人教版高中數(shù)學選修11：3.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 課后提升作業(yè) 二十三 3.3.2 Word版含解析

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1、（人教版）精品數(shù)學教學資料 課后提升作業(yè) 二十三 函數(shù)的極值與導數(shù) (45分鐘　70分) 一、選擇題(每小題5分,共40分) 1.已知函數(shù)f(x),x∈R,且在x=1處,f(x)存在極小值,則　(　　) A.當x∈(-∞,1)時,f′(x)>0;當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0 B.當x∈(-∞,1)時,f′(x)>0;當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0 C.當x∈(-∞,1)時,f′(x)<0;當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0 D.當x∈(-∞,1)時,f′(x)<0;當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0 【解析】選C.因為f(x)在x=1處存在極小值, 所以

2、x<1時,f′(x)<0,x>1時,f′(x)>0. 2.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b),導函數(shù)f′(x)在(a,b)內的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內有極小值點　(　　) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 【解析】選A.從f′(x)的圖象可知f(x)在(a,b)內從左到右單調性依次為增→減→增→減,根據(jù)極值點的定義可知在(a,b)內只有一個極小值點. 3.下列說法正確的是　(　　) A.函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值一定比極小值大 B.函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值一定比極小值小 C.函數(shù)f(x)=|x|只有一個極小值 D.函數(shù)y=f(x)

3、在區(qū)間(a,b)上一定存在極值 【解析】選C.函數(shù)的極大值與極小值之間無確定的大小關系,單調函數(shù)在區(qū)間(a,b)上沒有極值,故A,B,D錯誤,C正確,函數(shù)f(x)=|x|只有一個極小值為0. 4.(2016惠州高二檢測)函數(shù)y=x3-6x的極大值為　(　　) A.42 B.32 C.-32 D.-42 【解析】選A.y′=3x2-6,令y′>0,得 x>2或x<-2,令y′<0,得-2

4、是　(　　) A.有極大值,沒有極小值 B.有極小值,沒有極大值 C.既無極大值也無極小值 D.既有極大值又有極小值 【解析】選D.f′(x)=-2x-3x2, 令f′(x)=0有x=0或x=-23. 當x<-23時,f′(x)<0; 當-230; 當x>0時,f′(x)<0, 從而在x=0時,f(x)取得極大值, 在x=-23時, f(x)取得極小值. 5.若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1處有極值,則4a+1b的最小值 為　(　　) A.49 B.43 C.32 D.23 【解析】選C.

5、因為函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1處有極值,所以f′(1)=12- 2a-2b=0,即a+b=6,則4a+1b=16(a+b)4a+1b=165+ab+4ba≥5+46=32(當且僅當ab=4ba且a+b=6,即a=2b=4時取“=”); 6.(2016沈陽高二檢測)若函數(shù)f(x)=x2-2bx+3a在區(qū)間(0,1)內有極小值,則實數(shù)b的取值范圍是　(　　) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(0,1) D.-∞,12 【解析】選C.f′(x)=2x-2b=2(x-b),令f′(x)=0,解得x=b.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內有極小值,則有0

6、<1,當00,符合題意.所以實數(shù)b的取值范圍是(0,1). 7.(2016廣州高二檢測)設函數(shù)f(x)=ex(sinx-cosx)(0≤x≤2015π),則函數(shù)f(x)的各極大值之和為　(　　) A.e2π(1-e2 015π)1-e2π B.e2π(1-e2 015π)1-eπ C.1-e2 015π1-e2π D.eπ(1-e2 016π)1-e2π 【解析】選D.由題意,得 f′(x)=(ex)′(sinx-cosx)+ex(sinx-cosx)′ =2exsinx,所以x∈(2kπ,2kπ+π)時f(x)遞增

7、, x∈(2kπ+π,2kπ+2π)時,f(x)遞減, 故當x=2kπ+π時,f(x)取極大值, 其極大值為 f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)-cos(2kπ+π)] =e2kπ+π, 又0≤x≤2015π, 所以函數(shù)f(x)的各極大值之和為 S=eπ+e3π+e5π+…+e2015π=eπ[1-(e2π)1 008]1-e2π =eπ(1-e2 016π)1-e2π 8.已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且滿足f(x)+xf′(x)=lnxx,f(e)=1e,則下列結論正確的是　(　　) A.f(x)有極大值無極小值 B.f(x)有極小值無極

