《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書

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1、實(shí)驗(yàn)一誤差的基本性質(zhì)與處理 、實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 了解誤差的基本性質(zhì)以及處理方法。 二、實(shí)驗(yàn)原理 (1 )正態(tài)分布 設(shè)被測(cè)量的真值為 L0，一系列測(cè)量值為 Li，則測(cè)量列中的隨機(jī)誤差 「為 (2-1) -■i = Li- Lo 式中 i=1 , 2,…..n. 正態(tài)分布的分布密度 (2-2) (2-3) 正態(tài)分布的分布函數(shù) 式中；「-標(biāo)準(zhǔn)差(或均方根誤差)； 它的數(shù)學(xué)期望為 它的方差為 (2-4) (2-5) (2)算術(shù)平均值 對(duì)某一量進(jìn)行一系列等精度測(cè)量，由于存在隨機(jī)誤差，其測(cè)得值皆不相同，應(yīng)以全部測(cè)得值 的算術(shù)平均值作為最后的

2、測(cè)量結(jié)果。 1、算術(shù)平均值的意義 在系列測(cè)量中，被測(cè)量所得的值的代數(shù)和除以 n而得的值成為算術(shù)平均值。 設(shè)l1 , l2,…,ln為n次測(cè)量所得的值，則算術(shù)平均值 n z i =1 n li 則算術(shù)平均值x 算術(shù)平均值與真值最為接近， 由概率論大數(shù)定律可知， 若測(cè)量次數(shù)無(wú)限增加, 必然趨近于真值L0。 Vj = lj_X li ――第 j 個(gè)測(cè)量值，i =1,2,..., n; vi —— li的殘余誤差（簡(jiǎn)稱殘差） 2、算術(shù)平均值的計(jì)算校核 算術(shù)平均值及其殘余誤差的計(jì)算是否正確，可用求得的殘余誤差代數(shù)和性質(zhì)來(lái)校核。 殘余誤差代數(shù)和為: n

3、n _ ' Vj「lj -nx i 4 i -1 當(dāng)X為未經(jīng)湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，則有 1）殘余誤差代數(shù)和應(yīng)符合: n _ _ 當(dāng)x li=nX，求得的X為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)， i 4 n V為零; i呂 n _ 當(dāng)li > nx，求得的x為湊整的非準(zhǔn)確數(shù)時(shí), i 4 n _ 7 V為正；其大小為求X時(shí)的余數(shù)。 i ￡ n _ _ 當(dāng)x li < nx，求得的x為湊整的非準(zhǔn)確數(shù)時(shí), i生 n _ 〔二：Vi為負(fù)；其大小為求 X時(shí)的虧數(shù)。 i呂 2）殘余誤差代數(shù)和絕對(duì)值應(yīng)符合: 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), .n A； 2 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), 豈 n-0.5 2

4、 式中A為實(shí)際求得的算術(shù)平均值 X末位數(shù)的一個(gè)單位。 （3）測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差 測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差稱為標(biāo)準(zhǔn)差，也可以稱之為均方根誤差。 1、測(cè)量列中單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差 式中 n n—測(cè)量次數(shù)（應(yīng)充分大） ；i —測(cè)得值與被測(cè)量值的真值之差 2、測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 3、標(biāo)準(zhǔn)差的其他計(jì)算法 別捷爾斯法： n Z v a =1.253 佇 Jn(n-1) 、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容: 序號(hào) li / mm Vi / mm Vi2 / mm2 1 24.674 2 24.675 3 24.673

5、4 24.676 5 24.671 6 24.678 7 24.672 8 24.674 1.對(duì)某一軸徑等精度測(cè)量 8次，得到下表數(shù)據(jù)，求測(cè)量結(jié)果。 假定該測(cè)量列不存在固定的系統(tǒng)誤差，則可按下列步驟求測(cè)量結(jié)果。 1、 算術(shù)平均值 2、求殘余誤差 3、校核算術(shù)平均值及其殘余誤差 4、判斷系統(tǒng)誤差 5、求測(cè)量列單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差 6、判別粗大誤差 7、求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 8、求算術(shù)平均值的極限誤差 9、寫出最后測(cè)量結(jié)果 四、實(shí)驗(yàn)總結(jié) 運(yùn)行編制的程序，分析運(yùn)行結(jié)果，并寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告。 L=[24

