廣東省珠海一中高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 數(shù)列通項公式的求法課件 新人教A版

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1、數(shù)列通項公式的求法 na的第n項na與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個公式來表示,這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式,即)(nfan 數(shù)列通項公式的求法,主要有,觀察法, 公式法，另外還有,待定系數(shù)法;由數(shù)列的遞推公式求通項公式法,迭加法,迭乘法,換元法等. 注意:并非每一個數(shù)列都可以寫出通項公式,數(shù)列的通項公式,也并非是唯一的.一、觀察法一、觀察法數(shù)列也可以用作下面兩個條件結(jié)合起來的方法表示: (1)給出最初的n項或一項. (2)給出數(shù)列中后面的項用前面的項來表示的公式,這種方法叫做遞推法,后者稱為該數(shù)列的遞推公式.寫出下列數(shù)列的一個通項公式,2663,1748,1035,524,215)7(,168

2、1,833,413,25,2)6(,301,201,121,61,21)5(,65,54,43,32,21)4(,5,3,5,3,5,3)3(,0,1 ,0,1 ,0,1)2(1,1 ,1,1 ,1,1)1(1) 1() 1 (nna2) 1(1)2(1nnanna) 1(4) 3(1)4(nnan) 1(1)5(nnan121)6(nnna11) 3()7(22nnan二、公式法二、公式法:寫出下列數(shù)列的一個通項公式：,924,715,58, 1)7(,167,85,43,21)6(,8116,278,94,32)5(,169,137,21,73,41)4(,7777,777,77,7)3(

3、,9999,999,99,9)2(,25,19,13,7, 1)1(nna)32()5()56() 1() 1 (1nann110)2(nna) 110(97) 3(nna1312)4(nnannnna212)6(121) 1() 1()7(21nnann三、累差迭加法：基本原理是等差數(shù)列推導(dǎo)通項公式。的一個通項公式求數(shù)列,15,10, 6 , 3 , 1) 1 (法一：原數(shù)列可寫為 1，1+2，1+2+3，1+2+3+4， 故其通項公式為2) 1(321nnnan法二：由已知條件，得2) 1(321.4321., 4, 3, 211342312nnnanaannaaaaaaaannnn個等式

4、相聯(lián)系加得將上述的通項公式求數(shù)列1112, 3)2(nnnaaa2133411223011121112222222, 3:aaaaaaaaannn解 .,)(),(1求和累差迭加法則可用等比數(shù)列是等差數(shù)列或其中滿足若數(shù)列nfnfaaannn2133422aa1nnaa)2222(,22101nnaa得將上述各式相加22n11221012421213)2222(nnnnaa四、迭乘法：基本原理是等比數(shù)列推導(dǎo)通項公式。四、迭乘法：基本原理是等比數(shù)列推導(dǎo)通項公式。的一個通項公式求數(shù)列59049,729,27, 3 , 1) 1 (11221445334223123,3,381,327,39, 3:n

5、nnnnnaaaaaaaaaaaa從已知分析得12432112145342312333333nnnnnnaaaaaaaaaaaa2)1(1321133nnnnaa2)1(2)1(133nnnnnaa .),(1迭乘法則可用滿足若數(shù)列nfaaannn五、遞推法。五、遞推法。（一）已知前（一）已知前n項和公式求通項公式項和公式求通項公式 ., 132) 1 (2nnnannSna求通項項和為中前數(shù)列, 211312,1) 1 (211San時當(dāng)解541332421321) 1( 3) 1(2) 132(,2)2(22221nnnnnnnnnnSSannnn時當(dāng)經(jīng)驗證(1)不包含在(2)中,所以由(

6、1)(2)知通項公式為時當(dāng)時當(dāng)2, 541, 2nnnan .,23)2(2nnnannSa求通項公式的前項和為已知數(shù)列51213,1:211San時當(dāng)解162) 1(323,2221nnnnnSSannnn時當(dāng)16,16511nanaannn此數(shù)列的通項公式為中包含在時經(jīng)驗證當(dāng) .),1(21)3(nnnnnaaaSa求通項公式的前項和為已知數(shù)列) 1 (012.12:2nnnnnnaSaaaS即是解由已知條件得01)(2)(:) 1 (,21211nnnnnnnnSSSSSSSan式得代入把時當(dāng)1:212nnSS展開化簡為1, 1, 1:212223222221SSSSSSnnnn于是以上