8、大值 C.f(x)既有極大值又有極小值 D.f(x)沒有極值 【解析】選D.因為f(x)+xf′(x)=lnxx, 所以[xf(x)]′=lnxx, 所以xf(x)=12(lnx)2+c.又因為f(e)=1e, 所以e1e=12(lne)2+c,解得c=12, 所以f(x)=12[(lnx)2+1]1x, f′(x)=2lnxx2x-[(lnx)2+1]24x2 =-2(lnx-1)24x2≤0, 所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù), 所以f(x)在(0,+∞)上沒有極值. 二、填空題(每小題5分,共10分) 9.(2016銀川高二檢測)函數(shù)f(x)=13x3-

9、14x4在區(qū)間12,3上的極值點為　　　　. 【解析】因為f(x)=13x3-14x4,所以f′(x)=x2-x3=-x2(x-1),令f′(x)=0,則x=0或x=1,因為x∈12,3,所以x=1,并且在x=1左側f′(x)>0,右側f′(x)<0,所以函數(shù)f(x)=13x3-14x4在區(qū)間12,3上的極值點為1. 答案:1 【警示誤區(qū)】函數(shù)的極值點都是其導數(shù)等于0的根,但須注意導數(shù)等于0的根不一定都是極值點,應根據(jù)導數(shù)圖象分析再下結論是不是其極值點. 10.如果函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,給出下列判斷: ①函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-3,-12內單調遞增; ②函數(shù)y=f(x

10、)在區(qū)間-12,3內單調遞減; ③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(4,5)內單調遞增; ④當x=2時,函數(shù)y=f(x)有極小值; ⑤當x=-12時,函數(shù)y=f(x)有極大值. 則上述判斷中正確的是　　　　. 【解析】由函數(shù)圖象可知,在-3,-12函數(shù)遞增,在-12,3函數(shù)遞減,在(3,5)函數(shù)遞增,當x=-3時取得最小值,當x=-12時取得極大值,當x=3時函數(shù)取得極小值,綜上可知①②③⑤正確. 答案:①②③⑤ 三、解答題(每小題10分,共20分) 11.(2016銀川高二檢測)已知函數(shù)f(x)=x3-12x2-2x+c, (1)求函數(shù)f(x)的極值. (2)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)

11、間. 【解析】f′(x)=3x2-x-2. (1)令f′(x)=3x2-x-2=0,即(3x+2)(x-1)=0, 所以x=-23或x=1. 當x變化時,f(x)與f′(x)的變化情況如表, x -∞,-23 -23 -23,1 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 單增 極大值 單減 極小值 單增 從表中可以看出當x=-23時,f(x)有極大值,極大值為2227+c;當x=1時,f(x)有極小值,極小值為c-32. (2)由(1)可知f(x)的遞增區(qū)間為-∞,-23和(1,+∞),遞減區(qū)間為-23,1. 【補償訓練】已知

12、函數(shù)f(x)=x-1+aex. (1)若函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值. (2)求函數(shù)f(x)的極值. 【解題指南】(1)由導數(shù)的幾何意義可知函數(shù)在x=1處的導數(shù)值等于切線的斜率0,從而得到關于a的方程,求解其值. (2)首先計算函數(shù)的導函數(shù)f′(x)=1-aex,通過討論a的取值范圍得到導數(shù)值不同的正負情況,從而確定函數(shù)的單調性,求得極值. 【解析】(1)由f(x)=x-1+aex,得f′(x)=1-aex. 由函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,得f′(1)=1-ae=0,解得a=e. (2)f′(x)=1-aex①當a≤0時,f

