高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第二節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示課件 理

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1、第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示總綱目錄教材研讀1.平面向量的基本定理考點(diǎn)突破2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算3.平面向量共線的坐標(biāo)表示考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示教材研讀教材研讀1.平面向量的基本定理平面向量的基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2,使a=1e1+2e2.其中,不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底基底.2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模

2、設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b0),則a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),|a|=.(2)向量坐標(biāo)的求法(i)若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).(ii)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1),|=.2211xyABAB222121()()xxyy3.平面向量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b0),則abx1y2-x2y1=0.1.已知點(diǎn)A(1,3),B(4,-1),則與向量同方向的單位向量為()A.B.C.D.AB34,5543,55

3、3 4,5 54 3,5 5A答案答案AA(1,3),B(4,-1),=(3,-4),又|=5,與同向的單位向量為=.故選A.ABABAB|ABAB34,552.(2018北京海淀期中,3)已知向量a=(1,0),b=(-1,1),則()A.abB.abC.(a-b)bD.(a+b)aD答案答案Da+b=(0,1),又(a+b)a=0,(a+b)a,故選D.3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,向量=(-1,2),=(2,m),若O,A,B三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,則()A.m=-4B.m-4C.m1D.mROAOBB答案答案B因?yàn)镺,A,B三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,所以向量與不共線,所以,即m-4.OAOB2m21

4、4.設(shè)e1,e2是平面內(nèi)一組基底,若1e1+2e2=0,則1+2=0.答案答案0解析解析假設(shè)10,由1e1+2e2=0,得e1=-e2,e1與e2共線,這與e1,e2是平面內(nèi)一組基底矛盾,故1=0,同理,2=0,1+2=0.215.已知向量a=(1,1),點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)B是直線y=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若a,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,-6).AB答案答案(-3,-6)解析解析設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,2x),則=(x-3,2x),ABa,(x-3)1-2x1=0,x=-3,故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,-6).AB6.(2017北京朝陽期中)設(shè)平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若ab,則y=-4.解析解

5、析a=(1,2),b=(-2,y),ab,1y=2(-2),y=-4.答案答案-4考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破典例典例1(1)已知e1,e2為平面上的單位向量,e1與e2的起點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O,e1與e2的夾角為,平面區(qū)域D由所有滿足=e1+e2的點(diǎn)P組成,其中那么平面區(qū)域D的面積為()A.B.C.D.(2)在ABC中,點(diǎn)P是AB上一點(diǎn),且=+,Q是BC的中點(diǎn),AQ與CP的交點(diǎn)為M,又=t,則實(shí)數(shù)t的值為.3OP1,0,0,1233234CP23CA13CBCMCP34D答案答案(1)D(2)34解析解析(1)如圖,設(shè)=e1,=e2,則=e1+e2

6、=+,當(dāng)+=1時(shí),0,0表示點(diǎn)P在線段AB上,所以+1,0,0表示點(diǎn)P在正三角形OAB上或其內(nèi)部,故平面區(qū)域D的面積等于以1為邊長(zhǎng)的正三角形的面積,即為.(2)因?yàn)?+,OAOBOPOAOB34CP23CA13CB所以3=2+,即2-2=-,所以2=,即P為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近A點(diǎn)),又因?yàn)锳,M,Q三點(diǎn)共線,設(shè)=,所以=-=-=-=+,CPCACBCPCACBCPAPPBAMAQCMAMACAQAC1122ABACAC2AB22AC又=t=t(-)=t=-t,故解得故t的值是.CMCPAPAC13ABAC3tABAC,232,2tt 3,41.2t34規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1)用平面向量基本

7、定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運(yùn)算來解決.(2)平面上A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件:對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P,存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使=x+y,且x+y=1.PAPBPC1-1在ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,且=2,=r+s,則r+s=()A.B.C.-3D.0CDDBCDABAC2343答案答案D由題意知=(-)=-,又=r+s,所以r=,s=-,所以r+s=0,故選D.CD23CB23ABAC23AB23ACCDABAC2323D1-2已知M為ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且=+n.若點(diǎn)M在ABC的內(nèi)部(不含邊界),則實(shí)數(shù)n的取值范圍是

