高考數學復習：第七章 ：第四節(jié)直線、平面平行的判定及其性質回扣主干知識提升學科素養(yǎng)

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1、 精品資料 第四節(jié)　直線、平面平行的判定及其性質 【考綱下載】 1．能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行的有關性質與判定定理． 2．能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的平行關系的簡單命題． 1．直線與平面平行的判定定理和性質定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行) l∥a，a?α，l?α?l∥α 性質定理 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面

2、與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”) l∥α，l?β，α∩β＝b?l∥b 2．平面與平面平行的判定定理和性質定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”) a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α?α∥β 性質定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b 1．如果一條直線和平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行嗎？ 提示：不一定．只有當此直線在平面外時才有線面平行．

3、 2．如果一條直線和一個平面平行，那么這條直線和這個平面內的任意一條直線都平行嗎？ 提示：不都平行．對于任意一條直線而言，存在異面的情況． 3．如果一個平面內有無數條直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行嗎？ 提示：不一定．可能平行，也可能相交． 4．如果兩個平面平行，則一個平面內的直線與另一個平面有什么位置關系？ 答案：平行． 1．若兩條直線都與一個平面平行，則這兩條直線的位置關系是(　　) A．平行 B．相交 C．異面 D．以上均有可能 解析：選D　與一個平面平行的兩條直線可以平行、相交，也可以異面． 2．下

4、列命題中，正確的是(　　)[來源:] A．若a∥b，b?α，則a∥α B．若a∥α，b?α，則a∥b C．若a∥α，b∥α，則a∥b D．若a∥b，b∥α，a?α，則a∥α 解析：選D　由直線與平面平行的判定定理知，三個條件缺一不可，只有選項D正確． 3．(2013廣東高考)設l為直線，α，β是兩個不同的平面．下列命題中正確的是(　　) A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l⊥α，l⊥β，則α∥β C．若l⊥α，l∥β，則α∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β 解析：選B　l∥α，l∥β，則α與β可能平行，也可能相交，故A項錯；由面面平行的判定定理可知B項正確；由l

5、⊥α，l∥β可知α⊥β，故C項錯；由α⊥β，l∥α可知l與β可能平行，也可能相交，故D項錯． 4．(教材習題改編)已知平面α∥β，直線a?α，有下列命題： ①a與β內的所有直線平行； ②a與β內無數條直線平行； ③a與β內的任意一條直線都不垂直． 其中真命題的序號是________． 解析：由面面平行的性質可知，過a與β相交的平面與β的交線才與a平行，故①錯誤；②正確；平面β內的直線與直線a平行，異面均可，其中包括異面垂直，故③錯誤． 答案：②[來源:] 5．已知正方體ABCDA1B1C1D1，下列結論中，正確的結論是________(只填序號)． ①AD1∥BC1； ②平

6、面AB1D1∥平面BDC1； ③AD1∥DC1； ④AD1∥平面BDC1. 解析： 連接AD1、BC1，因為AB∥C1D1，AB=C1D1， 所以四邊形AD1C1B為平行四邊形，故AD1∥BC1，從而①正確； 易證BD∥B1D1，AB1∥DC1， 又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，從而②正確； 由圖易知AD1與DC1異面，故③錯誤； 因AD1∥BC1，AD1?平面BDC1，BC1?平面BDC1，故AD1∥平面BDC1，故④正確． 答案：①②④ 數學思想(九) 轉化與化歸思想在證明平行關系中的應用 線線平行、線面平

7、行和面面平行是空間中三種基本平行關系，它們之間可以相互轉化，其轉化關系如下： 證明平行的一般思路是：欲證面面平行，可轉化為證明線面平行；欲證線面平行，可轉化為證明線線平行． [典例]　(2013遼寧高考)如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點． (1)求證：BC⊥平面PAC； (2)設Q為PA的中點，G為△AOC的重心．求證：QG∥平面PBC. [解題指導]　(1)利用線面垂直的判定定理證明；(2)可證明QG所在的平面與平面PBC平行． [解]　(1)由AB是圓O的直徑，得AC⊥BC. 由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC. 又

8、PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC， 所以BC⊥平面PAC. (2)連接OG并延長交AC于M，連接QM，QO，由G為△AOC的重心，得M為AC中點．由Q為PA中點，得QM∥PC. 又O為AB的中點，得OM∥BC. 因為QM∩MO＝M，QM?平面QMO，MO?平面QMO，BC∩PC＝C，BC?平面PBC，PC?平面PBC， 所以平面QMO∥平面PBC. 因為QG?平面QMO， 所以QG∥平面PBC. [題后悟道]　1.本例(2)巧妙地將線面平行的證明轉化為面面平行，進而由面面平行的性質得出結論的證明． 2．利用相關的平行判定定理和性質定理實現線線、線面、面面平行

9、關系的轉化，也要注意平面幾何中一些平行的判斷和性質的靈活應用，如中位線、平行線分線段成比例等，這些是空間線面平行關系證明的基礎． 如圖所示，幾何體EABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB＝CD，EC⊥BD. (1)求證：BE＝DE； (2)若∠BCD＝120，M為線段AE的中點，求證：DM∥平面BEC. 證明：(1)取BD的中點O，連接CO，EO. 由于CB＝CD，所以CO⊥BD， 又EC⊥BD，EC∩CO＝C， CO，EC?平面EOC， 所以BD⊥平面EOC， 所以BD⊥EO， 又O為BD的中點， 所以BE＝DE. (2)法一：取AB的中點N，連接DM

10、，DN，MN， 因為M是AE的中點， 所以MN∥BE. 又MN?平面BEC，BE?平面BEC， 所以MN∥平面BEC.[來源:] 又因為△ABD為正三角形， 所以∠BDN＝30. 又CB＝CD，∠BCD＝120， 因此∠CBD＝30， 所以DN∥BC. 又DN?平面BEC，BC?平面BEC， 所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN＝N， 故平面DMN∥平面BEC. 又DM?平面DMN， 所以DM∥平面BEC. 法二： 延長AD，BC交于點F，連接EF.[來源:] 因為CB＝CD，∠BCD＝120， 所以∠CBD＝30. 因為△ABD為正三角形， 所以∠ABD＝∠BAD＝60，∠ABC＝90， 因此∠AFB＝30，[來源:] 所以AB＝AF. 又AB＝AD， 所以D為線段AF的中點． 連接DM，由于點M是線段AE的中點， 所以在△AFE中，DM∥EF. 又DM?平面BEC，EF?平面BEC， 所以DM∥平面BEC.