現(xiàn)代控制理論大作業(yè)倒立擺11[共33頁(yè)]

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1、摘要 倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的、高度非線(xiàn)性的、不穩(wěn)定的高階系統(tǒng), 是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代控制理論最合適的實(shí)驗(yàn)裝置。倒立擺的控制是控制 理論應(yīng)用的一個(gè)典型范例，一個(gè)穩(wěn)定的倒立擺系統(tǒng)對(duì)于證實(shí)狀態(tài)空間 理論的實(shí)用性是非常有用的。 本文主耍研究的是二級(jí)倒立擺的極點(diǎn)配置方法，首先用Lagrange 方程建立了二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型，然后対二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性 進(jìn)行了分析和研究，并給出了系統(tǒng)能控能觀性的判別?；诂F(xiàn)代控制 理論中的極點(diǎn)配置理論，根據(jù)超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間來(lái)配置極點(diǎn)，求岀反 饋矩陣并利JlJSimulink對(duì)其進(jìn)行仿真，得到二級(jí)倒立擺的變化曲線(xiàn), 實(shí)現(xiàn)了對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。 關(guān)鍵詞：二級(jí)倒立擺；極

2、點(diǎn)配置；Simulink 目錄 2數(shù)學(xué)模型的建立和分析 1 2. 1數(shù)學(xué)建模的方法 1 2. 2二級(jí)倒立擺的結(jié)構(gòu)和工作原理 2 2.3拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程 3 2. 4推導(dǎo)建立數(shù)學(xué)模型 4 3二級(jí)倒立擺系統(tǒng)性能分析 10 3. 1穩(wěn)定性分析 10 3.2能控性能觀性分析 11 4狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置 12 4. 1二級(jí)倒立擺的最優(yōu)極點(diǎn)配置1 12 4. 2二級(jí)倒立擺繪優(yōu)極點(diǎn)配置2 13 5. 二級(jí)倒立擺 matlab仿真 15 5. 1 Simul ink搭建開(kāi)環(huán)系統(tǒng) 15 5. 2開(kāi)環(huán)系統(tǒng)Simul ink仿真結(jié)果 15 5. 3 Simul ink搭建極點(diǎn)配置后的

3、閉環(huán)系統(tǒng) 16 5. 4極點(diǎn)配置Simul ink仿頁(yè)?結(jié)果 17 5. 4. 1第一組極點(diǎn)配置仿真結(jié)果 17 5. 4. 2第二組極點(diǎn)配置仿真結(jié)果 19 6. 結(jié)論 20 7. 參考文獻(xiàn) 21 附錄一 22 1.緒論 倒立擺加初誕生于麻省理工學(xué)院，僅有-?級(jí)擺桿，另i端錢(qián)接于可以在立線(xiàn) 導(dǎo)軌上自由滑動(dòng)的小車(chē)上。后來(lái)在此基礎(chǔ)上，人們乂進(jìn)行拓展，設(shè)計(jì)出了直線(xiàn)二 級(jí)倒立擺、環(huán)型倒立擺、平面倒立擺、柔性連接倒立擺、多級(jí)倒立擺等實(shí)驗(yàn)設(shè)備。 在控制理論的發(fā)展過(guò)程中，為驗(yàn)證某一理論在實(shí)際應(yīng)用屮的可行性需耍按其 理論設(shè)計(jì)的控制器去控制一個(gè)典型對(duì)象來(lái)驗(yàn)證。倒立擺系統(tǒng)作為-個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置， 形象直

4、觀，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，成本低廉：作為一個(gè)控制對(duì)象，他乂相當(dāng)復(fù)雜，同時(shí)就其 本身而言，是一個(gè)高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線(xiàn)性、強(qiáng)耦侖系統(tǒng)，只有采取行 Z冇效的控制方法才能使Z穩(wěn)定，因此倒立擺裝置被公認(rèn)為是自動(dòng)控制理論中的 典型實(shí)驗(yàn)設(shè)備。 綜合文獻(xiàn)資料，倒立擺控制的方法主要有：PID控制，狀態(tài)反饋，利用云模 型，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制，遺傳算法，自適應(yīng)控制，模糊控制，變論域自適應(yīng)模糊控制 理論，智能控制等多種算法來(lái)實(shí)現(xiàn)倒立擺的控制。 本文卞要構(gòu)建二級(jí)倒立擺的數(shù)涕模型的建立與分析，對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行控制 方法的研究。木文就以下幾個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了論述。 1. 二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型的建立與分析。 在建模部分，首先采用拉格

