《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》實驗指導書

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1、實驗一誤差的基本性質與處理 、實驗目的 了解誤差的基本性質以及處理方法。 二、實驗原理 (1 )正態(tài)分布 設被測量的真值為 L0，一系列測量值為 Li，則測量列中的隨機誤差 「為 (2-1) -■i = Li- Lo 式中 i=1 , 2,…..n. 正態(tài)分布的分布密度 (2-2) (2-3) 正態(tài)分布的分布函數(shù) 式中；「-標準差(或均方根誤差)； 它的數(shù)學期望為 它的方差為 (2-4) (2-5) (2)算術平均值 對某一量進行一系列等精度測量，由于存在隨機誤差，其測得值皆不相同，應以全部測得值 的算術平均值作為最后的

2、測量結果。 1、算術平均值的意義 在系列測量中，被測量所得的值的代數(shù)和除以 n而得的值成為算術平均值。 設l1 , l2,…,ln為n次測量所得的值，則算術平均值 n z i =1 n li 則算術平均值x 算術平均值與真值最為接近， 由概率論大數(shù)定律可知， 若測量次數(shù)無限增加, 必然趨近于真值L0。 Vj = lj_X li ――第 j 個測量值，i =1,2,..., n; vi —— li的殘余誤差（簡稱殘差） 2、算術平均值的計算校核 算術平均值及其殘余誤差的計算是否正確，可用求得的殘余誤差代數(shù)和性質來校核。 殘余誤差代數(shù)和為: n

3、n _ ' Vj「lj -nx i 4 i -1 當X為未經(jīng)湊整的準確數(shù)時，則有 1）殘余誤差代數(shù)和應符合: n _ _ 當x li=nX，求得的X為非湊整的準確數(shù)時， i 4 n V為零; i呂 n _ 當li > nx，求得的x為湊整的非準確數(shù)時, i 4 n _ 7 V為正；其大小為求X時的余數(shù)。 i ￡ n _ _ 當x li < nx，求得的x為湊整的非準確數(shù)時, i生 n _ 〔二：Vi為負；其大小為求 X時的虧數(shù)。 i呂 2）殘余誤差代數(shù)和絕對值應符合: 當n為偶數(shù)時, .n A； 2 當n為奇數(shù)時, 豈 n-0.5 2

4、 式中A為實際求得的算術平均值 X末位數(shù)的一個單位。 （3）測量的標準差 測量的標準偏差稱為標準差，也可以稱之為均方根誤差。 1、測量列中單次測量的標準差 式中 n n—測量次數(shù)（應充分大） ；i —測得值與被測量值的真值之差 2、測量列算術平均值的標準差 3、標準差的其他計算法 別捷爾斯法： n Z v a =1.253 佇 Jn(n-1) 、實驗內容: 序號 li / mm Vi / mm Vi2 / mm2 1 24.674 2 24.675 3 24.673

5、4 24.676 5 24.671 6 24.678 7 24.672 8 24.674 1.對某一軸徑等精度測量 8次，得到下表數(shù)據(jù)，求測量結果。 假定該測量列不存在固定的系統(tǒng)誤差，則可按下列步驟求測量結果。 1、 算術平均值 2、求殘余誤差 3、校核算術平均值及其殘余誤差 4、判斷系統(tǒng)誤差 5、求測量列單次測量的標準差 6、判別粗大誤差 7、求算術平均值的標準差 8、求算術平均值的極限誤差 9、寫出最后測量結果 四、實驗總結 運行編制的程序，分析運行結果，并寫出實驗報告。 L=[24

6、.674,24.675,24.673,24.676,24.671,24.678,24.672,24.674]; L=[20.42,20.43,20.40,20.43,20.42,20.43,20.39,20.30,20.40,20.43,20 .42,20.41,20.39,20.39,20.40] format short averageL=mean(L); % 計算算術平均值 disp([' 數(shù)據(jù)的平均值 averageL=',num2str(averageL)]); n=length(L); for k=1:n vi(k)=L(k)-averageL; % 計算殘余誤差 en

7、d disp([' 殘余誤差分別是： ',num2str(vi)]); sumvi=sum(vi(k)); % 校核算術平均值及其殘余誤差(可以省略) if sum(L)==n*averageL disp(' 平均值計算正確 '); elseif sum(L)>n*averageL&sumvi>0&sumvi==sum(L)-n*averageL disp(' 平均值計算正確 '); elseif sum(L)

8、確 '); end %判斷系統(tǒng)誤差(已知無誤差，省略) xgm1=std(L); % 求測量列單次測量的標準差 %判別粗大誤差 for m=1:n if abs(vi(m))>=3*xgm1 disp([' 第',num2str(m),' 個數(shù)',num2str(L(m)),' 含有粗大誤差']); L(m)=[]; end end %求算術平均值的標準差 xgm2=xgm1/sqrt(n); %求算術平均值的極限誤差 t=3; Blimx=t*xgm2; % 極限誤差 %寫出最后測量結果 disp([' 最后測量結果 :',num2str(averageL),' 實