6、.674,24.675,24.673,24.676,24.671,24.678,24.672,24.674]; L=[20.42,20.43,20.40,20.43,20.42,20.43,20.39,20.30,20.40,20.43,20 .42,20.41,20.39,20.39,20.40] format short averageL=mean(L); % 計(jì)算算術(shù)平均值 disp([' 數(shù)據(jù)的平均值 averageL=',num2str(averageL)]); n=length(L); for k=1:n vi(k)=L(k)-averageL; % 計(jì)算殘余誤差 en

7、d disp([' 殘余誤差分別是： ',num2str(vi)]); sumvi=sum(vi(k)); % 校核算術(shù)平均值及其殘余誤差(可以省略) if sum(L)==n*averageL disp(' 平均值計(jì)算正確 '); elseif sum(L)>n*averageL&sumvi>0&sumvi==sum(L)-n*averageL disp(' 平均值計(jì)算正確 '); elseif sum(L)

8、確 '); end %判斷系統(tǒng)誤差(已知無(wú)誤差，省略) xgm1=std(L); % 求測(cè)量列單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差 %判別粗大誤差 for m=1:n if abs(vi(m))>=3*xgm1 disp([' 第',num2str(m),' 個(gè)數(shù)',num2str(L(m)),' 含有粗大誤差']); L(m)=[]; end end %求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 xgm2=xgm1/sqrt(n); %求算術(shù)平均值的極限誤差 t=3; Blimx=t*xgm2; % 極限誤差 %寫出最后測(cè)量結(jié)果 disp([' 最后測(cè)量結(jié)果 :',num2str(averageL),' 實(shí)

9、驗(yàn)二誤差的合成與分配 一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 通過(guò)實(shí)驗(yàn)掌握誤差合成與分配的基本規(guī)律和基本方法。 二、 實(shí)驗(yàn)原理 (1)函數(shù)系統(tǒng)誤差的合成 間接測(cè)量是通過(guò)直接測(cè)量與被測(cè)的量之間有一定函數(shù)關(guān)系的其他量，按照已知的函數(shù)關(guān)系式 計(jì)算出被測(cè)的量。因此間接測(cè)量的量是直接測(cè)量所得到的各個(gè)測(cè)量值的函數(shù)，而間接測(cè)量誤差則 是各個(gè)直接測(cè)得值誤差的函數(shù)，這種誤差為函數(shù)誤差。研究函數(shù)誤差的內(nèi)容實(shí)質(zhì)上就是研究誤差 的傳遞問(wèn)題，而對(duì)于這種具有確定關(guān)系的誤差計(jì)算，稱為誤差合成。 間接測(cè)量的數(shù)學(xué)模型 y二f (x「X2,..., Xn) 上述函數(shù)y的全增量，即系統(tǒng)誤差的表達(dá)式為: ? y _f . Xi_f 1

10、；X2 :f .X2 = ■ Xn CXn (2)函數(shù)隨機(jī)誤差的合成 若各測(cè)量值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，相關(guān)項(xiàng) 或: 2 cy CT .2 + 1 、2 2 CTX1 <^X2 J -x22 HI _cf ?n J 、2 2 Jn 2 ◎ xn 當(dāng)各個(gè)測(cè)量值的隨機(jī)誤差為正態(tài)分布時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差用極限誤差代替，得函數(shù)的極限誤差公式: lim y 2 5 ± lim x1 2 lim x2 a2 n lim xn 其中： 一二a CX ?隨機(jī)誤差的合成 隨機(jī)誤差具有隨機(jī)性，其取值是不

11、可預(yù)知的，并用測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差或極限誤差來(lái)表征其取值的 分散程度。 1. 標(biāo)準(zhǔn)差的合成 若有q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，他們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為 -1，二2 ,…，二q，其相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為 ai , a2 ,…， aq。 根據(jù)方和根的運(yùn)算方法，各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差合成后的總標(biāo)準(zhǔn)差為 -q q 廠-、(a^i)2 - 2' } ■, i 4 1 丄:::j 一般情況下各個(gè)誤差互不相關(guān)，相關(guān)系數(shù) ：冷=0,則有 一 ?「(aG)2 2.極限誤差的合成 在測(cè)量實(shí)踐中，各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差和測(cè)量結(jié)果的總誤差也常以極限誤差的形式來(lái)表示， 因此極限誤差的合成也很常見(jiàn)。 若已知個(gè)

