高考數(shù)學 理科一輪【學案12】函數(shù)模型及其應用含答案

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1、 學案12　函數(shù)模型及其應用 導學目標： 1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征．知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用． 自主梳理 1．三種增長型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì) 函數(shù) 性質(zhì) y＝ax(a>1) y＝logax (a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的單調(diào)性 增長速度 圖象的變化 隨x增大逐漸表現(xiàn)為與____平行 隨x增大逐漸表現(xiàn)為與____平行 隨n值變化而不同 2.三種增長型函數(shù)之

2、間增長速度的比較 (1)指數(shù)函數(shù)y＝ax (a>1)與冪函數(shù)y＝xn (n>0) 在區(qū)間(0，＋∞)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)ax會小于xn，但由于y＝ax的增長速度________y＝xn的增長速度，因而總存在一個x0，當x>x0時有________． (2)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)與冪函數(shù)y＝xn (n>0) 對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)的增長速度，不論a與n值的大小如何總會________y＝xn的增長速度，因而在定義域內(nèi)總存在一個實數(shù)x0，使x>x0時有____________． 由(1)(2)可以看出三種增長型的函數(shù)盡管均為增函數(shù)，但它們的增長速

3、度不同，且不在同一個檔次上，因此在(0，＋∞)上，總會存在一個x0，使x>x0時有_____________________． 3．函數(shù)模型的應用實例的基本題型 (1)給定函數(shù)模型解決實際問題； (2)建立確定性的函數(shù)模型解決問題； (3)建立擬合函數(shù)模型解決實際問題． 4．函數(shù)建模的基本程序 自我檢測 1．下列函數(shù)中隨x的增大而增大速度最快的是 (　　) A．v＝ex B．v＝100ln x C．v＝x100 D．v＝1002x 2．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x

4、，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為 (　　) A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51 3．(20xx陜西)某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y＝[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為 (　　) A．y＝[] B．y＝[] C．y＝[] D．y＝[] 4．(20xx湘潭月考)某工廠6年來生

5、產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前三年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后三年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖象正確的是 (　　) 5．一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09 mg/mL，那么，一個喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過________小時，才能開車？(精確到1小時) 探究點一　一次函數(shù)、二次函數(shù)模型 例1　(20xx陽江模擬)某化工廠引進一條先進生

6、產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝－48x＋8 000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸． (1)求年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，那么當年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？ 變式遷移1　某租賃公司擁有汽車100輛，當每輛車的月租金為3 000元時，可全部租出．當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛．租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元． (1)當每輛車的月租金定為3 600

7、元時，能租出多少輛車？ (2)當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 探究點二　分段函數(shù)模型 例2　據(jù)氣象中心觀察和預測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v(km/h)與時間t(h) 的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km)． (1)當t＝4時，求s的值； (2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學關(guān)系式表示出來； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長

8、時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由． 變式遷移2　某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水不超過4噸時，每噸為1.80元，當用水超過4噸時，超過部分每噸3.00元．某月甲、乙兩戶共交水費y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x,3x(噸)． (1)求y關(guān)于x的函數(shù)； (2)若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費． 探究點三　指數(shù)函數(shù)模型 例3　諾貝爾獎發(fā)放方式為：每年一發(fā)，把獎金總額平均分成6份，獎勵給分別在6項(物理、化學、文學、經(jīng)濟學、生理學和醫(yī)學、和平)為人類作出最有益貢獻的人，每年發(fā)放獎金的總金額是基金在

9、該年度所獲利息的一半，另一半利息作基金總額，以便保證獎金數(shù)逐年增加．假設基金平均年利率為r＝6.24%.資料顯示：1999年諾貝爾獎發(fā)放后基金總額約為19 800萬美元．設f(x)表示第x(x∈N*)年諾貝爾獎發(fā)放后的基金總額(1999年記為f(1)，2000年記為f(2)，…，依次類推) (1)用f(1)表示f(2)與f(3)，并根據(jù)所求結(jié)果歸納出函數(shù)f(x)的表達式； (2)試根據(jù)f(x)的表達式判斷網(wǎng)上一則新聞“2009年度諾貝爾獎各項獎金高達150萬美元”是否為真，并說明理由． (參考數(shù)據(jù)：1.031 29＝1.32) 變式遷移3　(20xx商丘模擬)現(xiàn)有某種細

