湖南省高中數(shù)學(xué)（第2輪）總復(fù)習(xí) 專題3第12講 函數(shù)、幾何背景下的數(shù)列綜合問題課件 理 新人教版

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1、專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題三 不等式、數(shù)列、推理與證明1幾何背景下的數(shù)列綜合問題，一般是以幾何問題為載體，構(gòu)成數(shù)列情境，內(nèi)容往往涉及幾何、數(shù)列、方程等方面，問題求解應(yīng)根據(jù)題設(shè)理清思路，利用數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)方程思想，轉(zhuǎn)化化歸思想，破譯問題情境，轉(zhuǎn)化化歸為等差、等比數(shù)列或簡單的遞推數(shù)列，從而解決問題2nmnaaS函數(shù)背景下的數(shù)列綜合問題，一般通過某個(gè)函數(shù)建立 、之間的等量關(guān)系式，是數(shù)列與函數(shù)的一種常見的綜合問題，求解的基本思路是從函數(shù)的角度思考問題，有效地利用函數(shù)的性質(zhì)，特別是導(dǎo)數(shù)工具，逐步過渡為數(shù)列問題從而解決問題*1()212 34 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15 ijia

2、ijiji N把正數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如圖所示的數(shù)表：設(shè)、是位于這個(gè)數(shù)中從上往下數(shù)第 行、從左往右數(shù)第 個(gè)例1數(shù)數(shù)表中第 行共有一、數(shù)陣問整題個(gè)正數(shù) 2112233122223422010112233444()12ijnnnnaijAaaaaAAAAnAnn若，求 、 的值；把，通過觀察 與，與， 與，與，猜想當(dāng)時(shí)，與的大小關(guān)系 不要求證明 211101110101122332“”1 2 222121.220102211.010212010982010 21127.ijnnniijijnaAnajajAaaija 思路：首先根據(jù)信息容易得到每行數(shù)的個(gè)數(shù)，再依據(jù) 與數(shù)表位置的關(guān)系而求

3、解；第問的關(guān)鍵是得到 表達(dá)式，再用 歸納猜想 的方法解決數(shù)表中前 行共有個(gè)數(shù)，所以因?yàn)椋粤?，解得因?yàn)榻馕觯?1(1 2 22) 1 2 31 nnnan ，2222222222121232 2.23212232423222232322.2nnnnnnnnnnn nAnnnnnnnnnAnnnnnAnnnnnnnnAnn 所以當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)當(dāng)時(shí)，則；時(shí)，猜想24222122222434242162322232(4)2232222232.213123222645621022nkkknnnkknk kkkkkkkkkkkkkkk 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確當(dāng)時(shí)，即成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，則因?yàn)?/p>

4、，212222213122.21324224.(4321,2,3224.knnnnnnAnnnAnnkknknnnnAnnnnn 所以即當(dāng)時(shí)，猜想也正確由得，當(dāng)時(shí)，成綜上立，即所述，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，證明當(dāng)時(shí)，還可用下面；當(dāng)時(shí)，的方法：0123nnnn2421 1CCC1121261321.)22nnnCn nn nnnn nnnn 當(dāng)時(shí)，分析數(shù)陣問題的關(guān)鍵是識圖識表，理解圖所含信息給出的規(guī)律，突破了這點(diǎn)就較容易轉(zhuǎn)化為基本的數(shù)列問題了，然后利用數(shù)列的基本知識、方法與技巧便可解【點(diǎn)評】決問題 3211123( )128.3(1()1(2)11112.2nnnnnnnnnnfxxxanSnSyfxabb

5、nbabntbtbbbb已知函數(shù)記數(shù)列的前 項(xiàng)和為，且動(dòng)點(diǎn) ，總在函數(shù)的圖象上求數(shù)列的通項(xiàng)公式；在數(shù)列二、函數(shù)背景下的數(shù)列問題中，它的第 項(xiàng)是數(shù)例2列的第項(xiàng)試求常數(shù) 的值，使數(shù)列成等比數(shù)列；求證： 2211221111122 .13222121.121(1211.22112)nnnnnnnnnnnnnnfxxxSnnnaSnaSSnnnnnnanbabbanbtqbtq btbqbqqtt 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，且時(shí)也適合此式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式是依題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)數(shù)列的公比為 ，則，所以對照，所以上式有：解析：11111123211( )12221.22102.11111( )22111111

