勒貝格積分與黎曼積分的比較

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1、真誠為您提供優(yōu)質參考資料,若有不當之處,請指正。 Lebesgue積分與Riemann積分的比較 20141000449 陳佳龍 20141003908 王玨 20141000194 杜騰飛 摘要 我們知道,當涉及到某種物理量“累積”的時候,我們會立刻想到Riemann積分。它處理的模型有著“基本”連續(xù)的特點,事實上,連續(xù)我們已做了推廣.即限制在集合上連續(xù)的概念.如Delet函數是間斷的,但限制在無理點集或有理點集合是連續(xù)的.在經典物理學中,我們要處理的問題數學化后大多為連續(xù)或者間斷點不太多的情形。隨著量子物理的發(fā)展,所遇到的問題顯然以不能夠用R積分解決,在此背景下Leb

2、esgue積分得以迅速發(fā)展,儼然已發(fā)展為當代分析的主流。建立在勒貝格測度,及勒貝格可測函數上的勒貝格積分的出現晚黎曼積分近半個世紀,其理論體系在當代得以完善。其優(yōu)越性高于黎曼積分,應用更加廣泛。本文就黎曼積分與勒貝格積分在定義,性質方面做一些簡單比較,就連續(xù)函數,可測函數,黎曼可積函數,勒貝格可積函數,之間的關系以及黎曼可積函數類與勒貝格可積函數類的勢及包含關系進行比較. 關鍵詞: 黎曼積分,勒貝格可測函數,勒貝格積分,示性函數,連續(xù)函數,測度論,幾乎處處,零測集. 11 / 11 正文 一:黎曼積分與勒

3、貝格積分定義比較 R積分創(chuàng)立于19世紀中葉,近半個世紀之后的1902年法國數學家勒貝格創(chuàng)立了勒貝格積分。其初衷是試圖尋找解決諸如量子物理中的物理量與一般隨機量的數學期望值等課題。事實上運用L積分可以解決包括古典物理問題之外的更一般的問題?;诶肇惛駵y度論定義的勒貝格積分對函數的限制更加寬泛,已經跳出了定義于R上有界函數的范疇而上升到了廣義可測實函數,因而其研究范圍也由R上有界閉區(qū)間延伸到了整個的有界可測集E,進而借助示性函數我們可以將L積分定義在整個空間。這種優(yōu)越性是基于測度論與可測函數相關理論而在其定義上便已顯現出來了。為更好地說明L積分與R積分的異同,我們有必要將R積分的

4、定義在此描述。R積分是這樣定義的: 定義 設函數在區(qū)間上有定義,用分點 將區(qū)間分成個小區(qū)間。令表示一切小區(qū)間長度中的最大者,即。在每個小區(qū)間上任取一點,并且作和. 如果當時,和數不管分割如何取法,也不管如何取法,都有共同的極限,即 則稱此極限為函數從到的黎曼積分,記作 , 關于勒貝格積分有多種等價表述形式,為了更好的的說明問題,我們選取了兩種定義模式,當然還有其它的定義方式,如張喜堂老師編的《實變函數論的典型問題與法方》中,對L積分的定義是先從有界函數的L積分著手,即定義有限可測集E的一個分劃D,進而定義于D相關的小和數與大和數。最后定義有界函

5、數的上下勒貝格積分。若上下積分相等,則稱函數勒貝格可積。就本文所列舉的的兩種定義而言,其中第一種定義模式仿照了黎曼積分的定義,而第二種以測度為基礎,先定義簡單函數的積分,進而定義一般函數的積分,此種方式也適用于一般測度空間上的積分。在后面的相關論述中我們將主要選取第二種方式。 定義1:設勒貝格可測集E的勒貝格測度有限().設是E上有界可測函數()。任取分點令 任取若當時,和存在極限A,則稱A是在E上的勒貝格積分,簡稱L積分,記為 由此可以看出與黎曼積分不同勒貝格積分是劃分值域而不是劃分定義域來求和的。顯然與黎曼函數不同,由于黎曼積分要求小區(qū)間的長度而勒貝格積分要求定義域的測度