9、驗二誤差的合成與分配 一、 實驗目的 通過實驗掌握誤差合成與分配的基本規(guī)律和基本方法。 二、 實驗原理 (1)函數(shù)系統(tǒng)誤差的合成 間接測量是通過直接測量與被測的量之間有一定函數(shù)關系的其他量，按照已知的函數(shù)關系式 計算出被測的量。因此間接測量的量是直接測量所得到的各個測量值的函數(shù)，而間接測量誤差則 是各個直接測得值誤差的函數(shù)，這種誤差為函數(shù)誤差。研究函數(shù)誤差的內容實質上就是研究誤差 的傳遞問題，而對于這種具有確定關系的誤差計算，稱為誤差合成。 間接測量的數(shù)學模型 y二f (x「X2,..., Xn) 上述函數(shù)y的全增量，即系統(tǒng)誤差的表達式為: ? y _f . Xi_f 1

10、；X2 :f .X2 = ■ Xn CXn (2)函數(shù)隨機誤差的合成 若各測量值的隨機誤差是相互獨立的，相關項 或: 2 cy CT .2 + 1 、2 2 CTX1 <^X2 J -x22 HI _cf ?n J 、2 2 Jn 2 ◎ xn 當各個測量值的隨機誤差為正態(tài)分布時，標準差用極限誤差代替，得函數(shù)的極限誤差公式: lim y 2 5 ± lim x1 2 lim x2 a2 n lim xn 其中： 一二a CX ?隨機誤差的合成 隨機誤差具有隨機性，其取值是不

11、可預知的，并用測量的標準差或極限誤差來表征其取值的 分散程度。 1. 標準差的合成 若有q個單項隨機誤差，他們的標準差分別為 -1，二2 ,…，二q，其相應的誤差傳遞系數(shù)為 ai , a2 ,…， aq。 根據(jù)方和根的運算方法，各個標準差合成后的總標準差為 -q q 廠-、(a^i)2 - 2' } ■, i 4 1 丄:::j 一般情況下各個誤差互不相關，相關系數(shù) ：冷=0,則有 一 ?「(aG)2 2.極限誤差的合成 在測量實踐中，各個單項隨機誤差和測量結果的總誤差也常以極限誤差的形式來表示， 因此極限誤差的合成也很常見。 若已知個

12、單項極限誤差為 「,遼,...,'：q,且置信概率相同，則按方和根合成的總極限誤 差為 —q q =(ar'i)2 ' 2、匸囲廣「 i A 1 丄::j ?系統(tǒng)誤差的合成 系統(tǒng)誤差的大小是評定測量準確度高低的標志，系統(tǒng)誤差越大，準確度越低；反之，準 確度越高。 1、已定系統(tǒng)誤差的合成 已定系統(tǒng)誤差是指誤差大小和方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差。在測量過程中，若有 r個單 項已定系統(tǒng)誤差，其誤差值分別為 厶1, .-：2, ???,??，相應的誤差傳遞系數(shù)為 ai, a2,…，ar , 則代數(shù)和法進行合成，求得總的已定系統(tǒng)誤差為: r 厶八a,j i =1 2、未定系統(tǒng)

13、誤差的合成 ① 標準差的合成： 若測量過程中有 s個單項未定系統(tǒng)誤差，它們的標準差分別為 U ,U2,..., Us,其相應的誤差傳 遞系數(shù)為q,a2,...,as,則合成后未定系統(tǒng)誤差的總標準差為 s s u =「(au)2 2、AjaajUiUj 「4 1 i:::j 當Aj =0，則有 ' (au) i 4 ② 極限誤差的合成 因為各個單項未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為 e = tiui i =1，2，…s 總的未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為 e 二 tu 則可得 s s e = V (aiUi)2 - 2、 “認匚玄了山山 ,i 1_i ::j 當

14、各個單項未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且 =0,則有 e = 一「佝* ?系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成 當測量過程中存在各種不同性質的多項系統(tǒng)誤差與隨機誤差，應將其進行綜合，以求得 最后測量結果的總誤差。 1、按極限誤差合成 若測量過程中有r個單項已定系統(tǒng)誤差，s個單項未定系統(tǒng)誤差，q個單項隨機誤差 他們的誤差值或極限誤差分別為： 1 2 , q 設各個誤差傳遞系數(shù)均為 1,則測量結果總的極限誤差為 r .< Ai i 4 / 、 e 2 q < 2 Oi +E e丿 i丄 e丿 R――各個誤差間協(xié)方差之和 當各個誤差均服從正態(tài)分布

