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1、
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第四章部分課后習題參考答案
3. 在一階邏輯中將下面將下面命題符號化 , 并分別討論個體域限制為 (a),(b) 條件時命題的真值 :
(1) 對于任意 x, 均有 2=(x+ )(x ).
(2) 存在 x, 使得 x+5=9.
其中 (a) 個體域為自然數(shù)集合 .
(b) 個體域為實數(shù)集合 .
解：
F(x): 2=(x+ )(x ).
G(x): x+5=9.
(1)
在兩個個體域中都解釋為
xF ( x) ，在（ a）中為假命題，在 (b) 中為真命題。
(2)
在兩個個體域中都解釋為
x
2、G ( x) ，在（ a） (b) 中均為真命題。
4. 在一階邏輯中將下列命題符號化 :
(1) 沒有不能表示成分數(shù)的有理數(shù) .
(2) 在北京賣菜的人不全是外地人 .
解 :
(1)F(x): x 能表示成分數(shù)
H(x): x 是有理數(shù)
命題符號化為 : x( F ( x) H (x))
(2)F(x): x 是北京賣菜的人
H(x): x 是外地人
命題符號化為 : x( F (x) H ( x))
5. 在一階邏輯將下列命題符號化 :
(1) 火車都比輪船快 .
(3) 不存在比所有火車都快的汽車
3、.
解 :
(1)F(x): x 是火車 ; G(x): x 是輪船 ; H(x,y): x 比 y 快
命題符號化為 : x y(( F (x) G ( y)) H ( x, y))
(2) (1)F(x): x 是火車 ; G(x): x 是汽車 ; H(x,y): x 比 y 快
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命題符號化為 : y(G ( y) x( F (x) H ( x, y)))
9. 給定解釋 I 如下 :
(a) 個體域 D 為實數(shù)集合 R.
(b) D 中特定元素 =0.
(c) 特定函數(shù) (x
4、,y)=x y,x,y D .
(d) 特定謂詞 (x,y):x=y, (x,y):x
5、D=N(N為自然數(shù)集合 ).
（b） D 中特定元素 =2.
（c） D 上函數(shù) =x+y, (x,y)=xy.
（d） D 上謂詞 (x,y):x=y.
說明下列各式在 I 下的含義，并討論其真值 .
(1) xF(g(x,a),x)
(2) x y(F(f(x,a),y) → F(f(y,a),x)
答:(1) 對于任意自然數(shù) x, 都有 2x=x, 真值 0.
(2) 對于任意兩個自然數(shù) x,y, 使得如果 x+2=y, 那么 y+2=x. 真值 0.
11. 判斷下列各式的類型 :
(1)
(3)
6、yF(x,y).
解:(1) 因為 p (q p) p ( q p) 1 為永真式；
所以 為永真式；
(3) 取解釋 I 個體域為全體實數(shù)
F(x,y) ：x+y=5
所以 , 前件為任意實數(shù) x 存在實數(shù) y 使 x+y=5，前件真；
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后件為存在實數(shù) x 對任意實數(shù) y 都有 x+y=5，后件假， ]
此時為假命題
再取解釋 I 個體域為自然數(shù) N，
F(x,y) ：:x+y=5
所以 , 前件為任意自然數(shù) x 存在自然數(shù) y 使 x+y=5，前件假。此時為假命題。
7、
此公式為非永真式的可滿足式。
13. 給定下列各公式一個成真的解釋，一個成假的解釋。
(1) (F(x)
(2) x(F(x) G(x) H(x))
解:(1) 個體域 : 本班同學
F(x) ：x 會吃飯 , G(x) ：x 會睡覺 . 成真解釋
F(x) ：x 是泰安人 ,G(x) ：x 是濟南人 . （2）成假解釋
(2) 個體域 : 泰山學院的學生
F(x) ：x 出生在山東 ,G(x):x 出生在北京 ,H(x):x 出生在江蘇 , 成假解釋 .
F(x) ：x 會吃飯 ,G(x) ： x 會睡覺 ,H(x) ：x 會呼
8、吸 . 成真解釋 .
第五章部分課后習題參考答案
5. 給定解釋Ｉ如下 :
(a) 個體域 D={3,4};
(b)
f ( x) 為 f (3)
4, f (4)
3
(c)
F ( x, y)為 F (3,3)
F (4,4)
0, F (3,4) F (4,3) 1.
試求下列公式在Ｉ下的真值 .
(1) x yF (x, y)
(3)
x y( F (x, y)
F ( f (x), f ( y)))
解 :(1)
x
yF (x, y)
x( F (x,3)
F ( x,4
9、))
(F (3,3)
F (3,4))
(F (4,3) F ( 4,4))
(0
1)
(1
0)
1
(2)
x
y( F ( x, y)
F ( f ( x),
f ( y)))
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x(( F ( x,3)
F ( f (x), f (3)))
( F (x,4)
F ( f ( x), f (4))))
x(( F ( x,3)
F ( f (x),4))
(F ( x,4)
F ( f ( x),3)))
(( F (3,
10、3)
F ( f (3),4)) (F (3,4)
F ( f (3),3)))
((F ( 4,3)
F ( f (4),4))
(F (4,4)
F ( f (4),3)))
((0
F ( 4,4))
( F (3,4)
F ( 4,3)))
((1
F (3,4)) (0 F (3,3)))
(0
0)
(1
1)
(1
1)
(0
0)
1
12. 求下列各式的前束范式。
(1)
xF ( x)
yG ( x, y)
(5)
x1F ( x1 , x2 )
(H ( x1 )
x2G (
11、x1 , x2 )) ( 本題課本上有錯誤 )
解:(1)
xF ( x)
yG( x, y)
xF ( x)
yG(t, y)
x y( F ( x) G (t, y))
(5)
x1 F (x1 , x2 )
( H ( x1 )
x2 G (x1 , x2 ))
x1 F (x1, x2 )
( H ( x3 )
x2 G (x3 , x2 ))
x1 F (x1, x4 )
x2 ( H ( x3 )
G ( x3 , x2 ))
x1 x2 (F ( x1 , x4 ) ( H (x3 )
G (
12、x3 , x2 )))
15. 在自然數(shù)推理系統(tǒng) F 中, 構(gòu)造下面推理的證明 :
(1) 前提 : xF ( x) y(( F ( y) G( y)) R( y)) , xF ( x)
結(jié)論 : xR(x)
(2) 前提 : x(F(x) →(G(a) ∧R(x))), xF(x)
結(jié)論 : x(F(x) ∧R(x))
證明 (1)
①
xF (x)
前提引入
②F(c)
①EI
③
xF (x)
y(( F ( y)
G( y))
R( y))前提引入
④
y(( F ( y)
G( y))
R( y)
13、)
①③假言推理
⑤(F(c) ∨ G(c)) →R(c)) ④UI
⑥F(c) ∨G(c) ②附加
⑦R(c) ⑤⑥假言推理
⑧ xR(x) ⑦ EG
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(2)
① xF(x)
前提引入
② F(c)
①EI
③ x(F(x) →(G(a) ∧R(x)))
前提引入
④ F(c) → (G(a) ∧R(c))
③UI
⑤ G(a) ∧ R(c)
②④假言推理
⑥ R(c)
⑤化簡
⑦ F(c) ∧ R(c)
②⑥合取引入
⑧ x(F(x) ∧ R(x))
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