《【名校資料】人教A版理科數(shù)學(xué)高效訓(xùn)練：89 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【名校資料】人教A版理科數(shù)學(xué)高效訓(xùn)練：89 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆
[A組 基礎(chǔ)演練能力提升]
一、選擇題
1．過(guò)點(diǎn)P(4,4)且與雙曲線－＝1只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有( )
A．1條 B．2條
C．3條 D．4條
解析：結(jié)合圖形知，過(guò)P(4,4)與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線，有兩條與雙曲線相切，另兩條與漸近線平行，共4條．
答案：D
2．已知以F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為( )
A．3 B．2
C．2 D.
解析：依題意知c＝2，可設(shè)橢圓方程為＋＝1，
由消去y得：
(4a2－4)x2＋8a
2、2x＋16a2－3a2(a2－4)＝0.
∵直線與橢圓僅有一個(gè)交點(diǎn)，
∴Δ＝(8a2)2－4(4a2－4)[16a2－3a2(a2－4)]＝0，
∴解得a2＝7.∴a＝.
∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a＝2.
答案：C
3．已知雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此直線斜率的取值范圍是( )
A. B．(－，)[來(lái)源:]
C. D．[－，]
解析：由題意知，F(xiàn)(4,0)，雙曲線的兩條漸近線方程為y＝x.當(dāng)過(guò)點(diǎn)F的直線與漸近線平行時(shí)，滿足與右支只有一個(gè)交點(diǎn)，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合可知應(yīng)選C.
答案：C
4．直線4kx－4y－k＝0與拋物線y2＝x
3、交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝4，則弦AB的中點(diǎn)到直線x＋＝0的距離等于( )
A. B．2
C. D．4
解析：易知直線4kx－4y－k＝0過(guò)拋線y2＝x的焦點(diǎn).∴|AB|為焦點(diǎn)弦．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB中點(diǎn)N[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)]
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4.∴＝.
∴AB中點(diǎn)到直線x＋＝0的距離為＋＝.
答案：C
5．(2014年泰安模擬)斜率為的直線與雙曲線－＝1恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，) D．(，＋∞)
解析：要使直線與雙曲線恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，則漸近線的斜率的
4、絕對(duì)值應(yīng)大于，所以>，∴e＝>2，即e∈(2，＋∞)．故選B.
答案：B
6．已知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，直線y＝k(x－2)與此拋物線相交于P，Q兩點(diǎn)，則＋＝( )
A. B．1
C．2 D．4
解析：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由題意可知，
|PF|＝x1＋2，|QF|＝x2＋2，則＋＝＋＝，聯(lián)立直線與拋物線方程消去y得，k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，可知x1x2＝4，故＋＝＝＝.故選A.
答案：A
二、填空題
7．已知F1為橢圓C：＋y2＝1的左焦點(diǎn)，直線l：y＝x－1與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，則|F1A|＋|F1B|的值為________．
5、
解析：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程得消去y，得3x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝，易得點(diǎn)A(0，－1)，B.又點(diǎn)F1(－1,0)，因此|F1A|＋|F1B|＝＋ ＝.
答案：
8．直線l：x－y＝0與橢圓＋y2＝1相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABC面積的最大值是________．
解析：由得3x2＝2，
∴x＝，
∴A，B，
∴|AB|＝.
設(shè)點(diǎn)C(cos θ，sin θ)，則點(diǎn)C到AB的距離
d＝＝≤，
∴S△ABC＝|AB|d≤＝.
答案：
9．已知雙曲線－＝1的離心率為p，焦點(diǎn)為F的拋物線y2＝2px與直線y＝k(x－)交于
6、A，B兩點(diǎn)，且＝p，則k的值為________．
解析：易知p＝2，拋物線方程為y2＝4x，焦點(diǎn)F(1,0)，直線方程為y＝k(x－1)，∵＝2，∴＝2，又|yAyB|＝4，∴yA＝2，∴xA＝2，∴k＝＝2.
答案：2
三、解答題
10．已知圓C：(x＋)2＋y2＝16，點(diǎn)A(，0)，Q是圓上一動(dòng)點(diǎn)，AQ的垂直平分線交CQ于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E.
(1)求軌跡E的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l交軌跡E于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，△AOB(O是坐標(biāo)原點(diǎn))的面積S＝，求直線AB的方程．
解析：(1)由題意|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝4>2，
所以軌跡E是
7、以A，C為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，
即軌跡E的方程為＋y2＝1.
(2)記A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由題意，直線AB的斜率不可能為0，而直線x＝1也不滿足條件，
故可設(shè)AB的方程為x＝my＋1.