15、，且各個誤差間互不相關時，上式可簡化為 r A=S (e)2+f ? )2 \ i 4 i4 系統(tǒng)誤差經(jīng)修正后， 測量結果總的極限誤差就是總的未定系統(tǒng)誤差與總的隨機誤差的均方根 i=4 2、按標準差合成 用標準差來表示系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成公式, 合成問題。 只需考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機誤差的 若測量過程中有 s個單項未定系統(tǒng)誤差， q個單項隨機誤差，他們的標準差分別為 U4,U2,...,Us, ai^T2,.../Iq,為計算方便，設各個誤差傳遞系數(shù)均為 1，則測量結果總的標準 差為 式中 s q Uj2 亠二■ ^2 R I i呂 i呂 R為各個誤

16、差間協(xié)方差之和，當合格誤差間互不相關時，上式可簡化為 對于 n次重復測量，測量結果平均值的總標準差公式則為 a =Ji q2+ 丄￡ 時 ■- id n y (2) 誤差分配 測量過程皆包含多項誤差，而測量結果的總誤差則由各單項誤差的綜合影響所確定。給定測 量結果總誤差的允差，要求確定各單項誤差就是誤差分配問題。 1、現(xiàn)設各誤差因素皆為隨機誤差，且互不相關，則有 1 f、 2十 2 a、 浪丿 J%丿 ■A丿 ~2 2 2 2 2 2 .,aiG a^?2 ?…a. 6 =,Di2 d2 …D； D ――函數(shù)的部分誤差

17、 若已給定by ,需確定D或相應▽ i，使?jié)M足 二y — Di2 d2 ... D； 式中Di可以是任意值，為不確定解，需按下列步驟求解。 ① 按等作用原則 ② 按可能性調整誤差 ③ 驗算調整后的總誤差 三、實驗內容 1、弓高弦長法簡介測量大直徑。直接測得弓高 h、弦長s,根據(jù)h，s間的函數(shù)關系利用熟悉的 語言編程求解出直徑 D，以及直徑的系統(tǒng)誤差、隨機誤差和所求直徑的最后結果。 2 D旦h 4h h=50mm, -h =-0.1mm, lim h = 0.05 S=500mm, ：s=1mm, 、|imS=_0.1 四、實驗總結 運行編制的程序，分析運行結果，并

18、寫出實驗報告。 clear all h=i nput（'請輸入測量弦高：h='）; deltah=i nput（' 請輸入測量弦高的系統(tǒng)誤差： deltah='）; limH=i nput（' 請輸入測量弦高的極限誤差： limH='）; s=in put（'請輸入測量弦長：s='）; deltas=i nput（' 請輸入測量弦長的系統(tǒng)誤差： deltas='）; limS=i nput（' 請輸入測量弦長的極限誤差： limS='）; %計算理論直徑 D0=sA2/(4*h)+h; disp([' 計算理論直徑 D0=',num2str(D0),'mm']); % 計

19、算直徑的系統(tǒng)誤差 A=s/(2*h);B=1-sA2/(4*hA2); deltaD=A*deltas+B*deltah; % 修正系統(tǒng)誤差 D=D0-deltaD; % 計算直徑的極限誤差 limD=sqrt(AA2*limSA2+BA2*limHA2); disp([' 直徑的極限誤差 limD= ± ',num2str(limD),'mm']); % 直徑的最后結果為 disp(['D=',num2str(D),' ±',num2str(limD),'mm']) 實驗三線性參數(shù)的最小二乘法處理 一、 實驗目的 最小二乘法原理是一種在多學科領域中獲得廣泛應用的數(shù)據(jù)處

20、理方法。通過實驗要求掌握最 小二乘法基本原理、正規(guī)方程以及組合測量的最小二乘法處理辦法。 二、 實驗原理 （1） 測量結果的最可信賴值應在殘余誤差平方和為最小的條件下求出，這就是最小二乘法 原理。即 V V；…v； = [v2]=最小 （2） 正規(guī)方程 最小二乘法可以將誤差方程轉化為有確定解的代數(shù)方程組 （其方程式的數(shù)目正好等于未知數(shù) 的個數(shù)），從而可求解出這些未知參數(shù)。這個有確定解的代數(shù)方程組稱為最小二乘法估計的正規(guī)方 程。 （3） 精度估計 為了確定最小二乘估計量 花，X；,..., Xt的精度，首先需要給出直接測量所得測量數(shù)據(jù)的精度。 測量數(shù)據(jù)的精度也以標準差 二來表示。

21、因為無法求得 二的真值，只能依據(jù)有限次的測量結果給出 匚的估計值，所謂精度估計，實際上是求出估計值。 （4） 組合測量是通過直接測量待測參數(shù)的各種組合量，然后對這些測量數(shù)據(jù)進行處理，從 而求得待測參數(shù)的估計量，并給出其精度估計。 三、 實驗內容 1、如下圖所示已知直接測量刻線的各種組合量， 要求檢定刻線 A、B、C、D間距離為、X；、 X3，測量數(shù)據(jù)的標準差以及估計量的標準差。 （1） l3 =2.020mm l6 =6.030mm l1=2.018mm l2=1.986mm l4= 4.020mm l5=3.984mm 四、實驗總結 運行編制的程序，分析運行結果，并寫出實驗報告。