安徽省高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第3單元第19講 定積分及簡(jiǎn)單應(yīng)用課件 理

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1、12了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念了解微積分基本定理的含義110011001 A. B.11C.1 1D2. .xdxxdxdxdx下列積分的值為 的是1100 1 1.Cdxx解析：所以 正確.32229003co s (0)2|3 3.yxxScosx dxcosxdxsinx由曲線的圖象及面積意義知，所求面積為解析：3cos (0)2 5A 2 B 3 C. 2 D2.4yxx曲線與坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積是 忽視面積與定積分易錯(cuò)點(diǎn)：的區(qū)別11111101011010 A. B.C. 3.D.x dxxdxx dxx dxxdxxdxx dx等于101110

2、0 0.x dxx dxxxdxxxxx解 因以為析：，所 41()13() A 8 B 10 C 12 D 14 4.F xxNFxxmFJJJJ一物體在力單位：的作用下，沿著與力 相同的方向，從運(yùn)動(dòng)到處單位：，則力 所做的功為3231141214 .WxdxxJx由變力做功公式解： 有析30 / 30 1.54 5 .m st svttm做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，初速度為，后的速度，則該物體停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)的路程是 1009010032920322 10030 1.5409(30 1.54)38(30)431003100810030()115(00891)4939t stttstt dtmt

3、tt設(shè)物體經(jīng)過(guò)后停止由，得，所以運(yùn)動(dòng)路程為解析： 0111(1,2)_1_ .iiniiiibaf xabaxxxxxbabnxxinxnf xabf x dxf x dx 如果函數(shù)在區(qū)間 ，上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間 ，等分成 個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間，上任取一點(diǎn)， ， ，作和式當(dāng)時(shí)，上述和無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間 ，定積分的概念上的定積分，記作：，即 11limnbianibafabnabf xxf x dxf x dx 與 分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間 ， 叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)， 叫做積分變量，叫做積式定積分是一個(gè)常數(shù)； ( ) ()2fxabfx dx定積分的幾何

4、意義：當(dāng)函數(shù)在區(qū)間，上恒為正時(shí)，定積分的幾何意義是由曲線和直線所圍成的曲邊梯形的面積 如圖中陰影部分 ( ) ()bafx dxxyfxxx 一般情況下定積分的幾何意義是介于 軸，函數(shù)的圖象以及直線，之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和如圖 ，其中在 軸上方的面積取正號(hào)，在 軸下方的面積取負(fù)號(hào) 3()() 2 bbaabbbaaabcbaacbbaakf x dxkf x dx kf xg x dxf x dxg x dxf x dxf x dxf x dxacbf xabf x dxF xF bF aF xf x定積分的性質(zhì)為常數(shù) ；其微積分基本定中如果是區(qū)間 ， 上的連續(xù)函數(shù)，并且，則，其中是的理一

5、個(gè)原函數(shù) 111( )( )()()( )123(3i)l miiiiiiinbianibanabxxff xxxfbaf x dxfnf x dxf xF xF bF a定義法： 分割： 等分區(qū)間 ， ； 近似代替：取點(diǎn)，用近似地代替在，上的函數(shù)值；求和；取極限：利用微積分基本定理求定積分求的一個(gè)原函數(shù)；計(jì)算利用定積求定積分的方法分的幾何意義求定積分 () 4 12.sv tW定積分在幾何中的應(yīng)用：求曲邊梯形的面積定積分在物理中的應(yīng)用：求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程：為速度函數(shù) 求變力定積分的簡(jiǎn)所做單應(yīng)用的功： 1lim()0ninibbaabafyfxnxaxb abyxaxbFxfxv t dtF

