07直線和圓

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1、概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結 直線和圓 一．直線的傾斜角： 1．定義：在平面直角坐標系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向轉到和直線重合時所轉的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角。當直線與軸重合或平行時，規(guī)定傾斜角為0； 2．傾斜角的范圍。如 （1）直線的傾斜角的范圍是____ （答：）； （2）過點的直線的傾斜角的范圍值的范圍是______ （答：） 二．直線的斜率： 1．定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，即＝tan(≠90)；傾斜角為90的直線沒有斜率；（ 2．斜率公式：經(jīng)過兩點、的直線的斜率為； 3．直

2、線的方向向量，直線的方向向量與直線的斜率有何關系？ 4．應用：證明三點共線： 。如 (1) 兩條直線鈄率相等是這兩條直線平行的____________條件 （答：既不充分也不必要）； （2）實數(shù)滿足 ()，則的最大值、最小值分別為______ （答：） 三．直線的方程： 1．點斜式：已知直線過點斜率為，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。 2．斜截式：已知直線在軸上的截距為和斜率，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。 3．兩點式：已知直線經(jīng)過、兩點，則直線方程為，它不包括垂直于坐標軸的直線。 4．截距式：已知直線在軸和軸上的截距為,則直線方程為，它不包括垂直于坐標軸的直

3、線和過原點的直線。 5．一般式：任何直線均可寫成(A,B不同時為0)的形式。如 （1）經(jīng)過點（2，1）且方向向量為=(－1,)的直線的點斜式方程是___________ （答：）； （2）直線，不管怎樣變化恒過點______ （答：）； （3）若曲線與有兩個公共點，則的取值范圍是_______ （答：） 提醒：(1)直線方程的各種形式都有局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？）；(2)直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過原點；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等直線的斜率為或直線過原

4、點。如過點，且縱橫截距的絕對值相等的直線共有___條（答：3） 四．設直線方程的一些常用技巧： 1．知直線縱截距，常設其方程為； 2．知直線橫截距，常設其方程為(它不適用于斜率為0的直線)； 3．知直線過點，當斜率存在時，常設其方程為，當斜率不存在時，則其方程為； 4．與直線平行的直線可表示為； 5．與直線垂直的直線可表示為. 提醒：求直線方程的基本思想和方法是恰當選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解。 五．點到直線的距離及兩平行直線間的距離： （1）點到直線的距離； （2）兩平行線間的距離為。 六．直線與直線的位置關系： 1．平行（斜率）且（在軸上截距）； 2．相交；

5、 3．重合且。 提醒：（1） 、、僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件！為什么？（2）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（3）直線與直線垂直。 如（1）設直線和，當＝_______時∥；當＝________時；當_________時與相交；當＝_________時與重合 （答：－1；；；3）； （2）已知直線的方程為，則與平行，且過點（—1，3）的直線方程是______ （答：）； （3）兩條直線與相交于第一象限，則實數(shù)的取值范圍是____ （答：）； （4）設分別是△ABC中∠A、∠B、∠

6、C所對邊的邊長，則直線與的位置關系是____ （答：垂直）； （5）已知點是直線上一點，是直線外一點，則方程＝0所表示的直線與的關系是____ （答：平行）； （6）直線過點（１，０），且被兩平行直線和所截得的線段長為9，則直線的方程是________ （答：） 七．到角和夾角公式： 1．到的角是指直線繞著交點按逆時針方向轉到和直線重合所轉的角，且tan=()； （2）與的夾角是指不大于直角的角且tan=︱︱()。 提醒：解析幾何中角的問題常用到角公式或向量知識求解。如 已知點M是直線與軸的交點，把直線繞點M逆時針方向旋轉45，得到的直線方程是______ （答：） 八

7、．對稱（中心對稱和軸對稱）問題——代入法：如 （1）已知點與點關于軸對稱，點P與點N關于軸對稱，點Q與點P關于直線對稱，則點Q的坐標為_______ （答：） （2）已知直線與的夾角平分線為，若的方程為，那么的方程是___________ （答：）； （3）點Ａ（４，５）關于直線的對稱點為Ｂ(－2,7)，則的方程是_________ （答：）； （4）已知一束光線通過點Ａ（－３，５），經(jīng)直線:3x－4y+4=0反射。如果反射光線通過點Ｂ（２，15），則反射光線所在直線的方程是_________ （答：）； （5）已知ΔABC頂點A(3，－１)，ＡＢ邊上的中線所在直線的方程為6

8、x+10y－59=0，∠B的平分線所在的方程為x－4y+10=0，求ＢＣ邊所在的直線方程 （答：）； （6）直線2x―y―4=0上有一點Ｐ，它與兩定點Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距離之差最大，則Ｐ的坐標是______ （答：（5,6））； （7）已知軸，，C（2，1），周長的最小值為______ （答：）。 提醒：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對稱求解。 九．簡單的線性規(guī)劃： 1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域：①法一：先把二元一次不等式改寫成或的形式，前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的下方區(qū)域；法二：用特殊點判斷；②無等號時用虛線表示不包含直線，有等號時用實線