5、朗日方程推導(dǎo)數(shù)學(xué)模熨，并對(duì)系統(tǒng)的對(duì)控性可觀 性進(jìn)行分析，并分析倒立擺系統(tǒng)控制的難易程度。 2 ?二級(jí)倒立擺的控制原理及方法的研究。 本文主要采川狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置的方法對(duì)二級(jí)倒立擺進(jìn)行研究。 3?采用Ma(lab語(yǔ)言進(jìn)行數(shù)了仿真，分析仿真結(jié)果。 2數(shù)學(xué)模型的建立和分析 2.1數(shù)學(xué)建模的方法 所謂系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型就是利川數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來(lái)反映系統(tǒng)內(nèi)部之間、內(nèi)部與外部某 些因素之間的粘確的定量的農(nóng)示。它是分析、設(shè)計(jì)、預(yù)報(bào)和控制一個(gè)系統(tǒng)的基礎(chǔ)， 所以要對(duì)一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行研究，首先要建立它的數(shù)學(xué)模型。 建立倒立擺系統(tǒng)的模型時(shí)，一般采用牛頓運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)果要解算大量的微分 方程組，而且考慮到質(zhì)點(diǎn)組受到的約朿

6、條件，建模問(wèn)題將更加復(fù)雜，為此本文采 用分析力學(xué)方法屮的Lagrange方秣推導(dǎo)倒立擺的系統(tǒng)模型。Lagrange方程有如 下特點(diǎn)： 1.它是以廣義坐標(biāo)表達(dá)的任意完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式，方程式的數(shù)目和系統(tǒng) 的自由度是一致的。 2?理想約束反力不出現(xiàn)在方程組中，因此在建立運(yùn)動(dòng)方程式時(shí)，只需分析已 知的主動(dòng)力，而不必分析未知的約束反力。 3. Lagrange方程是以能量觀點(diǎn)建立起來(lái)的運(yùn)動(dòng)方程，為了列出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng) 方程，只需要從兩個(gè)方而去分析，一個(gè)是農(nóng)征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)量一系統(tǒng)的動(dòng)能, 另一個(gè)是表征主動(dòng)力作用的動(dòng)力學(xué)量一廣義力。 因此用Lagrange方程來(lái)求解系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以大大簡(jiǎn)化建

7、模過(guò)程。 2?2三級(jí)倒立擺的結(jié)構(gòu)和工作原理 如圖2.1,系統(tǒng)包描計(jì)算機(jī)、運(yùn)動(dòng)控制卡、伺服機(jī)構(gòu)、倒立擺本體（小車(chē)， 上擺，下擺，皮帶輪等）和光電碼盤(pán)兒大部分，組成了--個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。光電碼盤(pán) 1將小車(chē)的位移、速度信號(hào)反饋給伺服驅(qū)動(dòng)器和運(yùn)動(dòng)控制卡，下面一節(jié)擺桿（和 小車(chē)相連）的角度、角速度信號(hào)由光電碼盤(pán)2反饋回控制卡和伺服駁動(dòng)器，上面 一節(jié)擺桿的角度和角速度信號(hào)則山光屯碼盤(pán)3反饋。計(jì)算機(jī)從運(yùn)動(dòng)控制卡中讀取 實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，確定控制決策（小車(chē)向哪個(gè)方向移動(dòng)、移動(dòng)速度、加速度等），并由 運(yùn)動(dòng)控制卡來(lái)實(shí)現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)小車(chē)運(yùn)動(dòng)， 保持兩節(jié)擺桿的平衡。 3 圖2

