浙江高考數學 理二輪專題訓練：第3部分 專題一 第2講 保分題模板解每分都要保

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1、 如同前面所講，高考是選拔性的考試，送分題不會太多，保分題才是我們得分的主陣地．此類問題主要是指解答題，它們的特點是：對基礎知識考查較多，計算相對復雜，使用的數學思想方法相對深入等．它們主要分六塊：三角函數(或與平面向量交匯)、函數與導數(或與不等式交匯)、概率與統計、解析幾何(或與平面向量交匯)、立體幾何、數列(或與不等式交匯)．從歷年高考看這些題型的命制都呈現出顯著的特點和解題規(guī)律，從閱卷中發(fā)現考生“會而得不全分”的大有人在，針對以上情況，我們總結出一套體現解數學解答題的一般思維過程、解題程序和答題格式的“答題模板”．這

2、樣，在解決高考解答題時，就可以按照一定的解題程序和答題格式，在最短的時間內擬定解決問題的最佳方案，實現答題效率的最優(yōu)化． 模板一　三角函數的圖像與性質 [例1]　(20xx天津高考)(13分)已知函數f(x)＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． [解題流程] ?? [規(guī)范解答]　 (1)f(x)＝－sin＋6sin xcos x－2cos 2x＋1， ＝－sin 2xcos －cos 2xsin＋3sin 2x－cos 2

3、x ＝2sin 2x－2cos 2x ＝2sin， 4分 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. 6分 (2)因為f(x)在區(qū)間上是增函數，在區(qū)間上是減函數， 9分 又f(0)＝－2，f＝2，f＝2， 11分 所以f(x)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為－2. 13分 [解題模板] 第1步：三角函數式化簡，一般化為y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的形式 ↓ 如本例中f(x)化簡為f(x)＝2sin； 第2步：由T＝求最小正周期； 　↓ 第3步：確定f(x)的單調性； ↓ 第

4、4步：確定各單調區(qū)間端點處的函數值； 　↓ 第5步：明確規(guī)范地寫出答案． [反思領悟]　查看關鍵點、易錯點及答題規(guī)范，如本題中f(x)的解析式化簡是否正確；f(x)在區(qū)間，上的單調性判斷是否準確． 模板二　解 三 角 形 [例2]　(20xx新課標全國卷Ⅱ)(12分)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面積的最大值． [解題流程] ?? [規(guī)范解答] (1)由已知及正弦定理，得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B，　① 2分 又A＝π－(B＋C)，所

5、以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，　② 3分 由①②和C∈(0，π)，得sin B＝cos B，即tan B＝1. 5分 又B∈(0，π)，所以B＝. 6分 (2)△ABC的面積S＝acsin B＝ac. 7分 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos， 9分 又a2＋c2≥2ac，故ac≤，當且僅當a＝c時，等號成立， 11分 所以△ABC面積的最大值為＋1. 12分 [解題模板] 第1步：利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉化為邊之間

6、的關系或角之間的關系， ↓ 如本例利用正弦定理轉化為角之間的關系； 第2步：求待求角的某一三角函數值，如本例tan B＝1； 　↓ 第3步：指明角的范圍，并求角，如本例應指明B∈(0，π)； 　↓ 第4步：利用面積公式表示所求三角形的面積或利用正弦定理表示邊角關系； ↓ 第5步：求得結論． [反思領悟]　查看關鍵點、易錯點及解題規(guī)范，如本題易忽視B∈(0，π)，直接得出B＝；要注意基本不等式成立的條件． 模板三　數列的通項與求和 [例3]　(20xx廣東高考)(14分)設各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，滿足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，

7、a14構成等比數列． (1)證明：a2＝； (2)求數列{an}的通項公式； (3)證明：對一切正整數n，有＋＋…＋＜. [解題流程] ?? [規(guī)范解答] (1)因為an＞0，令n＝1，有4S1＝a－4－1，即4a1＝a－5，所以a2＝.2分 (2)4Sn＝a－4n－1，當n≥2時，4Sn－1＝a－4(n－1)－1，兩式相減得4an＝a－a－4， 4分 整理得a＝(an＋2)2，即an＋1＝an＋2. 所以{an}從第2項起，是公差為2的等差數列． 6分 所以a5＝a2＋32＝a2＋6，a14＝a2＋122＝a2＋24，又a2，