6、,故對定義在定義在多維有界可測集上的廣義實函數這樣定義其積分就顯得自然流暢,而黎曼積分只能對“ 標準”的實函數定義積分。 第二種定義方式是基于勒貝格測度論與勒貝格函數論,先定義有界可測集上簡單函數的勒貝格積分,進而定義一般可測函數的L積分,最后定義無限可測集上的可測函數的勒貝格積分。此種定義,借助測度的性質及勒貝格可測函數的性質,對勒貝格積分性質的討論自然流暢。 定義2.1 有界可測集E上簡單函數L積分定義為,設E上簡單函數有表示 其中等為互不相交的可測集,稱和為簡單函數在E上的積分,并記為 有時可以簡寫成。 對于以上定義,我們可以把記號中

7、的換成是允許的,從以上簡單函數L積分的定義可以看出當為一個常數c時,其積分值為c倍的可測集E的測度。而當c為1時,該積分值為可測集E的測度。另外還應注意,簡單函數積分同函數表示式無關,即 在敘述一般函數L積分定義之前,有必要先對簡單函數L積分的一些性質進行描述。 (i)如果簡單函數的正部與負部分別為與,則有 簡單函數的L積分具有線性可加性(ii)設,是E上簡單函數,,是常數,則有 (iii)設是E上簡單函數,,,為互不相交的可測集,則 對于以上簡單函數L積分的性質我們可以類比定義在閉區(qū)間上的連續(xù)函數的黎曼積分的線性性質。 我們

8、知道,勒貝格可測集E上的可測函數均可由E上的簡單函數列逼近,那么,自然會問,E上的可測函數的勒貝格積分與簡單函數的勒貝格積分是何種關系。事實上,我們可以通過簡單函數的L積分來定義有界可測集合E上的可測函數的勒貝格積分 定義2.2:設是有界可測集E上的可測函數,對于的情形,取簡單函數滿足,令變動,定義在E上的L積分為 此式右邊非負數或.如果此量為有限,則稱在E上L可積。否則只說在E上的積分為(即此時稱函數在可測集E上不可積).對于更一般的可測函數,當與不同時為時,定義在E上的積分為 . 當此右式兩項均有限時,也只有在此時積分是有限的,我們稱在E上可積,記作或簡記為.當右邊兩項均不

9、可積時,原積分無意義.即,積分不存在.當右邊兩項有一項不可積分時,我們稱函數不可積. 以上便是可測函數在有界可測集E上的勒貝格積分的定義的第二種處理方式。我們有必要強調,我們只考慮對定義在可測集E上的勒貝格可測函數定義勒貝格積分。事實上,在上面的所有論述中,我們都是假定可測集E是有界的。事實上,對于無界可測集上的可測函數亦是可以定義其勒貝格積分的.其處理方式是將定義在有界可測集上的簡單函數推廣到無界。對比黎曼積分,我們可以將有界區(qū)間推廣為無界,即無窮積分 。最后關于L積分的定義,我們可以借助可測集E的示性函數將L積分的定義推廣到整個空間。我們還應指出,對于非負函數的L積分表現為n+1維

10、測度。這與非負函數的黎曼積分表下表為面積是相近的。其實上,對于一維非負函數的L積分也表現為“面積” 對比定義在閉區(qū)間上函數黎曼積分的定義,其方式上是不同.當然,最根本的不同是其處理的問題不同且 L積分的定義更加廣泛。我們知道,可測集E上的連續(xù)函數都是可測的,且黎曼積分處理的均為一維區(qū)間上的函數,即定義在Borel集的一個子集類上的函數,由于Borel集是可測的,所以對于黎曼積分的問題我們都可以試圖用勒貝格積分去考慮 。 二,勒貝格可積函數類與黎曼可積函數類 對于黎曼可積函數的判定,我們有上和,下和,的概念。并且有振幅的概念,即函數黎曼可積的充要條件是.我們