8、.1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和工作原理圖 2.3拉格朗H運(yùn)動(dòng)方程 拉格朗口捉出了用能暈的方法推導(dǎo)物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，首先我們引入廣義 坐標(biāo)，拉格朗日方程。 廣義坐標(biāo)：系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)是描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)必需的一紐.獨(dú)立坐標(biāo)，廣義坐標(biāo) 數(shù)等同于系統(tǒng)自由度數(shù)。如杲系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)用〃維廣義處標(biāo)"血…來(lái)表示，我 們可以把這〃維廣義朋標(biāo)看成是〃維空間的〃位處標(biāo)系小的處標(biāo)。對(duì)于任一系統(tǒng) 可由〃維空間中的一點(diǎn)來(lái)農(nóng)征。系統(tǒng)在〃維空間中運(yùn)動(dòng)形成的若干系統(tǒng)點(diǎn)連成丄 條Illi線(xiàn)，此Illi線(xiàn)表示系統(tǒng)點(diǎn)的軌跡。 拉格朗日方程： 比=血0-他心 (2.1) 式中，丄一拉格朗日算子， q — 系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)， T — 系統(tǒng)的動(dòng)

9、能， y — 系統(tǒng)的勢(shì)能。 拉格朗u方程由廣義坐標(biāo)乞和厶表示為： d 0厶 8厶_ dtOQj dq「f， (2.2) 式中，心1,2,3?"，./；——系統(tǒng)沿該廣義處標(biāo)方向上的外力，在木系統(tǒng)中，設(shè)系 統(tǒng)的三個(gè)廣義坐標(biāo)分別是X, %%。 2.4推導(dǎo)建立數(shù)學(xué)模型 在推導(dǎo)數(shù)學(xué)模梨之前，我們需要幾點(diǎn)必要的假設(shè)： 1?上擺、下擺及小車(chē)均是剛體； 2. 皮帶輪與傳動(dòng)帶之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)；傳動(dòng)皮帶無(wú)伸長(zhǎng)現(xiàn)象； 3. 小車(chē)運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的燃擦力正比于小車(chē)的速度； 4. 小車(chē)的驅(qū)動(dòng)力與直流放人器的輸入成正比，且無(wú)滯后，忽略電機(jī)電樞繞組 屮的電感； 5. 下擺轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所受到的摩擦力矩正比于下擺

10、的轉(zhuǎn)動(dòng)速度； 6. I：擺運(yùn)動(dòng)時(shí)所受到的燃擦力矩正比于上擺對(duì)卜-擺的相対角速度； 二級(jí)倒立擺的運(yùn)動(dòng)分析示意圖如圖2. 2 圖2. 2二級(jí)倒立擺運(yùn)動(dòng)分析示意圖 擺桿1轉(zhuǎn)動(dòng)中心到桿質(zhì)心距離/)=0. 09m 擺桿2轉(zhuǎn)動(dòng)屮心到桿質(zhì)心距離；2=0. 27m 作用在系統(tǒng)上的外力F 倒立擺系統(tǒng)參數(shù)如下： 小車(chē)系統(tǒng)的等效質(zhì)量能1. 32Kg 擺桿1質(zhì)量心0.04Kg 擺桿2質(zhì)量斫0. 132Kg 質(zhì)雖塊質(zhì)雖〃=0. 208Kg 擺桿1與垂直向上方向的夾角仇 擺桿2與垂直向上方向的夾角

11、$ 首先，計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能： 11 (2. 3) 心小車(chē)動(dòng)能: (2. 4) G擺桿1動(dòng)能: (2. 5) 式中，昨】一擺桿i質(zhì)心平東動(dòng)能 丁爲(wèi)--擺桿1繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 T- 1 clt COS&J、 山 > =* — 加占迪 cos + * mJ\^\ (2. 6) (2. 7) 1 ( 1 72)彳 (2. 8) =丄 /n{x2 _ mJ}xO{ cos ^ + — 3 (2. 9) 幾2擺桿2動(dòng)能: 式中，昨2 一擺桿1質(zhì)心平東動(dòng)能 Tn； 2擺桿1繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)

