廣東省河源市中英文實(shí)驗(yàn)學(xué)校中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題五 代數(shù)幾何綜合課件

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1、第二部分 專題綜合復(fù)習(xí)專題五 代數(shù)幾何綜合 專題分析 代數(shù)幾何綜合題是指需要綜合運(yùn)用代數(shù)、幾何這兩部分知識(shí)解決的問題，是初中數(shù)學(xué)中覆蓋面最廣、綜合性最強(qiáng)的題型. 其題型可分為： 方程與幾何綜合問題； 函數(shù)與幾何綜合問題； 動(dòng)態(tài)幾何中的函數(shù)問題； 直角坐標(biāo)系中的幾何問題； 幾何圖形中的探究、歸納、猜想與證明問題. 解決這類問題需要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)學(xué)建模思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化的思想、函數(shù)與方程思想等. 專題分析 縱觀廣東省近八年中考數(shù)學(xué)壓軸題都是“動(dòng)態(tài)幾何中的函數(shù)問題”，以圖形的運(yùn)動(dòng)變化為背景；其背景圖形可以是三角形、矩形、梯形、正方形，或拋物線；其運(yùn)動(dòng)方式可以是單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

2、，雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，線段運(yùn)動(dòng)，或平面圖形運(yùn)動(dòng)；其問題的核心是：探索變量之間的對應(yīng)關(guān)系（變化規(guī)律）或者探索變化過程中的某種瞬時(shí)狀態(tài). 在“動(dòng)態(tài)幾何中的函數(shù)問題”中，自變量往往是圖形運(yùn)動(dòng)的時(shí)間或者距離，因變量則往往是線段的長度或者封閉圖形的面積.因此，線段長度和圖形面積的表示就成為解決問題的關(guān)鍵.而圖形的面積無非是底和高的乘積，所以，掌握線段長度的計(jì)算方法是解決動(dòng)態(tài)問題的殺手锏. 計(jì)算線段的長度的主要途徑有四種：勾股定理、相似三角形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系以及坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離.考點(diǎn)統(tǒng)計(jì)廣東省省卷近八年中考統(tǒng)計(jì)： 年份題號(hào)、分值圖形背景運(yùn)動(dòng)方式問題的核心200622題、9分梯形單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)探索變化過程

3、中的某種瞬時(shí)狀態(tài)200722題、9分正方形雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)求三角形面積與線段長度的函數(shù)關(guān)系式200822題、9分三角形平面圖形運(yùn)動(dòng)求重疊部分面積與線段長度的函數(shù)關(guān)系式200922題、9分正方形單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)求梯形面積與線段長度的函數(shù)關(guān)系式201022題、9分矩形雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)探索變化過程中的某種瞬時(shí)狀態(tài)201122題、9分拋物線單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)求線段長度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式201222題、9分拋物線單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)求三角形面積與線段長度的函數(shù)關(guān)系式201325題、9分三角形平面圖形運(yùn)動(dòng)求重疊部分面積與線段長度的函數(shù)解析式典例解析4（即M從D到A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間段）試問為何值時(shí)，F(xiàn)MNQWP；（1）說明例1. （2010廣東）如圖1-

4、1，圖1-2所示，矩形ABCD的邊長AB6，BC4，點(diǎn)F在DC上，DF2.動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā)，沿射線DA、線段BA向點(diǎn)A的方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M可運(yùn)動(dòng)到DA的延長線上），當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)連結(jié)FM、MN、FN，當(dāng)F、N、M不在同一條直線時(shí)，可得FMNFMN，過 PQW設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N的速度都是1個(gè)單位秒，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為三邊的中點(diǎn)作秒試解答下列問題：x（2）設(shè)0 xxPQW為直角三角形？當(dāng)在何范圍時(shí)， PQW不為直角三角形？x為何值時(shí)，線段MN最短？求此時(shí)MN的值（3）問當(dāng)x 圖1-1 圖1-2典例解析【方法點(diǎn)撥】 （1）根據(jù)“有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形”