6、111112(1)12)2.(2221nnnnnnnnnnnnnbbnbbbbbbbbbbbb 由知，是以 為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，由，得所以，所以解決函數(shù)背景下的數(shù)列問題的切入點(diǎn)是依據(jù)題設(shè)條件，探究數(shù)列的簡單遞推關(guān)系式或通項(xiàng)公式，將問題化歸為數(shù)列基本問【點(diǎn)評】題求解 *11112221212(2011)1,0(0)112).2knnnnPCyxxkkMMxPPCMMxPMMMaaaaakN過點(diǎn)作曲線 ：，的切線，切點(diǎn)為，設(shè)在 軸上的投影是點(diǎn)又過點(diǎn) 作曲線 的切線，切點(diǎn)為，設(shè)在 軸上的投影是點(diǎn) ， ，依此下去，得到一系列點(diǎn)， ， ，設(shè)它們的橫坐標(biāo) ， ， ， 構(gòu)成數(shù)列求證：數(shù)列是等

7、比數(shù)列，并求其三、幾何背景下的數(shù)通項(xiàng)公式；當(dāng)例3常德月問題考列時(shí)，令 .nnnnnbbnSa，求數(shù)列的前 項(xiàng)和利用求導(dǎo)數(shù)這一工具求出切線斜率，進(jìn)而求出切線方程，通過求點(diǎn)的坐標(biāo)等價(jià)轉(zhuǎn)化成數(shù)分析:列問題 11111111,11()11,0011100.1()11111kknnnkknnkknnnnnnnnnnyxykxMaayaka xanPkakaaaknPaakakaaaakkkakkakka對求導(dǎo)數(shù)，得，則切點(diǎn)是， 的切線方程是當(dāng)時(shí)，切線過點(diǎn)，即，得；當(dāng)時(shí)，切線過點(diǎn)，即，得所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為解析：，*.nN 2323412311122.212322221

8、113.22222111112222221111221.1222122.222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnkabnbnSnSnSSnnn 當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前 項(xiàng)和，得兩式相所以減，得.()利用求導(dǎo)數(shù)這一公具求出切線斜率進(jìn)而求出切線方程，通過求點(diǎn)的坐標(biāo)等價(jià)轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題 第一小問看視繁雜，但只有理清了思路 利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程 ，再加上運(yùn)算細(xì)心，也就迎刃【點(diǎn)評】而解了 1*11231232(2)45.21.118412nnnnnnnnnnanSaSyxnbaaabf xb xb xb xb xffnnN已知數(shù)列的前 項(xiàng)和為 ，點(diǎn)，在直線上，其中令，且求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若，求的表達(dá)式，并

9、備選題 比較與的大小 11*1*111*11*1111211214254343(2)44(2)222(2)22(2)22124nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSaSaSannaSSaannaaaannbaannbaabqbaaaaaNNNN因?yàn)?，即，所以，所以，所以，所以，所以?shù)列為等比數(shù)列，其解析:公比為，首項(xiàng)，而21111316426224.nnnaabb，且，所以，所以，所以 231232112312323413452234122231231222322 212223221222224 122421221nnnnnnnnnnnnf xb xb xb xb xfxbb xb x

10、nb xfbbbnbfnfnfnn 因?yàn)?，所以，所以，所以?所以，得： 2221412nnnfn，所以， 22222201118441 24 214122111840184218444540184341021 1CCCC222123321.nnnnnnnnnnnfnnnnnnnnnfnnfnnnfnnfnnnnnnnnf 所以當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)所以當(dāng)時(shí)，且，所以當(dāng)時(shí)，總有時(shí)，總有 2184 .nn 數(shù)列的滲透力很強(qiáng)，它和函數(shù)、方程、不等式等知識相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無形中加大了綜合力度所以，解決此類題目僅靠掌握一點(diǎn)數(shù)列的基本知識，無異于杯水車薪，必須對蘊(yùn)藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學(xué)思想有所了解，深刻領(lǐng)悟它在解題中的重大作用，常用的數(shù)學(xué)思想方法主要有“函數(shù)與方程”“數(shù)形結(jié)合”“分類討論”“等價(jià)轉(zhuǎn)化”等