12、動(dòng)能 丁， 1 ( d(x - 21, sin 6. -1、sin 仇 dt dt :二嚴(yán) !―」一- =—叫(x - 2/]& cosq -i-,0, cos g r + 二叫(2/岡 sin q +1 sin 0) (2. 10) 腫叢2 ”弓収(2. 11) $ (f 2 _ 2f(2/[價(jià) cos q +1202 cos Q)) 厝弦+4仏切2姻-砒 (2. 12) 乙3質(zhì)量塊動(dòng)能: d(x-2/| sin%) dt (d(2/|COS%) I ~dt~ (2. 13) =y m3x2 — 2叫cos q + 2叫

13、 f Oj 因此，可以得到系統(tǒng)總動(dòng)能: 1 1 ? :> ? = — Mx? + — /nlx2 一mJ、迪 cos。】 4^ ^2^ + -^/w2(x2 — 2左(2/& cos q +1101 cos &2)) +如4/灣+抑;+4仏她co姻-q) +舟叫壬—2叫人土& cos q + 2mJ農(nóng) (2. 14) 系統(tǒng)的勢(shì)能為: 加誇/[ cos 9{ + 2叫g(shù)h cos0、+ 叫g(shù)(2l\ cos 目 + 厶 cos g) (2. 15) 至此得到拉格朗II算子L： =—Mx2 4-—WjX2 - mJ、迪 cos 4 +—叫祐j

14、2 2 3 + — tn2 {.r2 - 2f(2/]Qj cos q +1202 cos 02)) s 4也2 +藥隅 + 4“2如2 COS(仇-q ) k 3 4-i/M3X2 - 2叫1\乂0\ COS 0\ 4- 2叫1 農(nóng)-/W|g/j COS 0\ (2.16) -2m3g/1 cosq -m2g(2/j cos0】+/2 cosft) 由于因?yàn)樵趶V義坐標(biāo)上均無(wú)外力作用，有以下等式成立: (2. 17) (2. 18) 展開(kāi)(2.17)、(2. 18)式,分別得到(2?⑼、(2. 20)式 6叫1 眞 sin - 0J +

15、 4(〃7[ + 3(w2 +加3)"1& - 3(-2〃叢& cos(g - 0J (2. 19) + (〃片 + 2(加2+加3))仗 sin +xcos0))) = O -3gsinft-6/,^sin(^ -ft)+4/2ft +6/]^ cos(ft -^)-3xcosft =0 (2. 20) 將(2.19)、(2.20)式對(duì)價(jià)，&求解代數(shù)方程，得到以下兩式 ? ? =(3(-2gm} sin&[ _4g他 sin^ -4m3gsin^ + 3w2g cos(ft - )sin 02 +6〃Mi cos(q -爲(wèi))sin(q -&2)/ +4w2/2 sin(0( -f

16、t )0； -2 加衣cos (2.21) -4〃??Fcosq -4〃疝 cos 4-3/772xcos(0] -02)cosft))/ (2/](4”] -1 加2 -1 加3 +9舉 cos2^ - ft))) 02 =-(-善叫(mi + 3(w2 + 刃3))/：厶(一3gsin 02 - 6/)Q； sin(0} -02)-3xcos 02) + 扌 w2/|/2 cos( q - $ )(6叫匚電 sin(0X — 6^,) — 3(〃7| + 2( + ))(g sin B、+ x cos ))) / 9 表示成以下形式: "m2(m} + 3(加2 + + 4加

17、;/；/； COS‘(G -&2)) (2. 22) (2. 23) &二 Z（x，G，2, 取平衡位置時(shí)各變量的初值為零， 念 ）=（0,0,0,0,0,0,0）=0 將（2. 23）式在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并線(xiàn)性化，令 K =並| 二3（-2納_4帥2_4覿） 12 bOx != 2（-4“ _3加2 _12旳）4 (2. 24) (2. 25) (2. 26) (2? 27) K =並| 一 9叫g(shù) 13 aft|/,=0 2(-4〃7|-3勒_12旳)/] 心=瓠。=0