11、知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數是黎曼可積的.這樣就確定了一大類黎曼可積函數。并且我們還有閉區(qū)間上的單調有界函數是黎曼可積的,閉區(qū)間上間斷點不多的函數是黎曼可積的。以及黎曼可積函數的必要條件即函數必須是有界的,這樣又排除了一類黎曼不可積函數。我們知道,可測集上的連續(xù)函數是可測的,并且?guī)缀跆幪幱邢薜目蓽y函數基本上是連續(xù)函數。那么我們自然會問,定義在可測集上的連續(xù)函數是否是L可積的?是不是R可積了就一定L可積,如果不是,那么L可基函數與R可積函數類之間有何關系呢?是否某一類函數一定是L可積的,或者那一類函數一定是L不可積的呢?最后既然勒貝格可測函數可用連續(xù)函數逼近,那么勒貝格可積函數是不是能用連續(xù)函數逼近呢

12、?對與上述問題的回答,將在該部分該部分做出論述。 1) 有界可測函數必勒貝格可積. 2) 勒貝格可積函數必幾乎處處有限. 注釋:上述可測函數定義在有界可測集E上。 3)定理1 設是上的 勒貝格可積函數,則對任何正數,有上的連續(xù)函數,使 4)定理2 定義在有限區(qū)間上的函數若為R可積,則必L可積分,且積分相等. 注釋:上述四條回答了最初的提問,即勒貝格可積函數與黎曼可積函數之間的關系,其中就“4)”,可以做補充,即“函數在上R可積的充要條件是函數在上地不連續(xù)點所成之集測度為0”.可以看出,若不考慮反常積分,則黎曼可積的函數是勒貝格可積的。并且可以看出,定義在 區(qū)

13、間上的勒貝格可積函數是可以用連續(xù)函數來平均逼近的。對比幾乎處處有限的函數可用連續(xù)函數逼近,此處的條件明顯加強了 。事實上勒貝格可積函數必是幾乎處處有限的,則在區(qū)間上的L可積函數必是幾乎處處有限的,那么此處將可測 函數限制在了閉區(qū)間上,而不是多維閉區(qū)間或者是有界 可測集E上,雖不太完美,但也很漂亮。 5)若,則E上的任何函數都是L可積的,并且積分等于0 注釋:我們知道,定義在零側集上的函數均可測,而上述定理告訴我們零側集上勒貝格積分的性質,兩者統(tǒng)一來看,是非常漂亮的結論,此結論也告訴我們一個重要事實:在一個測度為零的集合上改變函數的值,既不影響函數的可積性,也不敢變其積分值. 三

14、:勒貝格積分與黎曼積分性質的比較。 比較完勒貝格積分與黎曼積分的定義與函數類之后,最后我們對勒貝格積分與黎曼積分的性質進行比較.該部分的論述將分兩部分進行,其中第一部分就函數而言,第二部分就函數列而言.其中對可測函數列的勒貝格積分的討論中,我們會與一致收斂的函數項級數的相關性質進行比較.事實上對積分性質的比較,應該就特殊函數與特殊可測集進行更加細致的討論,如有關可測集示性函數的L積分的相關性質及Cantor集上可測函數勒貝格積分的性質進行論述。然而由于時間原因,此部分內容無法進行細致學習與論述,實感遺憾。 ?about function 1. 勒貝格積分的線性性質: 定

15、理3 設在E上勒貝格可積,則對任何實數c,c也可積,且. 定理4 設,在E上均L可積,則也可積,且 注釋:上述定理中可測集E并不限定在有限,也可無限.對比黎曼積分,也有與之等價的性質. 2.與幾乎處處有關的性質: 定理5 設,在有界可測集E上均勒貝格可積,且,則 定理6 若于有界可測集E,在E上可積,則也在E上可積.且, . 注釋:上述定理中E可以為無限可測集.對于黎曼積分,也有與之等價的性質.事實上,上述定理中的條件均可以減弱.即“若 于E,則”“若于E上,在E上可積,則也在E上可積.且,”.關于定理5,有一推論