10、胞100個，其中有占總數(shù)的細胞每小時分裂一次，即由1個細胞分裂成2個細胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過多少小時，細胞總數(shù)可以超過1010個？ (參考數(shù)據(jù)：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301) 1．解答應用問題的程序概括為“四步八字”，即(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型； (2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型； (3)求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論； (4)還原：將數(shù)學結(jié)論還原為實際問題的意義． 2．考查函數(shù)模型的知識表現(xiàn)在以下幾個方面： (1)利用函數(shù)模型的單調(diào)性

11、比較數(shù)的大小； (2)比較幾種函數(shù)圖象的變化規(guī)律，證明不等式或求解不等式； (3)函數(shù)性質(zhì)與圖象相結(jié)合，運用“數(shù)形結(jié)合”解答一些綜合問題． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)．現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是 (　　) X 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 Y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 A.y＝2x B．y＝log2x C．y＝(x2－1) D．y＝2.61

12、cos x 2．擬定甲地到乙地通話m分鐘的電話費f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)(單位：元)，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整數(shù)(如[3.72])＝3，[4]＝4)，當m∈[0.5,3.1]時，函數(shù)f(m)的值域是 (　　) A．{1.06,2.12,3.18,4.24} B．{1.06,1.59,2.12,2.65} C．{1.06,1.59,2.12,2.65,3.18} D．{1.59,2.12,2.65} 3．(20xx秦皇島模擬)某商店出售A、B兩種價格不同的商品，由于商品A連續(xù)兩次提價20%，同時商品B連續(xù)兩次降價20%，結(jié)果都以每件23元售出，若商店同時

13、售出這兩種商品各一件，則與價格不升不降時的情況比較，商店盈利情況是 (　　) A．多賺約6元 B．少賺約6元 C．多賺約2元 D．盈利相同 4．國家規(guī)定個人稿費納稅辦法是：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4 000元的按超過800元部分的14%納稅；超過4 000元的按全部稿酬的11%納稅．已知某人出版一本書，共納稅420元，這個人應得稿費(扣稅前)為 (　　) A．4 000元 B．3 800元 C．4 200元 D．3 600元 5．(20xx滄州月考)生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全

14、部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)＝x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價是20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應生產(chǎn)該商品數(shù)量為 (　　) A．18萬件 B．20萬件 C．16萬件 D．8萬件 題號 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．據(jù)某校環(huán)保小組調(diào)查，某區(qū)垃圾量的年增長率為b,2009年產(chǎn)生的垃圾量為a t，由此預測，該區(qū)下一年的垃圾量為__________t,的垃圾量為__________t. 7．(20xx金華十校3月聯(lián)考)有一批材

15、料可以建成200 m長的圍墻，如果用此批材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣材料隔成三個面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成場地的最大面積為________(圍墻的厚度不計)． 8．已知每生產(chǎn)100克餅干的原材料加工費為1.8元．某食品加工廠對餅干采用兩種包裝，其包裝費用、銷售價格如下表所示： 型號 小包裝 大包裝 重量 100克 300克 包裝費 0.5元 0.7元 銷售價格 3.00元 8.4元 則下列說法中正確的是________(填序號) ①買小包裝實惠；②買大包裝實惠；③賣3小包比賣1大包盈利多；④賣1大包比賣3小包盈利多． 三、解答

16、題(共38分) 9．(12分)(20xx湖南師大附中仿真)設某企業(yè)每月生產(chǎn)電機x臺，根據(jù)企業(yè)月度報表知，每月總產(chǎn)值m(萬元)與總支出n(萬元)近似地滿足下列關(guān)系：m＝x－，n＝－x2＋5x＋，當m－n≥0時，稱不虧損企業(yè)；當m－n<0時，稱虧損企業(yè)，且n－m為虧損額． (1)企業(yè)要成為不虧損企業(yè)，每月至少要生產(chǎn)多少臺電機？ (2)當月總產(chǎn)值為多少時，企業(yè)虧損最嚴重，最大虧損額為多少？ 10．(12分)某單位用2 160萬元購得一塊空地，計劃在該塊地上建造一棟至少10層、每層2 000平方米的樓房．經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為560＋48x(單位：元