5、這一概念，第（2）問的解答需分類討論. 分類討論，又稱分情況討論. 當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問題在一定的題設(shè)下，其結(jié)論并不唯一時(shí)，就需要將這一數(shù)學(xué)問題根據(jù)題設(shè)的特點(diǎn)和要求、按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分為幾種情況，在每一種情況中分別求解，最后再將各種情況下得到的答案進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論. 引起分類討論的原因通常有：由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論；由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論；由圖形位置不確定引起的分類討論；由參數(shù)的變化引起的分類討論. 分類的原則：分類中的每一部分相互獨(dú)立（即“不重”）；一次分類按同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)（即“不漏”）；分類討論應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行. （2）判斷一個(gè)三角形是直角三角形的方法：證有一個(gè)角為90或兩邊互相垂直；勾股定

6、理逆定理；若三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形.典例解析（1）證明： PQFN，PWMN QPW =PWF，PWF =MNF QPW =MNF 同理可得：PQW =NFM FMNQWP 【解答】 【分析】本題是雙動(dòng)點(diǎn)問題，是一道與矩形、相似三角形、勾股定理、二次函數(shù)最值相關(guān)的綜合題.解題的關(guān)鍵是利用勾股定理計(jì)算運(yùn)動(dòng)過程中相關(guān)線段的長度. 典例解析【解答】 （2）解：FMNQWP當(dāng)且僅當(dāng)FMN為直角三角形時(shí)， QWP為直角三角形 過點(diǎn)N作NGDC于點(diǎn)G，則CG=BN=， NG=BC=4矩形ABCD中，AB6，BC4AD=BC=4，DC=AB=6CF=404AM=AD-D

7、M=4-， FG=CF-CG=4-， AN=6- W Q P F C A B D M N G2222246MNAMANxx2222416FNFGNGx22224MFDMDFx222FNMNMF若FMN=90，則2222416464xxxx即26120 xx整理得，36480 ，方程無實(shí)根2222441646xxxx即124,10 xx 解得，（舍去）.2222464416xxxx即43x 解得，443xx或當(dāng)時(shí)，PQW為直角三角形；FMN90.222MFFNMN若FNM=90，則222MNMFFN若MFN=90，則4343，x4時(shí)，PQW不為直角三角形.當(dāng)0 x典例解析【解答】 2222462

8、52MNxxx（3）06x 又2當(dāng)x=5時(shí)，MN最短為OxAMNBPC圖2典例解析例2. （2011廣東）如圖2，拋物線1417452xy 與y軸交于A點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BCx軸，垂足為點(diǎn)C(3，0).（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；（2）動(dòng)點(diǎn)P在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，過點(diǎn)P作PNx軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N. 設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒，MN的長度為s個(gè)單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)O，點(diǎn)C重合的情況），連接CM，BN，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形？問對于所求的t

9、值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由.典例解析【解答】 1417452xy（1）拋物線與y軸交于A點(diǎn)1kx12k 把B(3,2.5)代入y=解得，121x直線AB的解析式為y=1kx設(shè)直線AB的解析式為y=A(0,1)過點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BCx軸，垂足為點(diǎn)C(3，0)B(3,2.5)【分析】本題是單動(dòng)點(diǎn)問題，是一道與一次函數(shù)、二次函數(shù)、平行四邊形、菱形相關(guān)的綜合題.解題的關(guān)鍵是利用坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離計(jì)算運(yùn)動(dòng)過程中相關(guān)線段的長度. 典例解析【解答】 251711 (1)442ttt 2515(03)44ttt 21517,1 ,1244M ttN tttsMNNP

10、MP（2）PNx軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N， 且P點(diǎn)的坐標(biāo)為,0P t典例解析【解答】 25415452tt（3）若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=BC，此時(shí)，有解得t1=1,t2=22522PCMPMC又在RtMPC中，故MN=MC，此時(shí)四邊形BCMN為菱形25MPNPMN故522PCMPMC又在RtMPC中，故MNMC，此時(shí)四邊形BCMN不是菱形.23MP，NPNP=4，當(dāng)t=1時(shí)，所以當(dāng)t=1或2時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形.25MPNPMN故29NP當(dāng)t=2時(shí)，MPMP=2，典例解析【方法點(diǎn)撥】 設(shè)直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn),AABBA xyB xyxABxxAByy若AB