16、 推論1 設是有界可測集E上的可測函數,,則 注釋:由于有界可測函數是勒貝格可積的,再對比定理5,該推論顯然是成立的。事實上,當時,.當 =0時,. (錯誤推斷)設,都是E上的可測函數,(E也可取無界),可積,且 于E,一定可積. 注釋:對于上述錯誤推斷,加強條件,則可得到如下性質. 定理8 若在E上可測,在E上勒貝格可積分,且,,則在E上可積. 3. 有些性質是勒貝格積分特有的,有些黎曼積分的性質,勒貝格積分卻不一定有. 定理9 (勒貝格積分的絕對可積性)在有界可測集E上勒貝格可

17、積的充要條件是在E上可積 注釋:事實上,E可以是無界的,并且我們還有以下性質 對比黎曼積分,此性質是不成立的.我們可以說,黎曼可積則黎曼可積,但是黎曼可積推不出黎曼可積.如 此函數顯然黎曼不可積,而 ,顯然是黎曼可積的. 定理10 為E上的勒貝格可積函數,則在E上不一定L可積分. 注釋:對比黎曼積分,黎曼可積,則可推出是黎曼可積的. 我們構造下列函數 該函數是L可積的,然而L不可積. 4 勒貝格積分的其他性質 定理11(唯一性定理)設在有限可測集E上勒貝格可積,則的充要條件是在E上幾乎處處為零

18、. 注釋:該定理中E可以為無限,該定理有下列推論 推論2 若,則于E. 定理12(有限可加性)設是有界可測集E上的勒貝格可積函數,等均可測且兩兩互不相交,則有 注釋:此定理可以中E可以為無限.此性質可以對比黎曼積分的如下性質,即“在區(qū)間上黎曼可積的函數,有 其中任意c,d,...n屬于.事實上對于一維無界區(qū)間而言黎曼積分的該性質亦是成立的. 定理13,(/完全可加性)設是有界可測集E上的勒貝格可積函數,等均可測且兩兩互不相交,則有 注釋:該定理中E可為無界可測集, 定理14(絕對連續(xù)性)設在有界可測集E上L可積,則對任意,有,使當時就有 注釋:此定理中E可以是無

19、界.此定理若將積分看成更高階維空間的測度,則即n維空間任意小的空間都對應與n+1維任意小的空間.若將積分看成原函數,則原函數是絕對連續(xù)的,對應黎曼積分有性質“設在上黎曼可積,則對任意,是的連續(xù)函數”. ? about function column 定理 15 設是有界可測集E上的非負的勒貝格可積函數,是滿足條件 ; 的簡單函數列,則 注釋:此定理中E可以是無界,且若勒貝格積分存在,此定理也是成立的,收斂與L可積函數的簡單漸升函數列積分符與極限符號是可交換的.即 對比黎曼積分的性質,函數項級數一致收斂,則部分和函數的極限號與積分

20、號方可交換,可見,勒貝格積分要方便很多. 定理 16 (勒維定理)設可測集E上可測函數列滿足下面條件: ; 則的積分序列收斂于的積分: 注釋:顯然該定理更具樸實意義,即收斂的可測函數列的積分符與極限符號可交換.該定理是勒貝格積分的重要極限定理之一,也是勒貝格積分論的核心定理之一,其應用非常廣泛.與函數項級數的相關定理對比,可看出勒貝格積分在對收斂的要求上明顯寬松很多,這也便是勒貝格積分教黎曼積分更加優(yōu)越的原因之一了. 定理(法杜定理)設是可測集E上的非負可測函數列,則 注釋:該定理便是勒貝格積分的又一重要極限定理,也稱法圖定理,較勒維定理,該定理有明顯放松了,即不要求函數列收斂,只要求其可測. 參考文獻:《實變函數與泛函分析概要》第四版 鄭維行 王聲望 高等教育出版社 《實變函數論》第二版 周民強 北京大學出版社 《實變函數論的典型問題與方法》 張喜堂 華中師范大學出版社 《數學分析》 北大數學系編 高等教育出版社 《數學分析》 復旦數學系 編 高等教育出版社 《中華百科全書,數學》

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