6、x dx；，；【要點(diǎn)指南】 12140 11242|.|1x dxxxdx 求下列定積分：；例題型一題型一 定積分的概念及幾何意義定積分的概念及幾何意義 1221121 1111() .211x dxyxxxxx dx 因?yàn)楸硎厩€與直線，及 軸所圍成的面積 如圖 ，所以解析： 40440040 4|2 |42()4|2 |1144222 2422.xxdxx dxxdxOBDOAEABCxxdx表示的面積與及和的差解如圖 ，故析： 了解定積分的概念，利用定積分的幾何意義求定積分是常用技評(píng)析：巧之一 6686 1 A 0 B 4 C 8 (2010) D 16f xf x dxf x dx已知

7、為偶函數(shù)且，則等于變式 ：廣東潮州調(diào)研 066066602 16.f x dxf x dxyf x dxf x dx原式因?yàn)樵瘮?shù)為偶函數(shù)，所以在 軸兩側(cè)的圖象對(duì)稱，所以對(duì)應(yīng)的面積相等，則解析： 03012sin322sinsin2.2.xxedxxx dx計(jì)算下列定積分：例；題型二題型二 定積分的計(jì)算定積分的計(jì)算 000000002sin322sin322cos 322(coscos0)3()2 732 .)1(0 xxxxedxxdxe dxdxxexeee 解析： 3300sinsin 21coscos221sinsin 2(coscos2 )2111()( 1)2 4122.4yxxy

8、xxxx dxxx 函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)為，所：以解析 , bcbaacfx dxfx dxfx dx利用微積分基本定理求定積分，其關(guān)鍵是求出被積分函數(shù)的原函數(shù)求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)與求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是互逆運(yùn)算，因此應(yīng)熟練掌握一些常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)此外，如果被積函數(shù)是絕對(duì)值函數(shù)或分段函數(shù)，那么可以利用定積分的性質(zhì)根據(jù)函數(shù)的定義域，將積分區(qū)間分解為若干部分，代入相應(yīng)的解析式，分別求出積分值，評(píng)析：相加即可 220222 0112 12 345A. B. C. D4562cos 2. .xxxf xxxf x dxxxedx 設(shè)，則不存在計(jì)式算：變 21220013 122012115(2 C.1),326f

9、 x dxx dxx dxxxx解析：故選 22222222222222444222242coscoscoscos0,1122co2 12sxxxxxxxedxxxdxedxyxxxxdxedxeeexxeedxe由定積分的性質(zhì)，得因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以又故解析： 1()A16 B 18 C 20 D 223.下圖中，陰影部分的面積是 例題型三題型三 定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用 22201(0,1 )()()2111A. B. C. D.33243.yxxxytt如圖，由曲線和直線，所圍成的圖形 陰影部分 的面積最小值為 例 234422122223202(4 )(4)182641.33

10、14222100().2110010.22111 B42.2DttyySydyyStxdxxtdxttStttttttStStS 陰影部分的面積，由，得舍去 或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)， 取得最小值解析選，：故故選 2043/3.14 24 tsvttm ststs一點(diǎn)在直線上從時(shí)刻開(kāi)始以速度運(yùn)動(dòng)，變求：在時(shí)的位置；在時(shí)運(yùn)式動(dòng)的路程 232400 4 1443(2 3 )4.33 134ttsttdttttmtms在時(shí)刻時(shí)該點(diǎn)的位置為，即在時(shí)刻該點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn)解析： 213220141223034221343130,13,401,304 43|43|4343434344 4.2 v tttttv t

11、v ttssttdtttdtttdtttdtttdtttdtmtms解因?yàn)椋栽趨^(qū)間及上，在區(qū)間上，所以在時(shí)的路程為即在時(shí)運(yùn)動(dòng)路程： 為的析 0,40,4v t因?yàn)槲恢脹Q定于位移，所以它是在上的定積分，而路評(píng)程析：是位移的絕對(duì)值之和，因此需判斷在上，哪些時(shí)間段的位移為負(fù)值 2212121 (0,)2lyttttf xxxyS tlf xStg tS tStg tt 若直線 ：為常數(shù)與函數(shù)的圖象以及 軸所成的封閉圖形的面積為，若直線 與函數(shù)的圖象所圍成的封備選例題閉圖形的面積為，已知，當(dāng)取最小值時(shí)，求 的值 12 S tSt先確定出封閉圖形，的面積，建立面積的函數(shù)關(guān)系式，最后分析：求最值222