8、.AM14ABAC解析解析根據(jù)平面向量基本定理可知,當(dāng)n+=1時(shí),M點(diǎn)在直線BC上,又點(diǎn)M在ABC的內(nèi)部(不含邊界),n0,且n+1,0n,n的取值范圍是.14143430,4答案答案30,430,4典例典例2(1)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=8,BC=4,CD=4.點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng),則|+|的取值范圍是()A.6,4+4B.4,8C.4,8D.6,12PAPB323考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算C(2)如圖,在正方形ABCD中,P為DC邊上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)向量 = + ,則+的最大值為3.ACDBAP解析解析(1)以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,AB的中點(diǎn)

9、為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,則A(-4,0),B(4,0),C(2,2),D(-2,2).由題意可知向量與向量共線,設(shè)P(p,p+4)(-4p-2),則=(-4-p,-p-4),=(4-p,-p-4),|+|=4=4(-4p-2),|+|4,8,故選C.(2)以A為原點(diǎn),AB、AD所在直線分別為x軸、y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則C(2,2),B(2,0),D(0,2),P(x,2),x0,2,=(2,2),=(2,-2),=(x,2),33APAD33PA33PB33PAPB2612pp2(3)3pPAPB3ACDBAP22,222,x2,24.2xxx答案答案(1)C(

10、2)3+=,令f(x)=(0 x2),f(x)在0,2上單調(diào)遞減,f(x)max=f(0)=3,即+的最大值為3.62xx62xx方法技巧方法技巧平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解,若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).(2)解題過程中,常利用“向量相等,則坐標(biāo)相同”這一結(jié)論,由此可列方程(組)進(jìn)行求解.2-1如圖,在66的網(wǎng)格中,若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量a,b,c滿足c=xa+yb(x,yR),則=.xy112答案答案112解析解析以小正方形的邊長(zhǎng)為長(zhǎng)度單位建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則有a=(1,2),b=(2,-1),c=(3,4),又c=

11、xa+yb,所以解得所以=.32 ,42,xyxy11,52,5xyxy1122-2如圖,在四邊形ABCD中,BAD=90,ADC=120,AD=DC=2,AB=4,動(dòng)點(diǎn)M在BCD內(nèi)(含邊界)運(yùn)動(dòng),設(shè)=+,則+的取值范圍是.AMABAD331,42解析解析以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.由題意知B(4,0),D(0,2),C(,3),設(shè)M(x,y),則有34 ,2 ,xy,4.2xy答案答案331,42+=+,設(shè)目標(biāo)函數(shù)z=+.由于點(diǎn)M在BCD內(nèi)(含邊界)運(yùn)動(dòng),所以當(dāng)目標(biāo)直線經(jīng)過線段BD上任意一點(diǎn)時(shí),z取最小值1;當(dāng)目標(biāo)直線經(jīng)過點(diǎn)C(,3)時(shí),

12、z取最大值+,即+的取值范圍為.2y4x2y33432331,424x典例典例3平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n;(2)若(a+kc)(2b-a),求實(shí)數(shù)k.考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示解析解析(1)由題意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),解得(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),由題意得2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=-.43,22,mnmn5,98.9mn1613規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)1.向量共線的兩種表示形式若ab(b0),則a=b;x1y2-x2

13、y1=0(a=(x1,y1),b=(x2,y2).至于使用哪種形式,應(yīng)視題目的具體條件而定,一般涉及坐標(biāo)時(shí)應(yīng)用.2.與向量共線有關(guān)的題型(1)證三點(diǎn)共線;(2)已知兩向量共線,求相關(guān)參數(shù).解決第(1)種問題時(shí),可先證明相關(guān)兩向量共線,再說明兩向量有公共點(diǎn);解決第(2)種問題時(shí),可先利用向量共線的充要條件列方程(組),再求解.3-1已知向量a=(1,0),b=(2,1),c=(x,1),若3a-b與c共線,則x的值為()A.1B.-3C.-2D.-1答案答案D3a-b=(1,-1),c=(x,1),又3a-b與c共線,(-1)x=11,即x=-1,故選D.D3-2已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三點(diǎn)共線,則k的值是()A.-B.C.D.OAOBOC23431213答案答案A=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2).因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以,共線,所以-2(4-k)=-7(-2k),解得k=-.ABOBOAACOCOAABAC23A