由消去x得(4＋m2)y2＋2my－3＝0，
所以
S＝|OP||y1－y2|＝
＝.
由S＝，解得m2＝1，即m＝1.[來(lái)源:]
故直線AB的方程為x＝y(tǒng)＋1，
即x＋y－1＝0或x－y－1＝0為所求．
11.如圖所示，已知點(diǎn)A(1，)是離心率為的橢圓C：＋＝1(a>b>0)上的一點(diǎn)，斜率為的直線BD交橢圓C于B、D兩點(diǎn)，且A、B、D三點(diǎn)不重合．
(1)求
8、橢圓C的方程；
(2)△ABD的面積是否存在最大值；若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)求證：直線AB、AD斜率之和為定值．
解析：(1)由題意，可得e＝＝，＋＝1，a2＝b2＋c2，
解得a＝2，b＝，c＝，
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設(shè)直線BD的方程為y＝x＋m，D(x1，y1)、B(x2，y2)，
由得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
所以Δ＝－8m2＋64>0，所以－2
9、，當(dāng)且僅當(dāng)8－m2＝m2，即m＝2時(shí)取等號(hào)．
因?yàn)?∈(－2，2)，所以當(dāng)m＝2時(shí)，△ABD的面積最大，最大值為.
(3)證明：設(shè)直線AB、AD的斜率分別為kAB、kAD，則
kAD＋kAB＝＋＝＋＝2＋m，(*)
將(2)中①、②式代入(*)式，整理得
2＋m＝0，即kAD＋kAB＝0.
故直線AB、AD斜率之和為定值．
12．(能力提升)如圖所示，橢圓C：＋＝1(a>b>0)，A1、A2為橢圓C的左、右頂點(diǎn)．
(1)設(shè)F1為橢圓C的左焦點(diǎn)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)橢圓C上的點(diǎn)P在橢圓的左、右頂點(diǎn)時(shí)，|PF1|取得最小值與最大值；
(2)若橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為3，最
10、小值為1，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(3)若直線l：y＝kx＋m與(2)中所述橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)(A、B不是左、右頂點(diǎn))，且滿足AA2⊥BA2，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
解析：(1)證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，令f(x)＝|PF1|2＝(x＋c)2＋y2.
又點(diǎn)P在橢圓C上，故滿足＋＝1，
則y2＝b2－x2.
代入f(x)得，
f(x)＝(x＋c)2＋b2－x2＝x2＋2cx＋a2，
則其對(duì)稱軸方程為x＝－，
由題意，知－<－a恒成立，
∴f(x)在區(qū)間[－a，a]上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)且僅當(dāng)橢圓C上的點(diǎn)P在橢圓的左、右頂點(diǎn)時(shí)，|PF1|取得最小值與最大值
11、．
(2)由已知與(1)得a＋c＝3，a－c＝1，
∴a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(3)如圖所示，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
[來(lái)源:]
聯(lián)立
得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，則
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2
＝.
∵橢圓的右頂點(diǎn)為A2(2,0)，AA2⊥BA2，
∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.
∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.
∴＋＋＋4＝0.
∴7m2＋16km＋4k2＝0，
解得m1＝－2k，m2
12、＝－，且均滿足3＋4k2－m2>0.
當(dāng)m1＝－2k時(shí)，l的方程為y＝k(x－2)，
直線過(guò)定點(diǎn)(2,0)，與已知矛盾．[來(lái)源:]
當(dāng)m2＝－時(shí)，l的方程為y＝k，
直線過(guò)定點(diǎn)，
∴直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.
[B組 因材施教備選練習(xí)]
1．若拋物線y＝ax2－1上恒有關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱的相異的兩點(diǎn)A，B，則a的取值范圍是________．
解析：設(shè)拋物線上的兩點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程為y＝x＋b，代入拋物線方程y＝ax2－1，得ax2－x－(b＋1)＝0，則x1＋x2＝.設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則x0＝，y0＝x0＋b＝＋b.由于M(x0，y0)在直線x＋y＝0上，故x0＋y0＝0，由此得b＝－，此時(shí)ax2－x－(b＋1)＝0變?yōu)閍x2－x－＝0.由Δ＝1＋4a>0，解得a>.
答案：
2．當(dāng)x>1時(shí)，直線y＝ax－a恒在拋物線y＝x2的下方，則a的取值范圍是________．
解析：聯(lián)立整理可得x2－ax＋a＝0，令Δ＝a2－4a＝0，解得a＝0或a＝4，此時(shí)直線與拋物線相切，因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)，結(jié)合圖形可知，當(dāng)a∈(－∞，4)，x>1時(shí)，直線y＝ax－a恒在拋物線y＝x2的下方．
答案：(－∞，4)
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