18、 心囁』0 3(-2的-w2 _4%) "= - 2(-4w, -3w2 -12/w.X 得到線(xiàn)性化之后的公式 將a 新乙3在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并線(xiàn)性化, K 2g(超+2(“+)) 4/77,/, — (7W] +3(也 4-/77?))/, 3(4，2 4g(加]+3( +呻) 罟 0q+3("+)”2) 3軌。=0 /2O 得到 即: =0 4 2(/7?! + 2(/W2 + 加3 ))_ (加1 + 3(加2 + 加 J 4m2l2 -—(w, +3(加2 + 碼))厶 (2. 28) (2. 29) (2. 30) (2.31)

19、 (2. 32) (2. 33) 令 (2. 34) (2. 35) (2. 36) (2. 37) (2. 38) (2. 39) (2. 40) (2.41) E=K』\+K0+K斥 現(xiàn)在得到了兩個(gè)線(xiàn)性微分方程，由于我們采用加速度作為輸入, 上一個(gè)方程: 取狀態(tài)變屋如門(mén) 則狀態(tài)空間方程如下: 0 0 0 0 心 心

20、 1 0 0 0 0 0 X (2. 42) (2. 43) 因此還需加 (2. 44) (2. 45) (2. 46) 求出各個(gè)K值: K22 = -3&5321 心=77.0642 /CB =-21.1927 嚴(yán)37.8186 心=5.7012 = -0.0728 得到狀態(tài)方程各個(gè)參數(shù)矩陣: 17 77.0642 -38.5321

21、 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -21.1927 0 0 0 37.8186 0 0 0 0 0 0 B = 1 5.7012 ,-0.0728 1 0 0 0 0 0 C= 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ■ 3二級(jí)倒立擺系統(tǒng)性能分析 3.1穩(wěn)定性分析 二級(jí)倒立擺的特征方程為: Matlab中,用函數(shù)eigU)來(lái)計(jì)算系統(tǒng)矩陣的特征值,經(jīng)過(guò)計(jì)算,系統(tǒng)的特 征值為： A = [9.5972 4.7725 -9.5972 -4.772

22、5 0 0] (3.2) 開(kāi)壞系統(tǒng)有兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)位丁平面右半平面上，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 同時(shí),根據(jù)前面的狀態(tài)空間表達(dá)式,在mat lab中，用step (A, B, C, D)函數(shù) 對(duì)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)進(jìn)行分析： 30 epgdluv Step Response 0 1 2 3 4 Time (seconds) 5 6 7 -2 -4 圖1開(kāi)環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) 從上圖可以看出，在階躍響應(yīng)的作川卜，系統(tǒng)是發(fā)散的。 3.2能控性能觀性分析 對(duì)于線(xiàn)形狀態(tài)方程 X=AX+BU Y = CX 其能控性矩陣為： T()=[B,AB,A2B,AyB,A4B,A5B]

23、 求%的秋 rank(T(]) = 6 所以系統(tǒng)是完全能控的。 其能觀性矩陣為： Co = [C, CA,CA2,CA3fCA4tCA5]T (3. 3) (3. 4) (3. 5) (3. 6) 求C的秩 rank(C0)=6 (3.7) 所以系統(tǒng)是完全能觀的。(代碼見(jiàn)附錄) 由上述計(jì)算結(jié)果可知，二級(jí)倒立擺系統(tǒng)是開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，但它的狀態(tài)是完 全能控口完全能觀測(cè)的。因此，可以對(duì)其實(shí)現(xiàn)閉環(huán)瑕優(yōu)控制。 4狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置 4.1二級(jí)倒立擺的最優(yōu)極點(diǎn)配置1 在式3. 3中，A為6*6陣；B為6*1陣；C為3*6陣。是一個(gè)單輸入系統(tǒng), H完全能控、能觀測(cè)"因此，可按

