河南省靈寶市第五高級中學(xué)高中數(shù)學(xué) 1.2 解三角形的應(yīng)用舉例課件4 新人教版必修5

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1、 三角形中的幾何計算三角形中的幾何計算1.1.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關(guān)三角形的問題方法進一步解決有關(guān)三角形的問題, , 掌握掌握三角形的面積公式的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用三角形的面積公式的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用; ;2.2.三角形各種類型的判定方法三角形各種類型的判定方法. . 1.1.我們以前接觸過的三角形的面積公式有哪些？我們以前接觸過的三角形的面積公式有哪些？D D思考：思考：如何用已知邊和角表示三角如何用已知邊和角表示三角形的面積？形的面積？探究一探究一 三角形面積公式三角形面積公式A Aa ah ha aC CB Bc cb b2.2.已知

2、邊角求三角形面積已知邊角求三角形面積: :h ha absinCbsinCcsinB csinB h hb b=csinA=csinAasinC asinC h hc c=asinB=asinBbsinAbsinAA Aa ah ha aC CB BD Dc cb b分析：分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系，我們可以的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什應(yīng)用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積么？求出需要的元素，就可以

3、求出三角形的面積. .(3)(3)根據(jù)余弦定理的推論，得根據(jù)余弦定理的推論，得例例2 2 如圖如圖, ,某市在進行城市環(huán)境建設(shè)中某市在進行城市環(huán)境建設(shè)中, ,要把一個三角形的要把一個三角形的區(qū)域改造成市內(nèi)公園區(qū)域改造成市內(nèi)公園, ,經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為邊長分別為68m,88m,127m,68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？（精確這個區(qū)域的面積是多少？（精確到到0.10.1）分析：分析：本題可轉(zhuǎn)化為已本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的問題，再利用三角形的面積公式求解。的面積公式求解。CAB

4、解：解：設(shè)設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，根據(jù)余弦定理的推論，得，得例例3 3 在在ABCABC中，求證：中，求證：分析：分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，聯(lián)想到證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，聯(lián)想到用正弦定理和余弦定理來證明用正弦定理和余弦定理來證明. .探究二探究二 三角形邊角關(guān)系應(yīng)用三角形邊角關(guān)系應(yīng)用證明：證明：（1 1）根據(jù)正弦定理，可設(shè)）根據(jù)正弦定理，可設(shè)（2 2）根據(jù)余弦定理）根據(jù)余弦定理右邊右邊=(b=(b2 2+c+c2 2-a-a2 2

5、)+(c)+(c2 2+a+a2 2-b-b2 2)+(a)+(a2 2+b+b2 2-c-c2 2) )=a=a2 2+b+b2 2+c+c2 2= =左邊左邊. .（1 1）acosA = bcosBacosA = bcosB例例4 4 判斷滿足下列條件的三角形形狀，判斷滿足下列條件的三角形形狀，提示：提示：利用正弦定理或余弦定理，利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角化邊為角”或或“化化角為邊角為邊”. .探究三探究三 判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀另解：另解：由正弦定理得由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,sinAcosA=sinBcosB,所以所以sin2A=sin2B,

6、sin2A=sin2B, 即即2A=2B, 2A=2B, 根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形所以所以A=B A=B 思考：思考：為什么兩種求解方法答案不同，哪個正確？哪個錯為什么兩種求解方法答案不同，哪個正確？哪個錯誤？為什么？誤？為什么？因為因為sin2A=sin2B,sin2A=sin2B,有可能推出有可能推出2A2A與與2B2B兩個角互補，兩個角互補，即即2A+2B=1802A+2B=180，A+B=90A+B=90. .前一種解法正確前一種解法正確. .后一種解法遺漏了一種情況；后一種解法遺漏了一種情況；所以此三角形為直角三角形所以此三角形為直角三角形. .思考思

7、考: :能否直接用角推導(dǎo)能否直接用角推導(dǎo), ,而不轉(zhuǎn)化為邊呢而不轉(zhuǎn)化為邊呢? ?利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡并考察邊或角的關(guān)式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡并考察邊或角的關(guān)系，從而確定三角形的形狀系，從而確定三角形的形狀. .特別是有些條件既可用正弦特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用. .答：三角形的面積為答：三角形的面積為333-3.22 或或1.1.三角形面積公式：三角形面積公式：2.2.確定三角形的形狀確定三角形的形狀利用正弦定理或

8、余弦定理，利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角化邊為角”或或“化角化角為邊為邊”.”. 2三角形形狀的判斷 判斷三角形的形狀是解三角形問題中常見題型，其關(guān)鍵是實現(xiàn)邊角互相轉(zhuǎn)化，主要方法有兩種： 方法一：化角為邊，利用正弦定理、余弦定理把所給條件中的角都轉(zhuǎn)化為邊，通過恒等變形，尋找邊的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀 方法二：化邊為角，利用正弦定理、余弦定理把所給的條件中的邊都化為角，通過三角變換，尋求角的值或角的關(guān)系常見結(jié)論有： 3解三角形問題的幾種類型 在三角形的六個元素中，要知道三個(其中至少有一個為邊)才能解該三角形據(jù)此可按已知條件分以下幾種情況已知條件應(yīng)用定理一般解法一邊和兩角(如a，B，C)

9、正弦定理由ABC180，求角A；由正弦定理求出b與c，在有解時只有一解兩邊和夾角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三邊c；由正弦定理求出一邊所對的角；再由ABC180求出另一角，在有解時只有一解三邊(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出A、B；再利用ABC180，求出角C，在有解時只有一解兩邊和其中一邊的對角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出B；由ABC180，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可有兩解、一解或無解若cos(AB)0，則角C是鈍角； 若cos(AB)0，則角C是銳角； 若cos(AB)0，則角C是直角 有時已知中有邊角混雜的式子，可以利用正弦定理和余弦定理，把所給的條件進行邊角轉(zhuǎn)化，以達到化異為同的效果練 習(xí)3在ABC中，若A60，b16，SABC64，則c_.4在ABC中，已知角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足sin AtanB，ab(1cosA)，求證：AC.5.3.在ABC 中，求證：c(acosBbcosA)a2b2.2.5.在ABC 中，a，b，c 分別為內(nèi)角A、B、C 的對邊，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC 若sinBsinC1（1）試判斷ABC 的形狀（2）求sinBsinC 的最大值