高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第九章 ：第一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算突破熱點題型

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1、 精品資料 第一節(jié)　變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算 [來源:] 考點一 導(dǎo)數(shù)的計算 　 [例1]　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：[來源:] (1)y＝(1－)；(2)y＝； (3)y＝tan x； (4)y＝3xex－2x＋e； (5)y＝. [自主解答]　(1)∵y＝(1－)＝－＝x－－x， ∴y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－. (2)y′＝′＝＝＝. (3)y′＝′＝＝＝. (4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln 3)ex

2、＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)(3e)x－2xln 2. (5)y′＝ ＝＝. 【互動探究】 若將本例(3)中“tan x”改為“sin ”，應(yīng)如何求解？ 解：∵y＝sin ＝－sin cos ＝－sin x，∴y′＝－cos x．　　　　　 【方法規(guī)律】 導(dǎo)數(shù)的計算方法 (1)連乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導(dǎo)． (2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)． (3)對數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)． (4)根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)． (5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求

3、導(dǎo)． (6)復(fù)合函數(shù)：確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)． 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝＋；(4)y＝；(5)y＝＋e2x. 解：(1)∵y＝＝x－＋x3＋， y′＝(x－)′＋(x3)′＋(x－2sin x)′＝－x－＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x. (2)∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11. (3)∵y＝＋＝，∴y′＝′＝＝. (4)∵y＝＝cos x－sin x，∴y′＝－sin x－cos x. (5)y′＝(3－x)－(3－x)′＋e2

4、x(2x)′＝－(3－x)－＋2e2x. [例2]　(1)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，則f′(1)＝(　　) A．－e B．－1 C．1 D．e (2)等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，則f′(0)＝(　　) A．26 B．29 C．212 D．215 (3)(2013江西高考)設(shè)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex)＝x＋ex，則f′(1)＝________. [自主解答]　(1)∵f(x)＝2xf′

5、(1)＋ln x，∴f′(x)＝′＋(ln x)′＝2f′(1)＋， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1. (2)因為f′(x)＝x′＋′x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋′x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋0＝a1a2…a8.因為數(shù)列{an}為等比數(shù)列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212. (3)令t＝ex，故x＝ln t，所以f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，所以f′(x)＝＋1，所以f′(1)＝2. [答案]　(1)B　(2)C　(3)2 【方法規(guī)律】 導(dǎo)數(shù)運算的兩個

6、技巧 (1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分解為基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo)數(shù)． (2)在求導(dǎo)過程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣法則，記準(zhǔn)公式，預(yù)防犯運算錯誤． 1．若函數(shù)f(x)＝cos x＋2xf′，則f與f的大小關(guān)系是(　　) A．f＝f　　　 　B．f>f[來源:] C．ff. 2．(2014臺州模擬)已知f1(x)＝sinx＋

7、cosx，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2 014(x)等于(　　) A．－sin x－cos x B．sin x－cos x C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x 解析：選C　f1(x)＝sin x＋cos x，f2(x)＝f1′(x)＝(sin x＋cos x)′＝cos x－sin x， f3(x)＝f2′(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x－cos x， f5(x

8、)＝f4′(x)＝sin x＋cos x.故fn(x)是以4為周期的周期函數(shù)，又2 014＝5034＋2， ∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x＋cos x. 高頻考點 考點二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義　　 1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義是每年高考的必考內(nèi)容，考查題型既有選擇題、填空題，也常出現(xiàn)在解答題的第(1)問中，難度偏小，屬中低檔題． 2．高考對導(dǎo)數(shù)幾何意義的考查主要有以下幾個命題角度： (1)已知切點求切線方程； (2)已知切線方程(或斜率)求切點或曲線方程； (3)已知曲線求切線傾斜角的取值范圍． [例3]　(1)(2012新課標(biāo)全國卷)曲線y＝x(3lnx＋1)

9、在點(1,1)處的切線方程為________________． (2)(2013廣東高考)若曲線y＝ax2－ln x在點(1，a)處的切線平行于x軸，則a＝________. (3)(2013江西高考)若曲線y＝xα＋1(α∈R)在點(1,2)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點，則α＝________.[來源:數(shù)理化網(wǎng)] (4)(2014南京模擬)已知點P在曲線y＝上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是________． [自主解答]　(1)y′＝3ln x＋1＋x＝3ln x＋4，k＝y(tǒng)′|x＝1＝4，故切線方程為y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3. (2)∵f(x)＝ax2－l

10、n x，則f′(x)＝2ax－，∴f′(1)＝2a－1＝0，得a＝. (3)求導(dǎo)得y′＝αxα－1，切線的斜率k＝α，由點斜式得切線方程為y－2＝α(x－1)． ∵切線經(jīng)過原點(0,0)，∴－2＝α(－1)，α＝2.(4)∵y＝，∴y′＝＝＝.∵ex>0，∴ex＋≥2，∴y′∈[－1,0)，∴tan α∈[－1,0)．又α∈[0，π)，∴α∈. [答案]　(1)y＝4x－3　(2)　(3)2　(4) 與導(dǎo)數(shù)幾何意義有關(guān)問題的常見類型及解題策略 (1)已知切點求切線方程．解決此類問題的步驟為：①求出函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處

11、切線的斜率； ②由點斜式求得切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)已知斜率求切點．已知斜率k，求切點(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k. (3)求切線傾斜角的取值范圍．先求導(dǎo)數(shù)的取值范圍，即確定切線斜率的取值范圍，然后利用正切函數(shù)的單調(diào)性解決． 1．已知直線y＝kx＋b與曲線y＝x3＋ax＋1相切于點(2,3)，則b的值為(　　) 　A．－3 B．9 C．－15 D．－7 解析：選C　將點(2,3)分別代入曲線y＝x3＋ax＋1和直線y＝kx＋b，得a＝－3,2k＋b＝3.又k＝y(tǒng)′|x＝2＝(3x2－3)|x＝2＝9，

12、∴b＝3－2k＝3－18＝－15. 2．已知a為常數(shù)，若曲線y＝ax2＋3x－ln x存在與直線x＋y－1＝0垂直的切線，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由題意知曲線上存在某點的導(dǎo)數(shù)為1，所以y′＝2ax＋3－＝1有正根， 即2ax2＋2x－1＝0有正根．當(dāng)a≥0時，顯然滿足題意；當(dāng)a<0時，需滿足Δ≥0，解得－≤a<0.綜上，a≥－. 3．若點P是曲線y＝x2－ln x上任意一點，則點P到直線y＝x－2的最小距離為________． 解析：設(shè)P(x0，y0)到直線y＝x－2的距離最

13、小，則y′|x＝x0＝2x0－＝1，得x0＝1或x0＝－(舍)．∴P點坐標(biāo)為(1,1)．∴P到直線y＝x－2的距離d＝＝. 答案： ————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1個區(qū)別——“過某點”與“在某點”的區(qū)別 　曲線y＝f(x)“在點P(x0，y0)處的切線”與“過點P(x0，y0)的切線”的區(qū)別：前者P(x0，y0)為切點，而后者P(x0，y0)不一定為切點．[來源:] 4個注意點——導(dǎo)數(shù)運算及切線的理解應(yīng)注意的問題 　(1)利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆． (2)利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)時，只要根據(jù)幾種基本函數(shù)的定義，判斷原函數(shù)是哪類基本函數(shù)，再套用相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)公式求解，切不可因判斷函數(shù)類型失誤而出錯． (3)直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點． (4)曲線未必在其切線的同側(cè)，如曲線y＝x3在其過(0,0)點的切線y＝0的兩側(cè).