24、照最優(yōu)控制系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。 對(duì)于一般控制系統(tǒng)，閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的選収應(yīng)使0.4 j | 對(duì)于二階倒立擺系統(tǒng),主要針對(duì)如F兩個(gè)主要的性能指標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì): 超調(diào)量：oS 0.005 調(diào)節(jié)時(shí)間： S 2.5s a = e 濟(jì)-以" (4. 1) =(4. 2) 這里，謀差范由取為2%,將上述性能指標(biāo)代入式4. 1和式4. 2得到二級(jí)倒立 擺系統(tǒng)的2個(gè)性能指標(biāo)滿(mǎn)足 > 0.826,軸> 2.17,取e =

25、 0.826,軸=2.17 將得到的阻尼比與自然角頻率代入下式： SpS2 = -(Ji)n8 - 2 (4. 3) 得到二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的2個(gè)主導(dǎo)極點(diǎn)為： S] = -1.87 + 1.11;, s2 = -1.87 一 1.11; (4. 4) 對(duì)于其他四個(gè)非主導(dǎo)極點(diǎn)，不妨設(shè)為四重極點(diǎn)，?冃.距主導(dǎo)極點(diǎn)10倍以上， 即滿(mǎn)足下式： ||s3|| = ||s4|| = ||s5|| = ||s6|| >10* 2.17 = 21.7 (4. 5) 所以，另外四個(gè)非主導(dǎo)極點(diǎn)取為：S3 = S4 = SS = S6 = _22 到此，二級(jí)倒立擺的6個(gè)極點(diǎn)都已確定。 (4.6)

26、 P二[-1.87+1. 11 j -1.87-1. 11 j -22 -22 -22 -22] 在mat lab中輸入K=ackor (A, B, P)可求得: K = l?0e+03 * 0.5281 0.4618 -2.6379 0.5136 -0? 0797 -0.4476 至此，完成了二級(jí)倒立擺控制器的設(shè)計(jì)。接卜?來(lái)在mat lab ||仿真得到: ?3 x 10 Step Response 2 ?5 0 1.5 2 2.5 3 Time (seconds) S3O 61 opnsdajv 3.5 4 圖2極點(diǎn)配置后單位階躍響應(yīng)1 4.2二級(jí)倒立

27、擺最優(yōu)極點(diǎn)配置2 在上述基礎(chǔ)上，繼續(xù)調(diào)整超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間，使二級(jí)倒立擺達(dá)到穩(wěn)定。第二 次?。? 超調(diào)量：a < 0.05 調(diào)節(jié)時(shí)間： S 2.5s 這里，誤差范圍仍取為2%,代入式4.1和式4.2得到二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的2個(gè) 性能指標(biāo)滿(mǎn)足 > 0.69, % > 2.51,取 = 0.69, % = 2.51 將得到的阻尼比與H然角頻率式4. 3得到第二組主導(dǎo)極點(diǎn)： S] = -1.73 + 1.81;, s2 = -1.73 - 1.81; (4. 4) 對(duì)于其他四個(gè)非主導(dǎo)極點(diǎn)，不妨設(shè)為四重極點(diǎn)，且距主導(dǎo)極點(diǎn)10倍以上， 即滿(mǎn)足下式： |肉|| = ||s4l| = ||%||

28、 = ||s6|| >12* 2.5 = 30 (4. 5) 所以，另外四個(gè)非主導(dǎo)極點(diǎn)取為:s3=s4 = s5 = s6=-30 因此,第二組極點(diǎn) P2=[-1.73+1.81j -1.73-1. 81 j -30 -30 -30 -30] 在 mat lab 中輸入 K2二acker (A, B, P2)可求得： K2 = 1. 0c+03 * 2.4205 0.5209 -7.4977 1.6587 -0.2846 F 1.2008 接下來(lái)繪制極點(diǎn)配置后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖： 0)20 61 Step Resp onse 0芍 o 61 oprujdluv (cso

29、bl  圖3極點(diǎn)配咼后單位階躍響應(yīng)2 5?二級(jí)倒立擺matlab仿真 5.1 Simulink搭建開(kāi)環(huán)系統(tǒng) 圖4開(kāi)壞系統(tǒng)仿貞?圖 31 5.2開(kāi)環(huán)系統(tǒng)Simulink仿真結(jié)果 ?昨 j gg Scopel ；A4 旦 Time of^4t 0 1  —◎叵7 2 a 25 Q Scope2 一?Q包17 門(mén)弓陽(yáng)0 7乓 、 15 1 Q5 0 -05 -1 15 1 0.5 0 ?CL5 J ?1.5 2 -5 0 5 10 Time offset 0 1 Time offset: 0.1

