浙江省溫州市第十一中學(xué)高中數(shù)學(xué) 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課件 新人教A版必修2

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1、2.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 我們?cè)谇懊鎸W(xué)過(guò)，在平面直角坐標(biāo)系中，兩我們?cè)谇懊鎸W(xué)過(guò)，在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，一點(diǎn)和傾斜角也能確定一條直點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，一點(diǎn)和傾斜角也能確定一條直線(xiàn)線(xiàn)在平面直角坐標(biāo)系中，如何確定一個(gè)圓呢？在平面直角坐標(biāo)系中，如何確定一個(gè)圓呢？AMrxOy 當(dāng)圓心位置與半徑大小確定后，圓就唯一確定當(dāng)圓心位置與半徑大小確定后，圓就唯一確定了了因此一個(gè)圓最基本要素是因此一個(gè)圓最基本要素是圓心和半徑圓心和半徑xOyA(a,b)Mr(x, y) 如圖，在直角坐標(biāo)系中，圓心（點(diǎn)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，圓心（點(diǎn)）A的位置用的位置用坐標(biāo)坐標(biāo) (a,b) 表示，半徑表示，半徑r的大小等于圓上

2、任意點(diǎn)的大小等于圓上任意點(diǎn)M(x, y)與圓心與圓心A (a,b) 的距離的距離 符合上述條件的圓的集合是什么？你能用描述法符合上述條件的圓的集合是什么？你能用描述法來(lái)表示這個(gè)集合嗎？來(lái)表示這個(gè)集合嗎？rMAMp|符合上述條件的圓的集合：符合上述條件的圓的集合：xOyA(a,b)Mr(x, y) 圓上任意點(diǎn)圓上任意點(diǎn)M(x, y)與圓心與圓心A (a,b)之間的距離能之間的距離能用什么公式表示？用什么公式表示？rMAMp|rbyax22)()(222)()(rbyax.21221221yyxxPP根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式：則點(diǎn)則點(diǎn)M、A間的距離為：間的距離為：.22byaxMA即

3、：即： 是否在圓上的點(diǎn)都適合這個(gè)方程？是否適合這是否在圓上的點(diǎn)都適合這個(gè)方程？是否適合這個(gè)方程的坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上？個(gè)方程的坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上？222)()(rbyax 點(diǎn)點(diǎn)M(x, y)在圓上，由前面討論可知，點(diǎn)在圓上，由前面討論可知，點(diǎn)M的坐的坐標(biāo)適合方程；反之，若點(diǎn)標(biāo)適合方程；反之，若點(diǎn)M(x, y)的坐標(biāo)適合方程，的坐標(biāo)適合方程，這就說(shuō)明點(diǎn)這就說(shuō)明點(diǎn) M與圓心的距離是與圓心的距離是 r ，即點(diǎn)，即點(diǎn)M在圓心為在圓心為A (a, b)，半徑為，半徑為r的圓上的圓上 把這個(gè)方程稱(chēng)為圓心為把這個(gè)方程稱(chēng)為圓心為A(a, b)，半徑長(zhǎng)為，半徑長(zhǎng)為r 的圓的圓的方程，把它叫做的方程，把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方

4、程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（standard equation of circle）.222)()(rbyax 因?yàn)閳A心是原點(diǎn)因?yàn)閳A心是原點(diǎn)O(0, 0)，將，將x0，y0和半徑和半徑 r 帶入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：帶入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑長(zhǎng)為圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑長(zhǎng)為r 的圓的方程是什么？的圓的方程是什么？ 得得：222)0()0(ryx 整理得整理得：222ryx 例1、寫(xiě)出下列各圓的方程（1）圓心在原點(diǎn)，半徑是3（2）圓心為（2，-3），半徑是5（3）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，圓心為C(2,0)例2寫(xiě)出下列各圓的圓心及半徑（1）（2）25) 3() 2(22yx4)2(22yx 例例3 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn) ，