11、/軸，則AB=；若AB/y軸，則AB= 若AB與兩坐標(biāo)軸都不平行，則可構(gòu)造全等三角形或利用勾股定理求AB.【變式】 （2012深圳）如圖3，已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)(1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；(2)設(shè)直線BC交y軸于點(diǎn)E，連接AE，求證：AE=CE;(3)設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)F，試問以A、B、F，為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似嗎？請說明理由典例解析【解答】 2222 22 AEAOOE422 5CE20622 5 ，2222 22 AEAOOE422 5CE20622 5 ，（2）證明：設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y

12、=kx+b，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2）AE=CE kb0 2kb6 k2 b2 ，解得：由題意得：直線BC的解析式為y=2x+2（1）拋物線經(jīng)過A(4，0)、B(1，0)， 設(shè)函數(shù)解析式為：y=a（x4）（x1） 又由拋物線經(jīng)過C（2，6）， 6=a（24）（21），解得： a=1 經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為： y=（x4）（x1），即y=x23x4 典例解析【解答】 22222105 521010 2BF 10AF 41 0333333 ，22222105 521010 2BF 10AF 41 0333333 ，（3）相似. 理由如下：設(shè)直線AD的解析式為y=k1x+b1，直線AD的解析

13、式為y=x+4. yx4 y2x2 2 x310 y3 ，解得：21033 ，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（ ），則22BC 2160 3 5 又AB=5，BF5AB 5AB3BC3 ，BFAB ABBC又ABF=CBA，1114kb0 b411k1 b4，解得：則 聯(lián)立直線AD與直線BC的函數(shù)解析式可得：ABFCBA以A、B、F為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似。典例解析例3. （2013廣東）有一副直角三角板，在三角板ABC中，BAC=90，AB=AC=6，在三角板DEF中，F(xiàn)DE=90,DF=4,DE= .將這副直角三角板按如圖4-1所示位置擺放,點(diǎn)B與點(diǎn)F重合,直角邊BA與FD在同一條直線上.現(xiàn)固定三角板A

14、BC,將三角板DEF沿射線BA方向平行移動(dòng),當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng). (1)如圖4-2,當(dāng)三角板DEF運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí),設(shè)EF與BC交于點(diǎn)M,則EMC=_度；(2)如圖4-3，在三角板DEF運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)EF經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),求FC的長; (3)在三角板DEF運(yùn)動(dòng)過程中,設(shè)BF= ,兩塊三角板重疊部分面積為 ,求 與 的函數(shù)解析式,并求出對應(yīng)的 取值范圍.【方法點(diǎn)撥】圖形位置不確定時(shí)，需根據(jù)圖形在不同位置時(shí)的特征【方法點(diǎn)撥】圖形位置不確定時(shí)，需根據(jù)圖形在不同位置時(shí)的特征進(jìn)行分類討論進(jìn)行分類討論. .尋找運(yùn)動(dòng)過程中的特殊位置（臨界點(diǎn)）是正確分類的尋找運(yùn)動(dòng)過程中的特殊位置（臨界點(diǎn)）是正確分類的

15、關(guān)鍵關(guān)鍵. . 15 典例解析【解答】 （2）在RtCFA中,AC=6,ACF=E=30,=6FC=圖4-4(3)如圖(4),設(shè)過點(diǎn)M作MNAB于點(diǎn)N,MNDE即則MNDE,NMB=B=45,NB=NM,NF=NB-FB=MN-xFMNFED, 時(shí),如圖(4) , 設(shè)DE與BC相交于點(diǎn)G當(dāng)即;則DG=DB=4+x【分析】本題是一道與二次函數(shù)、相似三角形、直角三角形相關(guān)的綜合題.解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)及直角三角形的邊角關(guān)系求線段長. 典例解析【解答】 圖4-662 36x當(dāng)時(shí), 如圖(6)，AF=6x，AHF=E=30圖4-5當(dāng)時(shí),如圖(5)即綜上所述，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，62 36x當(dāng)時(shí)，設(shè)