8、a5，a14構成等比數列，有a＝a2a14，則(a2＋6)2＝a2(a2＋24)，解得a2＝3. 8分 由(1)知a1＝1，又an＋1＝an＋2(n≥2)，所以，數列{an}是首項為1，公差為2的等差數列，即an＝1＋(n－1)2＝2n－1. 10分 (3)由(2)得＋＋…＋＝＋＋…＋＝－ ＝＜. 14分 [解題模板] 第1步：通過賦值求特殊項； ↓ 第2步：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)確定通項an，但要注意等式成立的條件，同時要驗證n＝1時，通項an是否成立(根據已知條件建立首項、公差或公比之間的關系求公差d或公

9、比q，然后再求通項an也是常用方法)； ↓ 第3步：利用裂項相消法求＋＋…＋(此處也常用公式法、錯位相減法等 求和)； ↓ 第4步：得出所求證的結論． [反思領悟]　查看關鍵點、易錯點及解題規(guī)范，如本題的易錯點有兩處：①利用關系式an＝Sn－Sn－1(n≥2)錯誤；②裂項相消時，搞錯對應關系及最后項的符號等． 模板四　立體幾何中位置關系的證明 [例4]　(20xx北京高考)(14分)如圖，在四棱錐PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別為CD和PC的中點．求證： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PA

10、D； (3)平面BEF⊥平面PCD. [解題流程] ?? [規(guī)范解答] (1)因為平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個平面的交線AD，所以PA⊥底面ABCD. 2分 (2)因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED為平行四邊形． 所以BE∥AD. 5分 又因為BE?平面PAD，AD?平面PAD， 6分 所以BE∥平面PAD. 7分 (3)因為AB⊥AD，而且ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD， 9分 由(1)知PA⊥底面AB

11、CD，所以PA⊥CD. 所以CD⊥平面PAD. 所以CD⊥PD. 11分 因為E和F分別是CD和PC的中點，所以PD∥EF. 所以CD⊥EF. 所以CD⊥平面BEF. 13分 因為CD?平面PCD， 所以平面BEF⊥平面PCD. 14分 [解題模板] 第1步：根據條件合理轉化； 　 ↓ 第2步：寫出推證平行或垂直所需的條件，條件要充分； ↓ 第3步：寫出所證明的結論． [反思領悟]　查看關鍵點、易錯點及解題規(guī)范，如本題的易錯點是證明線面平行時條件不充分． 模板五　利用空間向量求空間角 [例5]

12、　(20xx唐山模擬)(12分)如圖，在四棱錐SABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD＝AD＝AB，E是SA的中點． (1)求證：平面BED⊥平面SAB； (2)求平面BED與平面SBC所成二面角(銳角)的大小． [解題流程] 四棱錐SABCD，且SD⊥平面ABCD，ABCD為矩形，E為中點 ?? [規(guī)范解答] (1)證明：∵SD⊥平面ABCD，SD?平面SAD， ∴平面SAD⊥平面ABCD. ∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD. 又∵DE?平面SAD， ∴DE⊥AB. ∵SD＝AD，E是SA的中點，∴DE⊥SA. ∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面

13、SAB. ∵DE?平面BED， ∴平面BED⊥平面SAB.4分 (2)由題意知SD，AD，DC兩兩垂直，以DA、DC、DS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，不妨設AD＝2，則D(0，0,0)，A(2,0,0)，B(2，，0)，C(0，，0)，S(0,0,2)，E(1,0,1)． ∴＝(2，，0)，＝(1,0,1)，＝(2,0,0)，＝(0，－，2)．6分 設m＝(x1，y1，z1)是平面BED的法向量，則 即 令x1＝－1， 即y1＝，z1＝1， ∴m＝(－1，，1)是平面BED的一個法向量．8分 設n＝(x2，y2，z2)是平面S

