高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第15章 第79講 二階矩陣、常見的平面變換及矩陣的乘法課件 理

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1、102,20.-11APAP設(shè)矩陣，求點(diǎn)在 所對(duì)應(yīng)的線性變換的作用下的像 的坐標(biāo)-210-2-2A20-12-2( 22)P因?yàn)椋韵?的坐標(biāo)是，解析：11242.1013計(jì)算11121 1+1 31 2+1 4=01340 1+1 30 2+1 446=34解析：22103.1yx求矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換把直線變成的直線方程2121101022222320320 xxyyxxyxyyxyxyyxxyyxyxy 矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換為則，可解析：得，代入，得，即，所以為所求的直線方程1,24,5(31)5.,41MAABBM已知在一個(gè)二階矩陣的變換作用下，點(diǎn)變成了點(diǎn)，點(diǎn)，變成了點(diǎn)，求矩陣14352

2、511242251.35131221.12abMcdababcdcdabacdbabccddM 解析：設(shè)，則由，得，所以因此，2222521.TxxyyT變換 是繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，求曲線在變換 作用下所得的曲線方程000-1.10TMxyxy 變換 所對(duì)應(yīng)的變換矩陣為 設(shè)是變換后曲線上任一解析：點(diǎn)，與之對(duì)應(yīng)的變換前的點(diǎn)是，0000002222.221221.221.xyxxMyxyyxx yyxxyyxxyy 則，即 將其代入， 得所以變換后的曲線方程為二階矩陣與平面向量二階矩陣與平面向量【例1】求在矩陣 對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)(2, -4)的平面上的點(diǎn)P的坐標(biāo).3213 【解析

3、】設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x , y), 則 , 即 ，解得 . 所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為 .232413xy 32234xyxy 2111411xy 2 14(,)11 11 解答這種類型的題，首先分清哪一個(gè)是變換前的點(diǎn)，哪一個(gè)是變換后的點(diǎn)，然后把點(diǎn)的坐標(biāo)寫成列向量的形式；其次根據(jù)二階矩陣與平面列向量的乘法規(guī)則進(jìn)行解題.2 R,21P1(12)MP4,0aMaa已知矩陣，其中若【點(diǎn)，在變式練習(xí) 】矩陣的變換下得到點(diǎn) （），求 的值214=2120224,3由題意可知所【以得解解析】aaa 【例2】已知曲線C的方程為 x2+y2=1，伸縮變換和反射變換的矩陣分別為 和 , 求曲線C在和變換下曲線 C的方程，并

4、說明曲線的特征.10102 0110 常見的平面交換常見的平面交換 【解析】設(shè)點(diǎn)P(x , y)為曲線C上任意一點(diǎn)，通過變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P(x, y). 由 , 得 ，代入 x2+y2=1， 得 ,1011022xxxyyy 2 xxyy 224 1xy 即曲線C在伸縮變換的作用下的曲線C的方程為 x2+4y2=1, 其圖形為焦點(diǎn)在 x 軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓. 又由 ， 得 ， 代入 x2+y2=1, 得 . 故曲線C在反射變換的作用下的曲線C的方程為 x2+y2=1, 其圖形仍為圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1的圓.0110 xyxyxy xyyx 221yx 變換是點(diǎn)到點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可用點(diǎn)的

5、坐標(biāo)關(guān)系來刻畫.矩陣通過變換作用，使曲線方程所對(duì)應(yīng)的圖形產(chǎn)生變化.圖形的變換依托矩陣這一重要的數(shù)學(xué)模型，矩陣控制著圖形的變換. 【變式練習(xí)2】分別給出下列矩陣表示的變換對(duì)圖中ABC的作用結(jié)果，其中A(-3 , 0) , B(0 , 2) , C(2 , 0). (1) ; (2) ; (3) ; (4) .1002 1 10 1 0 11 0 13223122 【變式練習(xí)2】(1)矩陣 表示橫坐標(biāo)保持不變， 縱坐標(biāo)沿y軸負(fù)方向拉伸為原來的2倍的伸壓變換，故ABC變?yōu)锳BC，其中A(-3 , 0) , B(0 , -4) , C(2 , 0). (2)矩陣 表示縱坐標(biāo)不變，橫坐 標(biāo)依縱坐標(biāo)比例增