16、AC與EF交于點(diǎn)H，AH=典例解析例4 （2012廣東）如圖5，拋物線 與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC、AC 圖5【方法點(diǎn)撥】在動(dòng)態(tài)幾何中求三角形面積與線段長度之間的函數(shù)關(guān)系式：可利用底與高的積求解；利用“相似三角形的面積之比等于相似比的平方”這一性質(zhì)求解. 另外，求三角形面積的最大值，實(shí)際上是求對應(yīng)函數(shù)的最大值. （1）求AB和OC的長；（2）點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)E作直線 平行BC，交AC于點(diǎn)D設(shè)AE的長為m，ADE的面積為s，求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍； （3）在（2）的條件下，連接CE，求CDE面積的最大值；

17、此時(shí)，求出以點(diǎn)E為圓心，與BC相切的圓的面積（結(jié)果保留）l213922yxx當(dāng)x=0時(shí)，y=9，則：C（0，9）；典例解析【解答】 （2）EDBC，（1）已知：拋物線y=x2 x9；x2x9=0，得：x1=3，x2=6，當(dāng)y=0時(shí)，則：A（3，0）、B（6，0）；AB=9，OC=9AEDABC，m2（0m9）s=（）2，即：=（）2，得：【分析】本題是一道與二次函數(shù)、相似三角形、圓相關(guān)的綜合題.解題的關(guān)鍵是利用“相似三角形的面積之比等于相似比的平方”求函數(shù)關(guān)系式. 典例解析【解答】 則：SEDC=SAECSAED=m2+m=（m ）2+CDE的最大面積為，此時(shí)，AE=m=，BE=ABAE=過E

18、作EFBC于F，則RtBEFRtBCO，得：=，即：=EF=（3）SAEC=AEOC=m，SAED=s=m2；典例解析【變式】 圖6 ，對角線AC、BD交于H，平行于線段BD的兩條直線MN、RQ同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速平移，分別交等腰梯形ABCD的邊于M、N和R、Q，分別交對角線AC于F、G；當(dāng)直線RQ到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩直線同時(shí)停止移動(dòng)記等腰梯形ABCD被直線MN掃過的圖形面積為S1、被直線RQ掃過的圖形面積為S2，若直線MN平移的速度為1單位/秒，直線RQ平移的速度為2單位/秒，設(shè)兩直線移動(dòng)的時(shí)間為x秒（2012珠海）如圖6，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=，DC=，高CE=（1

19、）填空：AHB=_；AC=_；（2）若S2=3S1，求x；（3）設(shè)S2=mS1，求m的變化范圍 【分析】本題是線段運(yùn)動(dòng)問題，是一道與等腰梯形、相似、一元二次方程、二次函數(shù)相關(guān)的綜合題.利用相似三角形的性質(zhì)求面積之比，從而列出方程、求得函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵. 典例解析【解答】 圖6-1（1）如圖，過點(diǎn)C作CKBD交AB的延長線于K，四邊形DBKC是平行四邊形，四邊形ABCD是等腰梯形，CDAB，CK=BD，BK=CD=+=4AK=AB+BK=3BD=AC，AC=CK，AK=2=CE，BK=EK=CE是高，K=KCE=ACE=CAE=45，ACK=90，AHB=ACK=90，=4；AC=AKco

20、s45=4故答案為：故答案為： AHB=_；AC=_904典例解析【解答】 圖6-2圖6-3（2）直線移動(dòng)有兩種情況：0 x及x2當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)x2時(shí)，時(shí)，SCRQ=2()2=8(2x)2，MNBD，AMNARQ，ANFQG，=4，S2=4S13S1；CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3，ABCD，ABHCDH，CH=DH=AC=1，AHBH=41=3，CG=42x，ACBD，SBCD=41=2，RQBD，CRQCDB，ABCE=32=6，SABD=MNBD，S2=3S1，x的值為的值為2；AMNADB，S1=x2，S2=88（2x）2，88（2x）2=3x2，解得：解得：x1=（舍去），（舍去），x2=2，典例解析【解答】 當(dāng)0 x時(shí)，m=4，綜上所述，m的變化范圍為：3m4x2時(shí)，當(dāng)（3）由（2）得：S2=mS1，=+=36（m=12）2+4，m隨的增大而增大，當(dāng)x=時(shí)，m最大，最大值為4，當(dāng)x=2時(shí)，m最小，最小值為3，m是的二次函數(shù)，當(dāng)x2時(shí)，即當(dāng)時(shí)，