9、表示包含直線；③設點，，若與同號，則P，Q在直線的同側，異號則在直線的異側。如 已知點A（—2，4），B（4，2），且直線與線段AB恒相交，則的取值范圍是__________ （答：） 2．線性規(guī)劃問題中的有關概念： ①滿足關于的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件。 ②關于變量的解析式叫目標函數(shù)，關于變量一次式的目標函數(shù)叫線性目標函數(shù)； ③求目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題； ④滿足線性約束條件的解（）叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域； ⑤使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解； 3．求解線性規(guī)劃問題的步驟是什么？①根據(jù)

10、實際問題的約束條件列出不等式；②作出可行域，寫出目標函數(shù)；③確定目標函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解。如 （1）線性目標函數(shù)z=2x－y在線性約束條件下，取最小值的最優(yōu)解是____ （答：（－1，1））； （2）點（－２，）在直線2x－3y+6=0的上方，則的取值范圍是_________ （答：）； （3）不等式表示的平面區(qū)域的面積是_________ （答：8）； （4）如果實數(shù)滿足，則的最大值_________ （答：21） 4．在求解線性規(guī)劃問題時要注意：①將目標函數(shù)改成斜截式方程；②尋找最優(yōu)解時注意作圖規(guī)范。 十．圓的方程： 1．圓的標準方程：。 2．圓的一般方程

11、：，特別提醒：只有當時，方程才表示圓心為，半徑為的圓（二元二次方程表示圓的充要條件是什么？ （且且））； 3．圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為。圓的參數(shù)方程的主要應用是三角換元：； 。 4．為直徑端點的圓方程如 （1）圓C與圓關于直線對稱，則圓C的方程為____________ （答：）； （2）圓心在直線上，且與兩坐標軸均相切的圓的標準方程是__________ （答：或）； （3）已知是圓（為參數(shù)，上的點，則圓的普通方程為________，P點對應的值為_______，過P點的圓的切線方程是___________ （答：；；）； （4）如果直線將圓：x2+y

12、2-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么的斜率的取值范圍是__ （答：[0，2]）； （5）方程x2+y２－x+y+k=0表示一個圓，則實數(shù)k的取值范圍為____ （答：）； （6）若（為參數(shù)，，，若，則b的取值范圍是_________ （答：） 十一．點與圓的位置關系：已知點及圓， （1）點M在圓C外； （2）點M在圓C內(nèi)； （3）點M在圓C上。如 點P(5a+1,12a)在圓(x－１)２＋y2=1的內(nèi)部,則a的取值范圍是______（答：） 十二。直線與圓的位置關系： 直線和圓有相交、相離、相切?？蓮拇鷶?shù)和幾何兩個方面來判斷： （1）代數(shù)方法（判斷直線與圓方程

13、聯(lián)立所得方程組的解的情況）：相交；相離；相切； （2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大?。涸O圓心到直線的距離為，則相交；相離；相切。提醒：判斷直線與圓的位置關系一般用幾何方法較簡捷。如 （1）圓與直線，的位置關系為____ （答：相離）； （2）若直線與圓切于點，則的值____ （答：2）； （3）直線被曲線所截得的弦長等于 （答：）； （4）一束光線從點A(－1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）； （5）已知是圓內(nèi)一點，現(xiàn)有以為中點的弦所在直線和直線，則 　　A．，且與圓相交 　 B．，且與圓相

14、交 　　C．，且與圓相離 D．，且與圓相離 （答：C）； （6）已知圓C：，直線L：。①求證：對，直線L與圓C總有兩個不同的交點；②設L與圓C交于A、B兩點，若，求L的傾斜角；③求直線L中，截圓所得的弦最長及最短時的直線方程. （答：②或　?、圩铋L：，最短：） 十三．圓與圓的位置關系（用兩圓的圓心距與半徑之間的關系判斷）：已知兩圓的圓心分別為，半徑分別為，則 （1）當時，兩圓外離； （2）當時，兩圓外切； （3）當時，兩圓相交； （4）當時，兩圓內(nèi)切； （5）當時，兩圓內(nèi)含。如 雙曲線的左焦點為F1，頂點為A1、A2，P是雙曲線右支上任意一點，則分別以線段PF1、

15、A1A2為直徑的兩圓位置關系為 （答：內(nèi)切） 十四．圓的切線與弦長： (1)切線：①過圓上一點圓的切線方程是：，過圓上一點圓的切線方程是：，一般地，如何求圓的切線方程？（抓住圓心到直線的距離等于半徑）；②從圓外一點引圓的切線一定有兩條，可先設切線方程，再根據(jù)相切的條件，運用幾何方法（抓住圓心到直線的距離等于半徑）來求；③過兩切點的直線（即“切點弦”）方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點為直徑端點的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過兩切點的直線方程；③切線長：過圓（）外一點所引圓的切線的長為（）；如 設A為圓上動點，PA是圓的切線，且|PA|=1，則P點的軌跡方程為__________ （答：）； （2）弦長問題：①圓的弦長的計算：常用弦心距，弦長一半及圓的半徑所構成的直角三角形來解：；②過兩圓、交點的圓(公共弦)系為，當時，方程為兩圓公共弦所在直線方程.。 十五．解決直線與圓的關系問題時，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質的作用(如半徑、半弦長、弦心距構成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等)!