勒貝格積分和黎曼積分的聯(lián)系與區(qū)別

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1、真誠為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請指正。 勒貝格積分和黎曼積分的聯(lián)系與區(qū)別 摘 要 本文討論勒貝格積分是與黎曼積分的聯(lián)系與區(qū)別，勒貝格積分和黎曼積分積分之間有一種相依賴、相互補充、相互幫助及在特定條件下相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，勒貝格積分在積分與極限換序的條件要求上有比黎曼積分優(yōu)越的好處。在實變函數(shù)里引入勒貝格積分是為了彌補黎曼積分的不足，可以擴大可積函數(shù)類，降低逐項積分與交換積分順序的條件。勒貝格積分拓廣了黎曼積分的定義,使得可積性的條件要求減弱了。它斷言可測集上的有界可測函數(shù)和單調(diào)函數(shù)必勒貝格可積,這比黎曼積分中要求連續(xù)函數(shù)、單調(diào)函數(shù)的條件放松多了。它放松了黎曼積分要求函數(shù)序列

2、的一致收斂的過強的要求。 關(guān)鍵詞：勒貝格可 黎曼可積 勒貝格積分 黎曼積分 1、定義 1.1黎曼積分定義 設(shè)在上有定義 1） 分割分劃，將添加n-1個分點T：將分成n個小區(qū)間 2） 取近似 3） 4） 取極限令—T的細度，若存在 1.2勒貝格積分定義 設(shè)在有限可測集E上有界 1） 為E的n個互相不相交的可測子集且稱為E的一個L-分劃 2） 設(shè)，均為E的一個L-分劃，若對存在稱細（的加細） 3） 設(shè)為E的一個L-分劃，稱 在劃

3、分D下的小和 在劃分D下的大和 2黎曼積分和勒貝格積分的聯(lián)系 對于定義在上的函數(shù)，如果它是黎曼可積的，則它勒貝格可積的，而且有相同的積分值，故我們平時解題算勒貝格積分時，一般先考慮該函數(shù)是否黎曼可積，如果可以，那么就先化為黎曼積分求解，因為我們在學(xué)數(shù)分時，已經(jīng)熟悉了黎曼積分。對于無界函數(shù)的積分或函數(shù)在無窮區(qū)間上的積分，黎曼積分是作為廣義積分來定義的，這時要求是單調(diào)增加的可測集合列，其并為E，若極限存在，則在E上勒貝格可積，且有= 當(dāng)是矩體且在每個上都是有界連續(xù)函數(shù)，同時滿足<時，可以通過計算黎曼積分而得到勒貝格積分= 而且計算方法與的選擇沒有關(guān)系，只需保證單調(diào)

4、增加到并集E。 例1：設(shè)是區(qū)間上的有界單調(diào)函數(shù)，的不連續(xù)點至多是可列集，因此在上是幾乎處處連續(xù)的，又因為在上是有界的，在上是黎曼可積的，所以也是勒貝格可積。 但是，必須指出，具有廣義黎曼積分的函數(shù)并不一定勒貝格可積。 例2：設(shè)=，在數(shù)分中，在上的廣義黎曼積分收斂的，但不是絕對收斂的而在上不是勒貝格可積的 平時我們在解勒貝格積分時，有很多可以先化為求黎曼積分，下面我們看看幾個例子。 例3：計算=在上的積分 解：用截斷函數(shù)求解 是上的非負函數(shù)，作截函數(shù) 顯然，對每個均黎曼可積，故也勒貝格可積 = = 于是= =

5、 = 例4：設(shè)，E上函數(shù) [1] 求 解：作截斷函數(shù) 取，由于在上黎曼可積，故 = =2 =3- = = =3 勒貝格積分是黎曼積分的推廣與發(fā)展,是一種新型積分理論。相對于黎曼積分而言,勒貝格積分處理一些問題是相當(dāng)靈活與自然的，上面的例題就充分的說明了這點。 3勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別 黎曼積分相對勒貝格積分有明顯的局限性。勒貝格積分比黎曼積分有明顯的優(yōu)勢，它將可積函數(shù)類拓廣為有界可測函數(shù)。勒貝格積分的可積范圍比黎曼積分廣泛，比如：上的

6、連續(xù)函數(shù)黎曼可積，也勒貝格可積，此外，還有非黎曼可積，但勒貝格可積的例子有很多，如上的狄立克萊函數(shù) [2] 就是黎曼不可積，但是勒貝格可積。 勒貝格積分包含了黎曼積分，這樣的結(jié)論：在上黎曼可積，則有勒貝格可積，且積分值相同。 在數(shù)分中,經(jīng)常遇到的一個重要問題是兩種極限過程的交換次序問題,尤其是積分與函數(shù)列的極限的交換問題在那里，一般都是用函數(shù)列一致收斂的條件來保證極限運算與積分運算的次序可以交換但是，“一致收斂”這個條件是過于苛刻了,這也暴露出黎曼積分定義的缺陷。 其實黎曼積分與勒貝格積分大體上是相似的，僅從分割函數(shù)的定義域的角度來說，其區(qū)別在于黎曼積分所考慮的分劃（如定義