12、2222 ()(1)102111()(0)24411()24yxxyttttttttttttyxx 由，得交點(diǎn)坐標(biāo)為，和，又因?yàn)?，所以?，而函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，解析： ， 121222220132223220323222323221111()2()323211111112()322382411512.3226ttttg tStStxxttdxttxxdxxxtt xtt xxxtttttttt tttttt 由定積分的幾何意義，得 26513121110()3211(0)0(0)331 11 1()0()331223gtttttgttttgtg ttgtgtg tt 故令，解得或舍去 當(dāng)， 時(shí)

13、，函數(shù)在區(qū)間， 上單調(diào)遞減；當(dāng)， 時(shí)，函數(shù)在區(qū)間， 上單調(diào)遞增故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值 1“”“”2(1).bbbaaaf x dxf t dtf u du定積分的定義是由實(shí)際問(wèn)題抽象概括出來(lái)的，它的解決過(guò)程充分體現(xiàn)了 由直到曲 、由 有限到無(wú)限 的極限的思想利用定積分的定義求定積分可以分為四步：分割、近似代替、求和、取極限注意：定積分是一個(gè)數(shù)值 極限值 ，它只與被積函數(shù)以及積分區(qū)間有關(guān)，而與積定積分的概念分變量無(wú)關(guān)，即 |0|( )0,|bbbaaabbbaaabbaaf x dxf x dxf x dxf xf xxf x dxf x dxf x dxxyf xxaxbf xf xxf x d

14、xf x dxxyf xxaxbf x，三者在幾何意義上的不同當(dāng)，即函數(shù)的圖象全部在 軸上方時(shí)，都表示界于 軸、曲線以及直線，之間的曲邊形的面積；即函數(shù)的圖象全部在 軸下方時(shí)，表示界于 軸、曲線以及直線，之間的曲邊形的面積，而0dx ，其結(jié)果是面積的相反數(shù)； baf xxf x dxxyf xxaxb當(dāng)函數(shù)的圖象在 軸上方和下方都有時(shí)，表示界于 軸、曲線以及直線，之間各部分面積，如圖陰影部分所示2微積分基本定理使我們找到了求定積分的一般方法，不需要根據(jù)定義求和式的極限，只要求出積函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù)，并且一般使用不含常數(shù)的原函數(shù)，再計(jì)算原函數(shù)在積分區(qū)間上的改變量即可分段函數(shù)的定積分及絕對(duì)值函數(shù)

15、的定積分問(wèn)題，都可以實(shí)施分段求解的方法 31(2)定積分的應(yīng)用主要有求平面圖形面積、變速運(yùn)動(dòng)路程及變力做功三個(gè)方面利用定積分求平面圖形面積的關(guān)鍵是畫出幾何圖形，結(jié)合圖形位置，確定積分區(qū)間以及被積函數(shù)，從而得到面積的表達(dá)式，再利用微積分基本定理求出積分值對(duì)于由兩條曲線所圍成的圖形面積計(jì)算問(wèn)題，一定要注意結(jié)合圖形特征，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分段處理，要善于進(jìn)行分解速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間，得到積分表達(dá)式，再利用微積分基本定理計(jì)算即得所求sin02yxxxx求曲線與 軸以及直線和所圍成的圖形的面積2200sincos cos2cos00.Sxdxx 錯(cuò)解： sin0,2 02 yxxp圖形面積應(yīng)為各部分定積分的代數(shù)和，函數(shù)在上與 軸圍成圖形分兩部分，前半部分在 ，上圍成的面積與定積分相等，而后半部分在， 上圍成的面積為定積分的相反數(shù)，定積分可正可負(fù)，面積錯(cuò)解分析： 只能為正2000sinsin2sin2c4os.Sxdxx dxxdxx 正解：