30、圖5開(kāi)環(huán)系統(tǒng)nicitlab仿真結(jié)果圖 山上圖可知，在Simulink屮搭建的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是發(fā)散的，與理論計(jì)算的結(jié)果吻合。 5.3 Simulink搭建極點(diǎn)配置后的閉環(huán)系統(tǒng) L0—— sp y?Ci?3u $C0p1 s Scope2 r~] S00p3 S 000*5 r~] Sooo6 圖6極點(diǎn)配置優(yōu)化后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 5.4極點(diǎn)配置Simulink仿真結(jié)果 541第一組極點(diǎn)配置仿真結(jié)呆 圖7極點(diǎn)配置優(yōu)化后的結(jié)果圖 I w回 昌二叵］ W因怖理I日it "%戸 圖8小車(chē)位移曲線(xiàn)

31、 Bl Scope2 * & h 回 IYW 臼@||固《*逼 1箔耳廻?乓 ， 圖9 一級(jí)倒立擺角度曲線(xiàn) 圖10二級(jí)倒立擺角度曲線(xiàn) 從以上的圖片可以看出，系統(tǒng)在給定輸入的惜況下，1秒左右恢復(fù)到平衡點(diǎn) 的位置附近，系統(tǒng)較好的快速性、穩(wěn)定性和精確性都卄?常理想，且無(wú)超調(diào)量，符 合要求。 5.4.2第二組極點(diǎn)配置仿真結(jié)果 SJ Scope 〔 o I 回 邑◎叵目用痔曰呂"％ -2-101234 Ti

32、me offset 0.1 圖11極點(diǎn)配置優(yōu)化后的結(jié)果圖 M Scopel 圖12小車(chē)位移曲線(xiàn) 0.8; 0.6 0.4 0.2 -az -0.4 -0.6 P ? ? ??? ? J ?> ” < *? 4 < 、 .■ > ■ 4 ” ? ? ? ? ? ? ■ ■1 < 1 ■ . 1 ? L .. ?]

33、 ” *? 4 <■ 1 * i * ” ? ? ? ?，? ? ■ ■1 < 1 ? * * ?. ? ” * ■* ? *? 4 * 1 ? * ■ ? ? V~: ” te ■ < 1 ■ \ ? ? ▲ ” ? ? ?> ” > ? :? 4 * ■ > ■ 4 ? ” ? ? ? ??尸 1 ■， If ? Q Scope2 [M回 u ◎色孑 -4 -3 ?2 ?T Time of

34、fset 0 1 圖13 一級(jí)倒立擺角度曲線(xiàn) Scope3 同◎〔固y*因帚怖|曰A耳 03 82 01 0 ?0J 0L2 ? ? ? ? ? ■ ■ ? * * ? ? ■ ? ■ ? )?. ?????? * ? ? ? ? ? ? ? ! t . . ........ . ? ? ? ? ? ? ■ ? ? b ? ■ * * *■ ? \ : : : ,、 ? ? ? ? ? ? ? ■ * ? ? ? ?? -? ■ ? ? ? ? ?!???????

35、■ ? ? ? ? ? ,?? ? ? ? ? ?_ ? * * : : ? ?? ? ? ? 十： ? ? . .? ? -? ? 1 , y ! < Ay e ■ J二 i 才 9 ? ? — j * ? i ?二 ua ? ? * V * A A ?15 -1 5 0 0.5 1 1.5 Time offset 0.1 圖14二級(jí)倒立擺角度曲線(xiàn) 與第一組極點(diǎn)相比，超調(diào)量略有增加，但調(diào)整時(shí)間冇所卜?降，且都達(dá)到穩(wěn)定 狀態(tài)符合要求。 6?結(jié)論 倒立擺系統(tǒng)就莫本身而言，是一個(gè)多變量、快速、嚴(yán)重非線(xiàn)性和絕對(duì)不穩(wěn)迅 系統(tǒng)