14、BC的法向量，則 即 解得x2＝0，令y2＝，則z2＝1， ∴n＝(0，，1)是平面SBC的一個法向量．10分 ∵cosm，n＝＝＝， ∴平面BED與平面SBC所成銳二面角的大小為30.12分 ,　　[解題模板] 第1步：作出(或找出)具有公共交點的三條相互垂直的直線； ↓ 第2步：建立空間直角坐標系確定或設出特征點坐標； ↓ 第3步：求二面角面的法向量n，m，或有關直線的方向向量； ↓ 第4步：求法向量n，m的夾角或cosm，n； ↓　 第5步：將法向量的夾角轉化為二面角的夾角． [反思領悟]　查看關鍵點、易錯點及解題規(guī)范．如本題易忽視“銳角

15、”這一條件． 模板六　圓錐曲線中的存在性問題 [例5]　(20xx成都模擬)(13分)已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)以拋物線y2＝8x的焦點為頂點，且離心率為. (1)求橢圓E的方程； (2)若直線l：y＝kx＋m與橢圓E相交于A、B兩點，與直線x＝－4相交于點Q，P是橢圓E上一點且滿足＝＋ (其中O為坐標原點)，試問在x軸上是否存在一點T，使得為定值？若存在，求出點T的坐標及的值；若不存在，請說明理由． [解題流程] ?? [規(guī)范解答]　 (1)拋物線y2＝8x的焦點為橢圓E的頂點，即a＝2.又＝，故c＝1，b＝. ∴橢圓E的方程為＋＝1. 4分

16、 (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)． 聯立 得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. 由根與系數的關系，得x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝. 6分 將P代入橢圓E的方程，得＋＝1. 整理，得4m2＝4k2＋3. 8分 設T(t,0)，Q(－4，m－4k)， 則＝(－4－t，m－4k)，＝，即＝＋＝. ∵4k2＋3＝4m2，∴＝＝＋. 11分 要使為定值，只需2＝＝為定值，則1＋t＝0，∴t＝－1， ∴在x軸上存在一點T(－1,0)，使得為定值. 13分 [解題模板] 第1步：假設點存在；

17、 ↓ 第2步：把假設作為條件進行推理論證(此處常和直線與圓錐曲線的位置關系有關，需聯立直線與圓錐曲線構造方程組，利用根與系數的關系求解)； ↓ 第3步：明確規(guī)范地表述結論，若經驗證成立即可肯定假設正確；若推出矛盾，即否定假設． [反思領悟]　查看關鍵點、易錯點及解題規(guī)范，如本題中的運算較復雜，易發(fā)生失誤；為定值的條件判斷是否正確等． 模板七　離散型隨機變量的均值與方差 [例7]　(20xx天津高考)(13分)一個盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1,2,3,4；白色卡片3張，編號分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設取到任何一張卡片的可能性相同)． (1

18、)求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率； (2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設為X，求隨機變量X的分布列和數學期望． [解題流程] ? ? [規(guī)范解答]　 (1)設“取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片”為事件A，則P(A)＝＝. 3分 所以，取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率為. 4分 (2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4. 5分 P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 9分 所以隨機變量X的分布列是 X 1 2 3

19、 4 P 11分 隨機變量X的數學期望E(X)＝1＋2＋3＋4＝. 13分 [解題模板] 第1步：確定離散型隨機變量的所有可能值； 　↓ 第2步：求出每個可能值的概率； 　↓ 第3步：列出隨機變量的分布列； 　 ↓ 第4步：求出數學期望或方差． [反思領悟]　查看關鍵點、易錯點及解題規(guī)范，如本題可重點查看隨機變量的所有可能值是否正確；可根據分布列性質檢查概率是否正確． 模板八　利用導數研究函數的單調性、極值與最值問題 [例7]　(20xx日照模擬)(13分)已知函數f(x)＝ax2＋ln x，其中a∈R. (1