7、），只是把原來的區(qū)間分解成有限多個小區(qū)間，而勒貝格積分的分劃則是把分成有限多個互不相交的可測子集，由定義對比可知，前者的分劃必是后者的分劃，所以黎曼意義下的大、小和必是勒貝格意義下的大、小和，故得到相同的積分值。 因為勒貝格積分相對黎曼積分的優(yōu)越性，所以平時我們運用勒貝格積分解決黎曼積分中較難的問題。 例5：計算黎曼函數(shù) 的積分 [3]。 這個函數(shù)在所有無理點處事連續(xù)的，在有理點是不連續(xù)的，雖然在中有無窮多個有理點，即黎曼函數(shù)在上的不連續(xù)點有無窮多個，但這個函數(shù)在仍然是黎曼可積的，且有，但是用黎曼積分方法來求其積分值比較復(fù)雜，然而用勒貝格積分的方法來求積分值就顯然十分簡單了。 解：

8、由是黎曼可積幾乎處處連續(xù)，所以令，，則 = =0+ = =0 例6：已知 求 解：令 a.e.于 == == = 利用勒貝格積分可得出較黎曼積分比較深刻的結(jié)論,其中之一就是函數(shù)黎曼可積條件的推廣。利用勒貝格積分理論中的積分極限定

9、理,可以證明[4]:上的有界函數(shù),黎曼可積的充分必要條件是在上幾乎處處連續(xù)即不連續(xù)點的測度長度為0 ,這是黎曼積分的本質(zhì)特性,從黎曼積分的自身理論是推不出來的 ,必須借助勒貝格積分理論才能得到。但是黎曼積分也有它的優(yōu)勢，比如在非均勻分布時“直線段”質(zhì)量、平面薄板質(zhì)量等等的問題上，用黎曼積分比較簡捷方便 。 總結(jié)： 1、勒貝格積分和黎曼積分積分之間有一種相依賴、相互補充、相互幫助及在特定條件下相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系,它從數(shù)學(xué)側(cè)面驗證了科學(xué)哲學(xué)思想中的對應(yīng)原理。 2、勒貝格積分拓廣了黎曼積分的定義,使得可積性的條件要求減弱了。它斷言可測集上的有界可測函數(shù)和單調(diào)函數(shù)必勒貝格可積,這比黎曼積分中要求

10、連續(xù)函數(shù)、單調(diào)函數(shù)的條件放松多了。 3、勒貝格積分在積分與極限換序的條件要求上有比黎曼積分優(yōu)越的好處。它放松了黎曼積分要求函數(shù)序列的一致收斂的過強的要求。由勒貝格控制收斂定理可知,只要所給函數(shù)列可測、有界、收斂,積分與極限就可換序,這一點在三角級數(shù)、熱學(xué)研究中非常重要。 4、勒貝格積分并沒有完全否定和拋棄黎曼積分,它把黎曼積分作為一種特例加以概括,并且在一定條件下勒貝格積分可以轉(zhuǎn)化為黎曼積分。由此可見,勒貝格積分和黎曼積分各有自己的優(yōu)勢和價值。在計算連續(xù)函數(shù)的積分時, 黎曼積分要比勒貝格積分簡便、優(yōu)越。但勒貝格積分是積分發(fā)展史上的一次革命,它使得積分論在集合論、測度論的基礎(chǔ)上走向現(xiàn)代化,從

11、而有可能在現(xiàn)代水平的層次上向其它現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支滲透,促進了其它學(xué)科的發(fā)展,特別是三角級數(shù)和函數(shù)序列方面。概率論,泛函分析等學(xué)科也受到勒貝格積分的積極影響。 此外, 勒貝格積分作為純粹數(shù)學(xué)研究的產(chǎn)物,后來在熱學(xué),統(tǒng)計力學(xué),控制論等自然學(xué)科得到深刻而重要的應(yīng)用。 參考文獻 [1]、孫清華，孫昊 實變函數(shù)內(nèi)容、方法與技巧[M] 華中科技大學(xué)出版社，2004 [2]、程其襄，張奠宙，魏國強等 實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M] 高等教育出版社 2003 [3]、沈鳳英 淺談勒貝格積分與黎曼積分[J] 蘇州教育學(xué)院學(xué)刊 1987第一期 [4]、侯有良 實變函數(shù)論[M] 武漢大學(xué)出版社 2008 8 / 8