36、，必需采用冇效的控制法使之穩(wěn)足，對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究在理論上和方法論 上均有著深遠(yuǎn)的意義。 木文借助拉格朗日方程，建立了二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模塑，并通過(guò)線(xiàn)性化，得 到了二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。應(yīng)川現(xiàn)代控制理論，分析了倒立擺的穩(wěn)定 性、能控性、能觀性。隨后采用二次型最優(yōu)控制理論研究了倒立擺控制問(wèn)題,并 且運(yùn)用狀態(tài)反饋極點(diǎn)配迓的方法得到較好的控制效果。最后進(jìn)IrTMatlab仿真， 通過(guò)優(yōu)化前厲優(yōu)化厲的響應(yīng)曲線(xiàn)可以看出經(jīng)過(guò)極點(diǎn)配置算法優(yōu)化后的系統(tǒng)響應(yīng) 的速度加快，超調(diào)量明顯減少，穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間有所減少，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能 和靜態(tài)性能要比沒(méi)冇優(yōu)化的控制效果好了很多。 7 ?參考文獻(xiàn) ［1］ 劉

37、豹唐萬(wàn)生現(xiàn)代控制理論（第三版）機(jī)械工業(yè)出版社 ［2］ 夏徳鈴翁貽方門(mén)動(dòng)控制理論（第4版）機(jī)械工業(yè)出版社 ［3］ 李國(guó)勇程水強(qiáng)計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)與CAD-基于mat lab的控制系統(tǒng)（第三 版）電子工業(yè)出版社 ［4］ 慕J：LQR的二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)研究［本科畢業(yè)論文］ ［5］ 湯唯基于直線(xiàn)二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)的研究［碩士學(xué)位論文］ ［6］ 基丁?極點(diǎn)配置的倒立擺控制器設(shè)計(jì)［碩士學(xué)位論文］ 附錄一 階躍響應(yīng)下系統(tǒng)的穩(wěn)定性 A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;0 0 0 0 0 0; 0 77. 0642 -21. 1927 0 0

38、0;0 -3& 5321 37.8186 0 0 0]; B=[0;0;0;l;5. 7012-0. 0728]; C=[l 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0]; D二[0;0;0]; step (A, B, C, D) %繪制階躍響應(yīng) 能控能觀性判斷 A二[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 77. 0642 -21. 1927 0 0 0;0 0 0 0 1;0 0 0 0 0 0; -3& 5321 37.8186 0 0 0]; B二[0;0;0;1;5? 7012-0. 0728]; 0=[1 0 0 0

39、 0 0;0 D二[0;0;0]; 1 0 0 0 0;0 0 1 000]; Uc=ctrb (A, B) rank(Uc) %求能控矩陣 Vo=obsv (A, C) %求能控陣的秩 %求能觀矩陣 rank(Vo) %求能觀矩陣的秩 % 極點(diǎn)配置1 A=[0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0； 0 0 0 0 0 1; 0 0 0 0 0 0; 0 77. 0642 -21. 1927 0 0 0; 0 -38. 5321 37.

40、8186 0 0 0]; B二[0;0;0;1;5?7012;-0. 0728J; c=[i 0 0 0 0 0; 010000; P=[-1.87+l. lli -1.87-1. lli -22 -22 -22 -22]; % K=acker (A, B, P); %就反饋矩陣 Al= A1=A-B*K; 33 step (A1,B, C, D) 極點(diǎn)配胃2 A=[0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 1; 0 0 0 0 0 0; 0 77. 0642 -21. 1927 0 0 0; 0 -38. 5321 37. 8186 0 0 0] 00000; B二[0;0;0;l;5? 7012-0. 0728]; 010000; 0 0 1 0 0 0]; D=0; P2=[-1.73+1.81i -l.73-l.81i 一30 -30 -30 -30]; %求反饋矩陣 K2=acker (A, B, P2) A2=A B*K2; step (A2, B, C, D)