勒貝格積分作業(yè)

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1、勒貝格積分作業(yè) 一、單項選擇題 1. 設(shè)mE , f(x)是E上處處有限的可測函數(shù),那么( )? (A) f (x)在E上勒貝格可積 (B) f (x)在E上黎曼可積 (C) f (x)是E上的簡單函數(shù) (D) 以上都不對 2. 設(shè)mE , f(x)與g(x)都在E上可積,那么以下結(jié)論中正確的選項是( ) (A) f (x) g(x)在E上可積 (B) 丄兇在E上可積 g(x) (C) f(x)| g(x)在E上可積 (D) f(x) g(x)在E上可積 x , x Po 3.設(shè) f(x) 2 ,其中Po是康托集,那么,仆f(x)dx ()

2、 x , x [0,1] Po [0J] (A) 0 (B) 1 2 1 (C) (D) 1 3 4.設(shè)f (x)是E上的可積函數(shù),且 E f (x)dx 0,那么(). (A)對E的任何可測子集 e,有 f(x)dx 0 e (B)存在E的可測子集e,使 f(x)dx 0 e (C) f (x)在E上處處大于零 (D) 以上都不對 二、填空題 1. 設(shè)mE ,那么f (x)在E上有界可積是f (x)在E上有界可測的—條件. 2. 假設(shè)f(x)是E上的勒貝格可積函數(shù),那么 f (x)在E上有限. 3.設(shè) f (x) x2, x是

3、［0,1］中的有理數(shù),那么f(x)dx _. x3 , x是［0,1］中的無理數(shù) ［0,1］ 4.設(shè)f(x)在E上可測,那么f(x)在E上可積是f(x)在E上可積的_條件. 三、證實題 1.設(shè)由［0,1］中取出n個可測集Ei, E2, , En,假設(shè)［0,1］中任意一點至少屬于這 n 個集合中的q個,試證其中必有一集合,它的測度大于或等于 2.設(shè)｛fn(x)｝是E上的非負(fù)可積函數(shù)列,假設(shè) e fn(x)dx 0,那么fn(x) 3.設(shè) mE ,｛ fn(x)｝為E上幾乎處處有限的可測函數(shù)列,證實 嚴(yán)0的充分必要條件是fn(x) 0 ? 4.設(shè)f (x)是E上的可積函數(shù),e

4、n E[ f (x) n],證實 lim n m& n 3 5.求 lim (R) m 1 mx sin mxdx 01 m x 6.證實 1 1 nx2 lim ( R) dx 0 n 01 n2x2 7.設(shè)f (x)在Rp上可積,g(y)在Rq上可積,證實f (x) g(y)在 RP Rq上可積, 并且 f(x)g(y)dxdy ( f(x)dx) ( g(y)dy) RP q RP Rq 8.設(shè)｛fn(x)｝是E上一列可測函數(shù), lim fn (x) f (x) a.e.于E,而且存在E上可 n 積函數(shù)F(x),使得fn(x) F(x) a.e.于E (n 1, 2,).證實｛ fn (x)｝依測度收斂于 f(x).