7、各式相加得到:1212nSSn, 1)1(212111111nSnSaaaaaSnn于是解出nnannannannannnn1111或或或 .),(23,)4(111nnnnnnaNnaSSaSa求通項公式且若的前項和為設(shè)數(shù)列)2( ,2) 1 (,221211nnnnnnaSSaSSnnSa 與分析：由于給出的遞推關(guān)系中混在一起，因而應(yīng)首先統(tǒng)一到關(guān)于nnSa 或的遞推關(guān)系，然后再利用所掌握的方法解之。法一（統(tǒng)一為na的遞推關(guān)系）.22),1 () 2(122nnnnaaSS得.221212nnnnaaaa即)(312Nnaann.3為公比的等比數(shù)列數(shù)列從第二項起是以. 6,2, 322211

8、aaSSa又.3236,212nnnan時當(dāng))2(32) 1(31nnann),(22111nnnnnSSaSSnS法二（統(tǒng)一成關(guān)于的遞推關(guān)系） .3,311的等比數(shù)列公比為為首項是以aSSn.3331nnnS)2(32) 1(3)2() 1(111nnnSSnSannnnnnSa 與解法一是將混雜的遞推關(guān)系統(tǒng)一為關(guān)于nannSa 與的遞推關(guān)系。解法二是將nS混雜的遞推關(guān)系統(tǒng)一為的遞推關(guān)系。顯然，解法二較簡單。 .,31,21,21,21),1()21(31,65) 1 (12312111nnnnnnnaaaaaaanaaaa求為公比的等比數(shù)列是以并且數(shù)列滿足已知數(shù)列（二）在一個所給的數(shù)列遞推

9、公式中構(gòu)造一個由原數(shù)列的項通過（二）在一個所給的數(shù)列遞推公式中構(gòu)造一個由原數(shù)列的項通過換元、代入消元、待定系數(shù)等方法組成的新等差或等比數(shù)列是常換元、代入消元、待定系數(shù)等方法組成的新等差或等比數(shù)列是常用方法。（實際上換元，代入消元，待定系數(shù)都可以通稱為特征用方法。（實際上換元，代入消元，待定系數(shù)都可以通稱為特征方程法。）方程法。）) 1 ()31()31(9121111nnnnaa解： 依題意，等比數(shù)列的遞推公式是：另一數(shù)列的遞推公式是：)2()21(3111nnnaa,)31()21()3121(),1 ()2(11nnna得11)31()21(6nnna ., 1),( 12)2(11nnn

10、naaNnaaa求通項公式的遞推關(guān)系是已知數(shù)列法一:遞推法12121221222221) 12(212:112321121nnnnnnnnnaaaa解法二:換元法一(即輔助數(shù)列法)21(21xaxann設(shè), 121xxx則解得令) 1(211nnaa故數(shù)列1na是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,即nna2112 nna121211nnnnaaaa法三:換元法二兩式相減得)(211nnnnaaaa2),(11bNnaabnnn令nnnnnaab22211則1212222)()()(321112211nnnnnnnnnaaaaaaaa . 043,3,913,34,)3(2121通項公式求數(shù)列有時當(dāng)

11、已知中在數(shù)列nnnnnaaaanaaa) 1 ()3()(31,)(3211211naaaaaaaannnnnnnn.31,121為公比的等比數(shù)列以為首項是以aaaann)2(.)31()31)(11121nnnnaaaa解：由條件，得).3(3131),1 (211naaaannnn得又由)3( , 13131.311211aaaaaannnn為常數(shù)列)()31(2123),3()2(Nnann得由 .,12, 1)4(11nnnxnxxxxxx求通項公式滿足已知數(shù)列本題的解法是將條件進行適當(dāng)變形，實現(xiàn)了向等比數(shù)列、常數(shù)列的本題的解法是將條件進行適當(dāng)變形，實現(xiàn)了向等比數(shù)列、常數(shù)列的轉(zhuǎn)化。從而

12、使問題得到解決。另外，當(dāng)?shù)玫剑ㄞD(zhuǎn)化。從而使問題得到解決。另外，當(dāng)?shù)玫剑?）后也可用累加法）后也可用累加法解之。解之。121nnnxxx.1211nnxx. 2111nnxx為公差的等差數(shù)列為首項是以數(shù)列2 ,1111xxn法一：換元法. 12) 1(211nnxn.121nxn法二：歸納法,122131,11211,21xx得由已知.142171,13215143xx.121nxn猜測下面用數(shù)學(xué)歸納法進行證明（略）。的兩根看作是方程我們可把0221qpxx的遞推關(guān)系則若已知012nnnqapaa(5)特征根的方法（待定系數(shù)法）目的解決是構(gòu)造新數(shù)列中的形式和系數(shù)理論依據(jù)是可假設(shè)為)()(1121