13、′(x)>0,f(x)在R上為增函數(shù),f(x)無極值. ②當a>0時,令f′(x)=0,得ex=a,x=lna, 所以x∈(-∞,lna),f′(x)<0;x∈(lna,+∞), f′(x)>0, 所以f(x)在(-∞,lna)上單調遞減,在(lna,+∞)上單調遞增, 所以f(x)在x=lna處取得極小值,且極小值為f(lna)=lna,無極大值. 綜上,當a≤0時,函數(shù)f(x)無極值; 當a>0時,所以f(x)在x=lna處取得極小值lna,無極大值. 12.(2016山東高考)設f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x，a∈R. (1)令g(x)=f′(x)，求g(

14、x)的單調區(qū)間. (2)已知f(x)在x=1處取得極大值,求實數(shù)a的取值范圍. 【解析】(1)g(x)=f′(x)=ln x－2ax+2a, 所以g′(x)= 當a≤0,x∈(0,+∞)時，g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調遞增. 當a>0,x∈時，g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調遞增, x∈時，g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調遞減. 綜上：當a≤0,函數(shù)g(x)單調遞增區(qū)間為(0,+∞). 當a>0,函數(shù)g(x)單調遞增區(qū)間為， 函數(shù)g(x)單調遞減區(qū)間為. (2)由(1)知f′(1)=0. ①當a≤0，f′(x)單調遞增，所以x∈(0,1)時,f′(x)<0,f(x)單

15、調遞減, x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增, 所以f(x)在x=1處取得極小值，不合題意. ②當01時，由(1)知f′(x)在內單調遞增， 所以x∈(0, 1)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減, x∈時,f′(x)>0,f(x)單調遞增, 所以f(x)在x=1處取得極小值，不合題意. ③當a=,=1時，f′(x)在(0,1)內單調遞增，在(1,+∞)內單調遞減，所以 x∈(0,+∞)時,f′(x)≤0,f(x)單調遞減，不合題意. ④當a>,0<<1時，x∈,f′(x)>0,f(x)單調遞增， 當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0,f(x)

16、單調遞減， 所以f(x)在x=1處取得極大值，符合題意. 綜上可知a>. 【補償訓練】(2015梅州高二檢測)已知函數(shù)f(x)=x3-bx2+2cx的導函數(shù)的圖象關于直線x=2對稱. (1)求b的值. (2)若函數(shù)f(x)無極值,求c的取值范圍. 【解析】(1)f′(x)=3x2-2bx+2c, 因為函數(shù)f′(x)的圖象關于直線x=2對稱, 所以--2b6=2,即b=6. (2)由(1)知,f(x)=x3-6x2+2cx, f′(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12, 當2c-12≥0,即c≥6時,f′(x)≥0恒成立,此時函數(shù)f(x)無極值. 【能力

17、挑戰(zhàn)題】 已知函數(shù)f(x)=kx+1x2+c(c>0且c≠1,k∈R)恰有一個極大值點和一個極小值點,其中一個是x=-c. (1)求函數(shù)f(x)的另一個極值點. (2)求函數(shù)f(x)的極大值M和極小值m,并求M-m≥1時k的取值范圍. 【解析】(1)f′(x)=k(x2+c)-2x(kx+1)(x2+c)2 =-kx2-2x+ck(x2+c)2, 由題意知f′(-c)=0,即得c2k-2c-ck=0,(*) 因為c≠0,所以k≠0. 由f′(x)=0得-kx2-2x+ck=0, 由根與系數(shù)的關系知另一個極值點為x=1(或x=c-2k). (2)由(*)式得k=2c-1,即c

18、=1+2k. 當c>1時,k>0;當00時, f(x)在(-∞,-c)和(1,+∞)內是減函數(shù), 在(-c,1)內是增函數(shù). 所以M=f(1)=k+1c+1=k2>0, m=f(-c)=-kc+1c2+c=-k22(k+2)<0, 由M-m=k2+k22(k+2)≥1及k>0, 解得k≥2. (ii)當k<-2時,f(x)在(-∞,-c)和(1,+∞)內是增函數(shù),在(-c,1)內是減函數(shù). 所以M=f(-c)=-k22(k+2)>0,m=f(1)=k2<0, M-m=-k22(k+2)-k2=1-(k+1)2+1k+2≥1恒成立. 綜上可知,所求k的取值范圍為(-∞,-2)∪[2,+∞). 關閉Word文檔返回原板塊