5、求以求以 直徑的圓直徑的圓的方程，并判斷點(diǎn)的方程，并判斷點(diǎn) ， 是否在是否在這個(gè)圓上這個(gè)圓上)36()9 , 4(，和BA)9 , 6(1M)3 , 5()3 , 3(32MM、AB 怎樣判斷點(diǎn)怎樣判斷點(diǎn) 在圓在圓 內(nèi)呢？?jī)?nèi)呢？還是在圓外呢？還是在圓外呢？),(000yxM222)()(rbyaxAxyoM1M2M3 從上題知道，判斷一個(gè)點(diǎn)在不在某個(gè)圓上，只需將這個(gè)從上題知道，判斷一個(gè)點(diǎn)在不在某個(gè)圓上，只需將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)帶入這個(gè)圓的方程，如果能使圓的方程成立，則在點(diǎn)的坐標(biāo)帶入這個(gè)圓的方程，如果能使圓的方程成立，則在這個(gè)圓上，反之如果不成立則不在這個(gè)圓上這個(gè)圓上，反之如果不成立則不在這個(gè)圓上 怎

6、樣判斷點(diǎn)怎樣判斷點(diǎn) 在圓在圓 內(nèi)呢？?jī)?nèi)呢？還是在圓外呢？還是在圓外呢？),(000yxM222)()(rbyaxAxyoM1M2M3 可以看到：點(diǎn)在圓外可以看到：點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓心的距離大于半徑點(diǎn)到圓心的距離大于半徑 r ； 點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑點(diǎn)到圓心的距離小于半徑 r 例例2 2 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別A A(5,1), (5,1), B B(7,(7,3)3)，C C(2, (2, 8)8)，求它的外接圓的方程，求它的外接圓的方程ABC 分析分析：不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，三角：不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，三角形有唯一的外接圓形

7、有唯一的外接圓 解解：設(shè)所求圓的方程是：設(shè)所求圓的方程是 （1）222)()(rbyax 因?yàn)橐驗(yàn)锳(5,1), B(7,3)，C(2, 8) 都在圓上，所以它們的坐都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程（標(biāo)都滿(mǎn)足方程（1）于是）于是222222222)8()2()3()7()1 ()5(rbarbarba.25, 3, 22rba所以，所以， 的外接圓的方程的外接圓的方程 ABC25) 3()2(22yx解此方程組，得：解此方程組，得： 分析分析：不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，三角：不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，三角形有唯一的外接圓形有唯一的外接圓 解解： 例例2 2 的三個(gè)

8、頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別A A(5,1), (5,1), B B(7,(7,3)3)，C C(2, (2, 8)8)，求它的外接圓的方程，求它的外接圓的方程ABC 例例3 已知圓心為已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1, 1)和和B(2, 2)，且圓心，且圓心C在直線(xiàn)上在直線(xiàn)上l：x y+1=0，求圓心為，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 分析分析：已知道確定一個(gè)圓只需要確定圓心的位置與半徑大：已知道確定一個(gè)圓只需要確定圓心的位置與半徑大小圓心為小圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1, 1)和和B(2, 2)，由于圓心，由于圓心C與與A, B兩點(diǎn)的距離相等，所以圓心兩點(diǎn)的距離相

9、等，所以圓心C在線(xiàn)段在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的垂直平分線(xiàn) 上又上又圓心圓心C在直線(xiàn)在直線(xiàn)l 上，因此圓心上，因此圓心C是直線(xiàn)是直線(xiàn)l與直線(xiàn)與直線(xiàn) 的交點(diǎn)，半徑的交點(diǎn)，半徑長(zhǎng)等于長(zhǎng)等于|CA|或或|CB|ll 解解：因?yàn)橐驗(yàn)锳(1, 1)和和B(2, 2)，所以線(xiàn)段，所以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)D的坐標(biāo)的坐標(biāo)),21,23(直線(xiàn)直線(xiàn)AB的斜率的斜率:31212ABk因此線(xiàn)段因此線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的垂直平分線(xiàn) 的方程是的方程是l)23(3121xy即即033 yx圓心圓心C的坐標(biāo)是方程組的坐標(biāo)是方程組01033yxyx的解的解 例例3 已知圓心為已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1, 1)和和B(2

10、, 2)，且圓心，且圓心C在直線(xiàn)上在直線(xiàn)上l：x y+1=0，求圓心為，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解解：所以圓心所以圓心C的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是)2, 3(圓心為圓心為C的圓的半徑長(zhǎng)的圓的半徑長(zhǎng)5)21 ()31 (|22 ACr所以，圓心為所以，圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是25)2() 3(22yx解此方程組，得解此方程組，得. 2, 3yx 例例3 已知圓心為已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1, 1)和和B(2, 2)，且圓心，且圓心C在直線(xiàn)上在直線(xiàn)上l：x y+1=0，求圓心為，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解解：圓的基本要素圓的基本要素圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心在原點(diǎn)的圓心在原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷點(diǎn)與圓判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的位置關(guān)系