點，使得平面與平面所成

22、銳二面角的余弦值為？若存在，說明點的位置，若不存在，說明理由． 因為，所以，所以 3．【20xx屆陜西省西安一中等八校高三下聯(lián)考】如圖，在四棱錐中，已知棱，，兩兩垂直，長度分別為1，2，2.若（），且向量與夾角的余弦值為. （1）求的值； （2）求直線與平面所成角的正弦值. 4．【20xx屆青海省平安一中高三4月月考】在長方體中，，過、、三點的平面截去長方體的一個角后，得如圖所示的幾何體，且這個幾何體的體積為. （1）求棱的長； （2）若的中點為 ，求異面直線與所成角的余弦值. 5．【20xx屆四川省成都市七中高三考】在如圖所示的幾何體中，四邊形為

23、平行四邊形，，平面，，，且有的中點. （1）求證：平面； （2）求二面角的大小. 【解析】 （1）取的中點，連接. 在中，是的中點，是的中點，所以， 又因為，所以，且. 所以四邊形為平行四邊形，所以. 又因為平面，平面，故平面. （2）由（1）可知平面的一個法向量是. 因為平面，所以，又因為，所以平面. 故是平面的一個法向量. 所以，，又二面角為銳角， 故二面角的大小為. 6．【20xx屆河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期一?？荚嚒咳鐖D，四邊形是直角梯形，，又，直線與直線所成的角為. （1）求證：； （2）求二面角的余弦值； （3）求點到平面的距離. 【解析

24、】(1) 平面，平面， 顯然，二面角為銳二面角， 所以二面角的余弦值為 （3）點到平面的距離. 7．【20xx屆寧夏六盤山高中高三第二次模擬】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，,E為PC的中點. （1）求證：平面； （2）求二面角的余弦值. 設(shè)平面BDE的一個法向量為, 由 ，由圖知二面角是銳二面角 所以二面角的余弦值為. 8．【20xx屆重慶市巴蜀中學(xué)高三3月月考】如圖，四棱錐中，底面為梯形，底面，，，，. （1）求證：面面； （2）設(shè)為上一點，滿足，若直線與平面所成的角的正切值為，求二面角的余弦值. 設(shè)平面的法向量為， 則，取

25、， 所以，所以二面角余弦值為. 9．【20xx屆福建省漳州市高三下學(xué)期第二次模擬】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，側(cè)面底面，，， 分別為的中點，點在線段上． F C A D P M B E （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）如果直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，求的值． （Ⅱ）解：因為底面，，所以兩兩垂直，故以 分別為軸、軸和軸，如上圖建立空間直角坐標(biāo)系， 則， 所以，，， 設(shè)，則， 所以，， 易得平面的法向量． 設(shè)平面的法向量為， 由，，得 令， 得． 10. 【四川省資陽市20xx

26、屆高三第二次診斷】四棱錐S－ABCD中，側(cè)面SAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M、N分別是AB、SC的中點． (Ⅰ)求證：MN∥平面SAD； (Ⅱ)求二面角S－CM－D的余弦值． [解法二]:如圖，取的中點，連結(jié)、，連結(jié)SH，由，且面⊥面，所以平面，易得，所以，則，所以，則有，所以是二面角的平面角，設(shè)，則，，，，，則，所以二面角的余弦值為． 11. 【山東省濟南市20xx屆高三上學(xué)期期末】在四棱錐，平面ABCD，PA=2. （I）設(shè)平面平面，求證：； （II）設(shè)點Q為線段PB上一點，且直線QC與平面PAC所成角的正切值為，求的值.