20、)求f(x)的單調區(qū)間； (2)若f(x)在(0,1]上的最大值是－1，求a的值． [解題流程] ? ? [規(guī)范解答]　 (1)f′(x)＝，x∈(0，＋∞)． 3分 當a≥0時，f′(x)＞0，從而函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增； 4分 當a＜0時，令f′(x)＝0，解得x＝ 或x＝－ (舍去)． 5分 此時，f(x)與f′(x)的變化情況如下： x f′(x) ＋ 0 － f(x)  f  ∴f(x)的單調增區(qū)間是，單

21、調減區(qū)間是. 7分 (2)①當a≥0時，由(1)得函數f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)＝. 令＝－1，得a＝－2，這與a≥0矛盾，不合題意． 9分 ②當－1≤a＜0時， ≥1，由(1)得函數f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)＝. 令＝－1，得a＝－2，這與－1≤a＜0矛盾，不合題意． 10分 ③當a＜－1時，0＜ ＜1，由(1)得函數f(x)在(0,1]上的最大值為f.令f＝－1，解得a＝－e，符合a＜－1. 12分 綜上，當f(x)在(0,1]上的最大值是－1時，a＝－e. 13分 [解題模板] 第1步：確定函

22、數的定義域，如本題函數的定義域為(0，＋∞)； ↓ 第2步：求f′(x)； ↓ 第3步：求方程f′(x)＝0的根； ↓ 第4步：利用f′(x)＝0的根和不可導點的x的值從小到大順次將定義域分成若干個小開區(qū)間，并列出表格； ↓ 第5步：由f′(x)在小區(qū)間內的正、負值判斷f(x)在小開區(qū)間內的單調性； ↓ 第6步：求函數的極值或最值； ↓ 第7步：明確規(guī)范地表述結論． [反思領悟]　查看關鍵點、易錯點及解題規(guī)范，如本題第(1)問易忽視定義域及對參數a的分類討論；第(2)問易出現對a分類不徹底而導致解題錯誤． 模板九　不等式的恒成立問題 [例8]　(20xx臨沂

23、模擬)(13分)設函數f(x)＝ax＋2，g(x)＝a2x2－ln x＋2，其中a∈R，x＞0. (1)若a＝2，求曲線y＝g(x)在點(1，g(1))處的切線方程； (2)是否存在負數a，使f(x)≤g(x)對一切正數x都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由． [解題流程] ?? [規(guī)范解答]　 (1)由題意可知當a＝2時，g(x)＝4x2－ln x＋2，則g′(x)＝8x－， 2分 曲線y＝g(x)在點(1，g(1))處的切線斜率k＝g′(1)＝7，又g(1)＝6， ∴曲線y＝g(x)在點(1，g(1))處的切線的方程為y－6＝7(x－1)

24、，即y＝7x－1. 5分 (2)設函數h(x)＝f(x)－g(x)＝ax＋ln x－a2x2(x＞0)． 假設存在負數a，使得f(x)≤g(x)對一切正數x都成立，即當x＞0時，h(x)的最大值小于等于零． h′(x)＝a＋－2a2x＝(x＞0)． 令h′(x)＝0，可得x1＝－，x2＝(舍)． 8分 當0＜x＜－時，h′(x)＞0，h(x)單調遞增；當x＞－時，h′(x)＜0，h(x)單調遞減． ∴h(x)在x＝－處有極大值，也是最大值． 10分 ∴h(x)max＝h≤0，解得a≤－， ∴負數a存在，它的取值范圍為. 13分 [解題模板] 第1步：將問題轉化為形如不等式f(x)≥a(或f(x)≤a)恒成立的問題； ↓ 第2步：求函數f(x)的最大值f(x)max(或f(x)的最小值f(x)min)； ↓ 第3步：解不等式f(x)max≤a(或f(x)min≥a)； ↓ 第4步：明確規(guī)范地表述結論． [反思領悟]　查看關鍵點、易錯點及解題規(guī)范，如本題重點反思每一步轉化的目標及合理性，最大值或最小值是否正確．