12、單項(xiàng)極限誤差為 「,遼,...,'：q,且置信概率相同，則按方和根合成的總極限誤 差為 —q q =(ar'i)2 ' 2、匸囲廣「 i A 1 丄::j ?系統(tǒng)誤差的合成 系統(tǒng)誤差的大小是評(píng)定測(cè)量準(zhǔn)確度高低的標(biāo)志，系統(tǒng)誤差越大，準(zhǔn)確度越低；反之，準(zhǔn) 確度越高。 1、已定系統(tǒng)誤差的合成 已定系統(tǒng)誤差是指誤差大小和方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差。在測(cè)量過(guò)程中，若有 r個(gè)單 項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差，其誤差值分別為 厶1, .-：2, ???,??，相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為 ai, a2,…，ar , 則代數(shù)和法進(jìn)行合成，求得總的已定系統(tǒng)誤差為: r 厶八a,j i =1 2、未定系統(tǒng)

13、誤差的合成 ① 標(biāo)準(zhǔn)差的合成： 若測(cè)量過(guò)程中有 s個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為 U ,U2,..., Us,其相應(yīng)的誤差傳 遞系數(shù)為q,a2,...,as,則合成后未定系統(tǒng)誤差的總標(biāo)準(zhǔn)差為 s s u =「(au)2 2、AjaajUiUj 「4 1 i:::j 當(dāng)Aj =0，則有 ' (au) i 4 ② 極限誤差的合成 因?yàn)楦鱾€(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為 e = tiui i =1，2，…s 總的未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為 e 二 tu 則可得 s s e = V (aiUi)2 - 2、 “認(rèn)匚玄了山山 ,i 1_i ::j 當(dāng)

14、各個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且 =0,則有 e = 一「佝* ?系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成 當(dāng)測(cè)量過(guò)程中存在各種不同性質(zhì)的多項(xiàng)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差，應(yīng)將其進(jìn)行綜合，以求得 最后測(cè)量結(jié)果的總誤差。 1、按極限誤差合成 若測(cè)量過(guò)程中有r個(gè)單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差，s個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差 他們的誤差值或極限誤差分別為： 1 2 , q 設(shè)各個(gè)誤差傳遞系數(shù)均為 1,則測(cè)量結(jié)果總的極限誤差為 r .< Ai i 4 / 、 e 2 q < 2 Oi +E e丿 i丄 e丿 R――各個(gè)誤差間協(xié)方差之和 當(dāng)各個(gè)誤差均服從正態(tài)分布

15、，且各個(gè)誤差間互不相關(guān)時(shí)，上式可簡(jiǎn)化為 r A=S (e)2+f ? )2 \ i 4 i4 系統(tǒng)誤差經(jīng)修正后， 測(cè)量結(jié)果總的極限誤差就是總的未定系統(tǒng)誤差與總的隨機(jī)誤差的均方根 i=4 2、按標(biāo)準(zhǔn)差合成 用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成公式, 合成問(wèn)題。 只需考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的 若測(cè)量過(guò)程中有 s個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差， q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，他們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為 U4,U2,...,Us, ai^T2,.../Iq,為計(jì)算方便，設(shè)各個(gè)誤差傳遞系數(shù)均為 1，則測(cè)量結(jié)果總的標(biāo)準(zhǔn) 差為 式中 s q Uj2 亠二■ ^2 R I i呂 i呂 R為各個(gè)誤

16、差間協(xié)方差之和，當(dāng)合格誤差間互不相關(guān)時(shí)，上式可簡(jiǎn)化為 對(duì)于 n次重復(fù)測(cè)量，測(cè)量結(jié)果平均值的總標(biāo)準(zhǔn)差公式則為 a =Ji q2+ 丄￡ 時(shí) ■- id n y (2) 誤差分配 測(cè)量過(guò)程皆包含多項(xiàng)誤差，而測(cè)量結(jié)果的總誤差則由各單項(xiàng)誤差的綜合影響所確定。給定測(cè) 量結(jié)果總誤差的允差，要求確定各單項(xiàng)誤差就是誤差分配問(wèn)題。 1、現(xiàn)設(shè)各誤差因素皆為隨機(jī)誤差，且互不相關(guān)，則有 1 f、 2十 2 a、 浪丿 J%丿 ■A丿 ~2 2 2 2 2 2 .,aiG a^?2 ?…a. 6 =,Di2 d2 …D； D ――函數(shù)的部分誤差