6、加的切變變換，故ABC變?yōu)锳BC，其中A(-3 , 0) , B(2 , 2) , C(2 , 0).1002 1 10 1 (3)矩陣 表示將圖形變換為與之 關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱的反射變換，故ABC變?yōu)锳BC，其中A(0 , -3) , B(2 , 0) , C(0 , 2).0 11 0 (4)矩陣 表示繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60的旋轉(zhuǎn)變換，故ABC變?yōu)锳BC，其中A , B , C .13223122 33 3(,)22 (3,1) (1, 3)12,01102023標(biāo)變 變 換對(duì) 應(yīng)陣壓 縮 變 換對(duì) 應(yīng)陣xOyAB 【 例例在在 直直 角角 坐坐系系中中 ， 切切的的 矩矩】的的矩矩變換

7、的復(fù)合與矩陣變換的復(fù)合與矩陣的乘法的乘法 1122 求向量在復(fù)合變換作用下的像；復(fù)合變換把單位正方形區(qū)域變成了什么圖形？ 【解析】(1)因?yàn)锳B= , 所以(AB) = , 即向量= 在復(fù)合變換作用 下的像為 .11120422010202 11714222024 12 1724 (2)因?yàn)?i= , j= , 又()i= , ()j= , 從而1110220020 100021202 111 2220 100 1 2040 122 復(fù)合變換中先施行右邊的變換，再施行左邊的變換.123MM二階矩陣和對(duì)應(yīng)的變換對(duì)正方形區(qū)域的作用如【變式練習(xí) 】下圖所示： 1221121sinMMMM MyxM寫

8、出一個(gè)滿足條件的矩陣和；根據(jù)的結(jié)果，令，求曲線 在矩陣變換下的曲線方程 120010011,.110021010102.21100102sin()()MMMyxP xyMQ xy由題意有，設(shè) 上任意一點(diǎn)，在對(duì)應(yīng)的變換作用【下的解析】對(duì)應(yīng)點(diǎn)為， ，000000102102sin2sin2sin0.xxyyxyyxyxxyxy 則,所以.又由，得-，即所求的曲【方程為】線解析.()()(, )()().MM112 111021 2011二階矩陣對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn) ， 與揚(yáng)州模擬考分別變換成點(diǎn) ， 與 ， 求矩陣試 ,1120,111211121 22033 4224abMcdababcdcda bac

9、 dbMa bcc dd 設(shè)矩陣 則且所以，解得，即】【解析1 043.1 22.41陣BB 已已知知求求矩矩 【解析】設(shè)B= , 則 , 故 , 解得 . 故B= .abcd 1 01 222abBacbd 432421abacbd 4342abcd 4342 3.已知二階矩陣M滿足 , , 求 .1100M 1212M 211M 【解析】設(shè)M= . 由 , 得 ，所以a=1, c=0. 由 , 得 ，所以b=1 , d=2.abcd 1100M 10ac 1212M 22abcd 所以M= .所以M2= .所以 .1 10 2 1 11 11 30 20 20 4 211 31210 41

10、4M 4.設(shè)M= ，N= , 試求曲線 y=sinx 在矩陣MN變換下的曲線方程.1 00 2 10201 111 000220 20102MN 【解析】 設(shè)(x , y)是曲線 y=sinx 上的任意一點(diǎn)，在矩陣MN變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x, y).則 ，所以 , 即 .將其代入 y=sinx，得 y=sin2x，即y=2sin2x.即曲線 y=sinx 在矩陣MN變換下的曲線方程為 y=2sin2x.10202xxyy 122xxyy 2 12xxyy 12222210(00)0195.(20114)xyaAabbxyab已知圓在矩陣 ， 對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)闄E南通三模，求卷圓， 的值2222

11、222222()()0.0()1941.94194.0032.P xyCAP xyxaxxaxybyybyxyP xya xb yxyababab 設(shè)， 為圓 上的任意一點(diǎn)，在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)榱硪粋€(gè)點(diǎn)， 則，即 又點(diǎn)，在橢圓上， 所以由已知條件可知， 所以，因?yàn)?， ，所以，解析：1.矩陣與向量乘法的意義應(yīng)以映射與變換的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)、理解.2.線性變換與二階矩陣是一一對(duì)應(yīng)的，既可以通過二階矩陣來研究對(duì)應(yīng)的線性變換，又可以通過線性變換來研究對(duì)應(yīng)的二階矩陣.()()()“”AAAf ggf 1212345性質(zhì)：的幾何意義即說明矩陣變換把平面上的直線 點(diǎn) 變換成直線 點(diǎn)矩陣乘法的性質(zhì)只滿足結(jié)合律，不滿足交換律和消去律復(fù)合變換是有序的， 先 后