17、)．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？(注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝) 11．(14分)(20xx鄂州模擬)某賓館有相同標準的床位100張，根據(jù)經(jīng)驗，當該賓館的床價(即每張床每天的租金)不超過10元時，床位可以全部租出，當床位高于10元時，每提高1元，將有3張床位空閑．為了獲得較好的效益，該賓館要給床位一個合適的價格，條件是：①要方便結(jié)賬，床價應為1元的整數(shù)倍；②該賓館每日的費用支出為575元，床位出租的收入必須高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床價，用y表示該賓館一天出租床位的凈收入(即除去每日的費用支出后的收入)．

18、 (1)把y表示成x的函數(shù)，并求出其定義域； (2)試確定該賓館將床位定價為多少時，既符合上面的兩個條件，又能使凈收入最多？ 答案 自主梳理 1．增函數(shù)　增函數(shù)　增函數(shù)　越來越快　越來越慢　相對平穩(wěn)　y軸　x軸　2.(1)快于　ax>xn　(2)慢于　logaxxn>logax 自我檢測 1．A　[由e>2，知當x增大時，ex增大更快．] 2．B　[依題意，可設甲銷售x輛，則乙銷售(15－x)輛， ∴總利潤S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x) ＝－0.15x2＋3.06x＋30 (x≥0)． ∴當x＝10時，Smax＝45.6(萬元)．]

19、 3．B　[每10個人可以推選1個，(xmod 10)>6可以再推選一個，即如果余數(shù)(xmod 10)≥7相當于給x多加了3，所以可以多一個10出來．] 4．A 5．5 解析　設x小時后，血液中的酒精含量不超過0.09 mg/mL， 則有0.3x≤0.09，即x≤0.3. 估算或取對數(shù)計算，得5小時后，可以開車． 課堂活動區(qū) 例1　解　(1)每噸平均成本為(萬元)． 則＝＋－48 ≥2－48＝32， 當且僅當＝，即x＝200時取等號． ∴年產(chǎn)量為200噸時，每噸平均成本最低為32萬元． (2)設年獲得總利潤為R(x)萬元， 則R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－

20、8 000 ＝－＋88x－8 000 ＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0,210]上是增函數(shù)， ∴x＝210時，R(x)有最大值為－(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴年產(chǎn)量為210噸時，可獲得最大利潤1 660萬元． 變式遷移1　解　(1)租金增加了600元，所以未租出的車有12輛，一共租出了88輛． (2)設每輛車的月租金為x元(x≥3 000)，租賃公司的月收益為y元， 則y＝x－50 －150 ＝－＋162x－21 000 ＝－(x－4 050)2＋307 050， 當x＝4 050時，ymax＝307 050.

21、 答　當每輛車月租金定為4 050元時，租賃公司的月收益最大，最大為307 050. 例2　解　(1)由圖象可知： 當t＝4時，v＝34＝12(km/h)， ∴s＝412＝24(km)． (2)當0≤t≤10時，s＝t3t＝t2， 當10

22、0,35]時，令－t2＋70t－550＝650. 解得t1＝30，t2＝40.∵204時，y＝41.8＋3x1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8. 當乙的用水量超過4噸，即3x>4時， y＝241.8＋3[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6. 所以y＝ (2)由于y＝f(x)在各段區(qū)間上均單調(diào)遞增， 當x∈時

23、，y≤f<26.4； 當x∈時，y≤f<26.4； 當x∈時，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5. 所以甲戶用水量為5x＝7.5噸， 付費S1＝41.8＋3.53＝17.70(元)； 乙戶用水量為3x＝4.5噸， 付費S2＝41.8＋0.53＝8.70(元)． 例3　解題導引　指數(shù)函數(shù)模型的應用是高考的一個主要內(nèi)容，常與增長率相結(jié)合進行考查．在實際問題中有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以用指數(shù)函數(shù)模型來表示．通?？杀硎緸閥＝a(1＋p)x (其中a為原來的基礎數(shù)，p為增長率，x為時間)的形式． 解　(1)由題意知：f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－f(1)