17、 若已給定by ,需確定D或相應(yīng)▽ i，使?jié)M足 二y — Di2 d2 ... D； 式中Di可以是任意值，為不確定解，需按下列步驟求解。 ① 按等作用原則 ② 按可能性調(diào)整誤差 ③ 驗(yàn)算調(diào)整后的總誤差 三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 1、弓高弦長(zhǎng)法簡(jiǎn)介測(cè)量大直徑。直接測(cè)得弓高 h、弦長(zhǎng)s,根據(jù)h，s間的函數(shù)關(guān)系利用熟悉的 語(yǔ)言編程求解出直徑 D，以及直徑的系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和所求直徑的最后結(jié)果。 2 D旦h 4h h=50mm, -h =-0.1mm, lim h = 0.05 S=500mm, ：s=1mm, 、|imS=_0.1 四、實(shí)驗(yàn)總結(jié) 運(yùn)行編制的程序，分析運(yùn)行結(jié)果，并

18、寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告。 clear all h=i nput（'請(qǐng)輸入測(cè)量弦高：h='）; deltah=i nput（' 請(qǐng)輸入測(cè)量弦高的系統(tǒng)誤差： deltah='）; limH=i nput（' 請(qǐng)輸入測(cè)量弦高的極限誤差： limH='）; s=in put（'請(qǐng)輸入測(cè)量弦長(zhǎng)：s='）; deltas=i nput（' 請(qǐng)輸入測(cè)量弦長(zhǎng)的系統(tǒng)誤差： deltas='）; limS=i nput（' 請(qǐng)輸入測(cè)量弦長(zhǎng)的極限誤差： limS='）; %計(jì)算理論直徑 D0=sA2/(4*h)+h; disp([' 計(jì)算理論直徑 D0=',num2str(D0),'mm']); % 計(jì)

19、算直徑的系統(tǒng)誤差 A=s/(2*h);B=1-sA2/(4*hA2); deltaD=A*deltas+B*deltah; % 修正系統(tǒng)誤差 D=D0-deltaD; % 計(jì)算直徑的極限誤差 limD=sqrt(AA2*limSA2+BA2*limHA2); disp([' 直徑的極限誤差 limD= ± ',num2str(limD),'mm']); % 直徑的最后結(jié)果為 disp(['D=',num2str(D),' ±',num2str(limD),'mm']) 實(shí)驗(yàn)三線性參數(shù)的最小二乘法處理 一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 最小二乘法原理是一種在多學(xué)科領(lǐng)域中獲得廣泛應(yīng)用的數(shù)據(jù)處

20、理方法。通過(guò)實(shí)驗(yàn)要求掌握最 小二乘法基本原理、正規(guī)方程以及組合測(cè)量的最小二乘法處理辦法。 二、 實(shí)驗(yàn)原理 （1） 測(cè)量結(jié)果的最可信賴值應(yīng)在殘余誤差平方和為最小的條件下求出，這就是最小二乘法 原理。即 V V；…v； = [v2]=最小 （2） 正規(guī)方程 最小二乘法可以將誤差方程轉(zhuǎn)化為有確定解的代數(shù)方程組 （其方程式的數(shù)目正好等于未知數(shù) 的個(gè)數(shù)），從而可求解出這些未知參數(shù)。這個(gè)有確定解的代數(shù)方程組稱為最小二乘法估計(jì)的正規(guī)方 程。 （3） 精度估計(jì) 為了確定最小二乘估計(jì)量 花，X；,..., Xt的精度，首先需要給出直接測(cè)量所得測(cè)量數(shù)據(jù)的精度。 測(cè)量數(shù)據(jù)的精度也以標(biāo)準(zhǔn)差 二來(lái)表示。

21、因?yàn)闊o(wú)法求得 二的真值，只能依據(jù)有限次的測(cè)量結(jié)果給出 匚的估計(jì)值，所謂精度估計(jì)，實(shí)際上是求出估計(jì)值。 （4） 組合測(cè)量是通過(guò)直接測(cè)量待測(cè)參數(shù)的各種組合量，然后對(duì)這些測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，從 而求得待測(cè)參數(shù)的估計(jì)量，并給出其精度估計(jì)。 三、 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 1、如下圖所示已知直接測(cè)量刻線的各種組合量， 要求檢定刻線 A、B、C、D間距離為、X；、 X3，測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差以及估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差。 （1） l3 =2.020mm l6 =6.030mm l1=2.018mm l2=1.986mm l4= 4.020mm l5=3.984mm 四、實(shí)驗(yàn)總結(jié) 運(yùn)行編制的程序，分析運(yùn)行結(jié)果，并寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告。