27、 12. 【山東省日照市20xx屆高三3月模擬】在如圖所示的空間幾何體中，平面平面ABC，是邊長為2的等邊三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC上的射影落在的平分線上. （I）求證：DE//平面ABC； （II）求二面角的余弦值. 13. 【吉林省實驗中學(xué)20xx屆高三第三次模擬】如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動． （Ⅰ）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF； （Ⅱ）當(dāng)BE為何值時，PA與平面PDE所成角的大小是45°？

28、 A B C D P E F A B C D P E F z x y 14. 【江西省九江市20xx年第一次模擬】如圖所示，在長方體中，，()，、分別是和的中點，且平面. （1）求的值； （2）求二面角的余弦值. 【解析】以為原點，，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，，，，，，， 15. 【遼寧省朝陽市三校協(xié)作體20xx屆高三下學(xué)期開學(xué)聯(lián)考】如圖，在三棱柱中，已知，，，. (1)求證：； (2)設(shè) ()，且平面與所成的銳二面角的大小為30°，試求l的值. 【解析】（1）因為側(cè)面,側(cè)面，故, 在中, 由余弦

29、定理得：，所以故,所以, 而. 16. 【山東省青島市20xx屆高三上學(xué)期期末】如圖，ABCD為梯形，平面ABCD，AB//CD，，E為BC中點，連結(jié)AE，交BD于O. （I）平面平面PAE （II）求二面角的大小（若非特殊角，求出其余弦即可） 【解析】 (Ⅰ) 連結(jié) ，，,所以，為中點,所以,，因為,， 所以與為全等三角形，所以，所以與為全等三角形，所以在中,,即，又因為平面,平面，所以，而，所以平面，因為平面，所以平面平面； (Ⅱ) 以為原點,分別以所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖

30、 【名師原創(chuàng)測試篇】 1．如圖所示的幾何體中，內(nèi)接于圓，且是圓的直徑，四邊形為矩形，且. (Ⅰ)證明:; (Ⅱ)若且二面角所成角的余弦值是,試求該幾何體的體積. 【解析】（Ⅰ）是圓的直徑，.又四邊形為矩形，. 又平面，且，平面.又平面，. （Ⅱ）因為四邊形為矩形，.又，平面，∴平面，設(shè).以所在直線分別為軸，軸，軸，如圖所示，則，，，，由于平面，可取平面的一個法向量是.設(shè)為平面的一個法向量，由條件得，，， ，即 .不妨令，則，，.又二面角所成角的 2. 已知四棱錐的底面是平行四邊形，分別是的中點，，，． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）若，求二

31、面角的余弦值． （Ⅱ）以為坐標(biāo)原點，直線分別為軸，以過點垂直于面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，，，，，，．所以，．設(shè)面的法向量，則有，令，，，所以，面的法向量，則，所以二面角的余弦值為． 3. 如圖1，在中，，分別是上的點，且.將沿折起到的位置，使，如圖2. （Ⅰ）是的中點，求與平面所成角的大小； （Ⅱ）求二面角的正切值. （Ⅱ）因為平面.所以是平面的法向量.設(shè)平面與平面所成的角為.所以 ， ，所以二面角的正切值為 4. 如圖，矩形所在平面與直角梯形所在平面垂直，其中，，，，.、分別為、的中點. （1）求證：平面

32、； （2）求二面角的余弦值. 解法二（向量法） 因為平面平面，平面平面，又矩形中，，所以平面， 又，故平面. 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，故，. 因為平面平面，平面平面，又因為，所以面.故為面的一個法向量. 設(shè)平面的法向量為，則由，可得，即.不妨取，則，.所以平面的一個法向量為. 故. 設(shè)二面角為，由圖可知，，所以. 5. 如圖所示,棱柱為正三棱柱,且,其中點分別為的中點. (1)求證:平面; (2)求證:平面; 【解析】(1)證明:作的中點,連結(jié).在中,,又據(jù)題意知，． ∴，∴四邊形為平行四邊形.∴，又平面，平面．∴平面．

33、 (2)證明:棱柱為正三棱柱，平面 ，又平面，，是正三角形且 ，，綜上,且,平面，平面 ，又 ，平面， 6. 如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中點． （Ⅰ）求證：AF//平面BDH； （Ⅱ）求二面角A﹣FE﹣C的大小． 【解析】設(shè)，取的中點，連接，因為四邊形是矩形，分別為的中點，所以 ，又因為 平面，所以 平面，因為四邊形是菱形，所以 ，得兩兩垂直.所以以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系. F B C E A H D O z N x y