24、6.24%＝f(1)(1＋3.12%)， f(3)＝f(2)(1＋6.24%)－f(2)6.24% ＝f(2)(1＋3.12%)＝f(1)(1＋3.12%)2， ∴f(x)＝19 800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)． (2)2008年諾貝爾獎發(fā)放后基金總額為f(10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136， 故2009年度諾貝爾獎各項獎金為f(10)6.24%≈136(萬美元)，與150萬美元相比少了約14萬美元，是假新聞． 變式遷移3　解　現(xiàn)有細胞100個，先考慮經(jīng)過1,2,3,4個小時后的細胞總數(shù)， 1小時后，細胞總數(shù)為 100＋1002＝100； 2小

25、時后，細胞總數(shù)為 100＋1002＝100； 3小時后，細胞總數(shù)為 100＋1002＝100； 4小時后，細胞總數(shù)為 100＋1002＝100； 可見，細胞總數(shù)y與時間x(小時)之間的函數(shù)關(guān)系為： y＝100()x，x∈N*， 由100()x>1010，得()x>108， 兩邊取以10為底的對數(shù)， 得xlg>8，∴x>， ∵＝≈45.45， ∴x>45.45. 答　經(jīng)過46小時，細胞總數(shù)超過1010個． 課后練習區(qū) 1．B　[通過檢驗可知，y＝log2x較為接近．] 2．B　[當0.5≤m<1時，[m]＝0，f(m)＝1.06； 當1≤m<2時，[m]＝1，f

26、(m)＝1.59； 當2≤m<3時，[m]＝2，f(m)＝2.12； 當3≤m≤3.1時，[m]＝3，f(m)＝2.65.] 3．B　[設A、B兩種商品的原價為a、b， 則a(1＋20%)2＝b(1－20%)2＝23 ?a＝，b＝，a＋b－46≈6元．] 4．B　[設扣稅前應得稿費為x元，則應納稅額為分段函數(shù)，由題意，得y＝ 如果稿費為4 000元應納稅為448元，現(xiàn)知某人共納稅420元，所以稿費應在800～4 000元之間， ∴(x－800)14%＝420，∴x＝3 800.] 5．A　[利潤L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142， 當x＝18時，L(x)有

27、最大值．] 6．a(chǎn)(1＋b)　a(1＋b)5 解析　由于2009年的垃圾量為a t，年增長率為b，故下一年的垃圾量為a＋ab＝a(1＋b) t，同理可知20xx年的垃圾量為a(1＋b)2t，…，的垃圾量為a(1＋b)5 t. 7．2 500 m2 解析　設所圍場地的長為x，則寬為，其中0

28、，x>0，所以x≥4. 故企業(yè)要成為不虧損企業(yè)，每月至少要生產(chǎn)4臺電機．………………………………(6分) (2)若企業(yè)虧損最嚴重，則n－m取最大值． 因為n－m＝－x2＋5x＋－x＋ ＝－＝－(x－1)2.………………………………………………………(9分) 所以當x＝1時，n－m取最大值， 此時m＝－＝. 故當月總產(chǎn)值為萬元時，企業(yè)虧損最嚴重，最大虧損額為萬元．………………(12分) 10．解　設樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)元， 則f(x)＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)．…………(5分) ∵f(x)＝560＋48(x＋)≥560＋48

29、2＝560＋4830＝2 000.……………(10分) 當且僅當x＝時，上式取等號，即x＝15時，f(x)min＝2 000. 所以樓房應建15層．……………………………………………………………………(12分) 11．解　(1)依題意有 y＝……………………………………………(4分) 由于y>0且x∈N*， 由　得6≤x≤10，x∈N*. 由 得1010時，y＝－3x2＋130x－575，當且僅當x＝－＝時，y取最大值，但x∈N*，所以當x＝22時，y＝－3x2＋130x－575 (10