13、12nnnnaaaa展開得0)(211212nnnaaa對比已知條件的系數(shù)，可知qp212121,從而可求為公比的等比數(shù)列為首項是以因而數(shù)列211211aaaannnaaa求出在下面可以利用迭加法因為已知,213,21naa且已知 .).0, 1, 0,( ,2,) 1 (11nnnnadqqdqdqaanaaa求此數(shù)列的通項常數(shù)且為時滿足已知中數(shù)列解：設(shè)存在一個數(shù)) 1().(111qqaaaqadqaannnnnn展開得變形為使)1(1.11qdaqqdaqdnn于是原式可化為比較系數(shù)得1) 1(111qqdqaannn11)1(1nnqqdaqda11qda可見該數(shù)列是首項公比為q的等比

14、數(shù)列。即通項為整理得4325, 7111nnnaaa（2）已知 .nnaa 的通項求數(shù)列解：4325, 7111nnnaaa)3(5311nnnnaa設(shè). 5, 1313211公比首項數(shù)列aann135313515111nnnnna即. 1, 3比較系數(shù)得，) 13(513121nnnnaa于是，1151513nnna得到.,)0, 0, 2(,)3(111112121nnnnnnnnbnrqprpqrpnrbqabpaaqbpabbbaaa表示試用是已知常數(shù)且其中和數(shù)列已知數(shù)列,11nnpaapa解：由比較系數(shù)得得整理)(,11nnnnprprbb,11nnpa得11nnnqprbb得)2(

15、1111nrbqabpannnnn再由)(11nnnnpbrpb令prq)(1nnnnnprprqprqprprqrb則.,rprqrprqpqprqpbnn公比為的首項為于是.), 3( 123, 1, 0)4(2121nnnnaNnnaaaaa求已知1)(2)(211nnnnaaaa則12,11nnnnnbbaab則再令) 1(211nnbb變形為),2(121nbnn于是, 0, 12111aaannn由)(12:Nnnann累加得1)()(:211nnnnaaaa令解. 2, 1展開比較得： .),(386, 2, 1,)5(1221nnnnnaNnaaaaaa求中在數(shù)列3)()(:1

16、12nnnnaaaa構(gòu)造解. 4, 2比較系數(shù)得：34,212122nnnnnbbaab則令322)3812(2)386(2212233aaaaab)4(24112 nnnnaa再構(gòu)造nnnnaa22) 142(1421122從而)( , 12422Nnannn所以122232nnna即可推出 .,31, 0,)6(11nnnnnaaaaaa求中在數(shù)列14214122nnnnnaab即易得1, 2比較系數(shù)得：故有：) 142(2142112nnnnaa131:得由解得取倒數(shù)從而有,2) 1() 1(213111nnnnnaaaaa2111111nnaa的等差數(shù)列公差為是首項為所以2111111

17、11aan,211111nan)(1121Nnnnannann或解得) 1(2121111nnaa取倒數(shù)1)21(23212111nnnnbbb可解得 nnnnnaaaaaa求中在數(shù)列.32, 1,)7(11. 1,32:得由解2111,1111ababnn則有設(shè)1) 1() 1(213211nnnnnaaaaa,2231)21(23141nnnna即nnna2332:1解之得)3010. 02lg),(2, 0(?%,)2(,%,) 1 (.,1%,1,1%,1,5%)8(321bacababaaaankgakgkgakgkgc濃度不小于才能使容器內(nèi)溶液的的手續(xù)要進行多少次倒出注入想出通項公式并猜寫出次倒出注入后濃度為設(shè)第如此繼續(xù)進行下去并攪勻的相同溶液入濃度為再注溶液攪勻后再倒出的相同溶液入濃度為再注溶液先倒出的溶液一容器裝有濃度為acaaacaacaacaacaca33332323322222221545)54(55454)54(545)54(554)54(545545154) 1 (解acannnnn545)54(:歸納出baacn )()54( :,)2(得由條件aacann)()54(:即abacn )()54(:,得整理30) 1lg3(2lg,nn所以取對數(shù)1)54(2n即至少要進行4次這樣的手續(xù)才滿足條件。